2021版新高考地区高考数学(人教版)大一轮复习第3讲函数的奇偶性及周期性_第1页
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文档简介

增函数，给出下列几个命题：①f(x)是周期函数；②f(x)的图象关于x=1对称；③f(x)在［1,2］上是减函数；④f(2)=f(0),其中正确命题的序号是.(请把正确命题的序号全部写出来 )解析：因为f(x+y)=f(x)+f(y)对任意x,yCR恒成立.令x=y=0,所以f(0)=0.令x+y=0,所以y=—x,所以f(0)=f(x)+f(—x).所以f(-x)=-f(x),所以f(x)为奇函数.因为f(x)在xC［—1,0］上为增函数，又f(x)为奇函数，所以f(x)在［0,1］上为增函数.由f(x+2)=—f(x)?f(x+4)=—f(x+2)?f(x+4)=f(x),所以周期T=4,即f(x)为周期函数.f(x+2)=—f(x)?f(-x+2)=-f(-x).又因为f(x)为奇函数，所以f(2—x)=f(x),所以函数关于x=1对称.由f(x)在［0,1］上为增函数，又关于x=1对称，所以f(x)在［1,2］上为减函数.由f(x+2)=-f(x),令x=0得f(2)=—f(0)=f(0).答案：①②③④TOC\o"1-5"\h\z3 3一.设函数f(x)是定义在R上的奇函数，X•任意实数x有f^+x=—f2—x成立.⑴证明y=f(x)是周期函数，并指出其周期;(2)若f(1)=2,求f(2)+f(3)的值._ . 3 3解：(1)由f2+x=-f2-x,且f(-x)=-f(x),3 3所以f(x+3)=f2+2+xT-2+x=-f(-x)=f(x),所以y=f(x)是周期函数，且3是其一个周期.(2)因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)=0,且f(—1)=—f(1)=—2,又T=3是y=f(x)的一个周期，所以f(2)+f(3)=f(—1)+f(0)=-2+0=—2..已知函数y=f(x)在定义域[―1,1]上既是奇函数又是减函数.(1)求证：对任意xi,x2C[—1,1],有[f(xi)+f(x2)](xi+x2)W0;(2)若f(1—a)+f(1—a2)<0,求实数a的取值范围.解：(1)证明：若x〔+x2=0,显然不等式成立.若x1+x2<0,则一1wx1V—x2<1,因为f(x)在[―1,1]上是减函数且为奇函数，所以f(x1)>f(—x2)=—f(x2),所以f(x1)+f(x2)>0.所以[f(x[)+f(x2)](x[+x2)V0成立.若x1+x2>0,则1Ax1>—x2A—1,同理可证f(x1)+f(x2)V0.所以[f(x[)+f(x2)](x[+x2)V0成立.综上得证，对任意x[，x2€[—1,1],有[f(x1)+f(x2)](x[+x2)W0恒成立.(2)因为f(1—a)+f(1—a2)<0?f(1-a2)<-f(1-a)=f(a-1),所以由f(x)在定义域[―1,一1w1一a2w1, 0wa2w2,1]上是减函数

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