多粒子系统的热运动

多粒子系统的热运动第一页，共五十八页，2022年，8月28日热运动的研究方法：1.宏观法.

最基本的实验规律逻辑推理(运用数学)------称为热力学(thermodynamics)优点：可靠、普遍。缺点：未揭示微观本质。2.微观法.物质的微观结构+统计方法------称为统计物理学(statisticalphysics)其初级理论称为气体分子运动论(气体动理论)优点：揭示了热现象的微观本质。缺点：可靠性、普遍性差。热运动(thermalmotion)：微观粒子永恒的杂乱无章的运动。第二页，共五十八页，2022年，8月28日第五章气体动理论5-1热力学系统平衡态热力学研究的对象，它包含极大量的分子、原子。外界：热力学系统以外的物体。一、热力学系统(thermodynamicsystem)开放系统孤立系统封闭系统热力学系统根据能量与质量传递的不同例：若汽缸内气体为系统，其它为外界。第三页，共五十八页，2022年，8月28日箱子假想分成两相同体积的部分，达到平衡时，两侧粒子有的穿越界线，但两侧粒子数相同。粒子数是宏观量平衡态(equilibriumstate):在无外界影响下，系统所有可观察的宏观性质不随时间改变。指出（1）平衡态是一种热动平衡；处在平衡态的大量分子仍在作热运动，而且因为碰撞，每个分子的速度经常在变，但是系统的宏观量不随时间改变。二、平衡态状态参量第四页，共五十八页，2022年，8月28日（2）平衡态是一种理想概念。

对热力学系统的两种描述方法：1.宏观量

从整体上描述系统的状态量，一般可以直接测量。如压强P、体积V、温度T等。单位压强---帕斯卡体积---立方米温度---开尔文第五页，共五十八页，2022年，8月28日2.微观量描述系统内微观粒子的物理量。如分子的质量、直径、速度、动量、能量

等。微观量与宏观量有一定的内在联系。热力系处于平衡态的标志：表征系统的状态参量各具有确定的量值，并且不随时间变化。第六页，共五十八页，2022年，8月28日质量摩尔质量普适气体常量理想气体当系统处于平衡态时，三个状态参量存在一定的函数关系：物态方程(状态方程)三、物态方程理想气体遵循玻意尔定律、查理定律、盖—吕萨克定律第七页，共五十八页，2022年，8月28日例题氧气瓶的压强降到106Pa即应重新充气，以免混入其他气体而需洗瓶。今有一瓶氧气，容积为32L，压强为1.3107Pa，若每天用105Pa的氧气400L，问此瓶氧气可供多少天使用？设使用时温度不变。解:根据题意，可确定研究对象为原来气体、用去气体和剩余气体，设这三部分气体的状态参量分别为使用时的温度为T设可供x天使用原有每天用量剩余第八页，共五十八页，2022年，8月28日分别对它们列出状态方程，有第九页，共五十八页，2022年，8月28日5-2物质的微观结构及统计规律的基本概念一、物质的微观结构1、宏观物质是由大量不连续的微观粒子---分子（或原子）组成的多粒子体系。一摩尔的任何物质的分子数都相同2、分子都在永不停息地作杂乱无规则的热运动3、分子间存在相互作用力（分子力）第十页，共五十八页，2022年，8月28日分子间既有引力作用又有斥力作用平衡位置斥力起主要作用引力起主要作用R—分子有效作用半径102Åv12rdv12=0分子有效直径Å第十一页，共五十八页，2022年，8月28日二、理想气体的微观模型分子本身的大小比起它们之间的平均距离可忽略不计。（分子可看作质点）除碰撞外，分子之间的作用力可忽略不计。分子间的碰撞是完全弹性的。三、统计规律的基本概念什么是统计规律性(statisticalregularity)大量偶然性从整体上所体现出来的必然性。例.扔硬币理想气体的分子可视为弹性的、自由运动的质点。第十二页，共五十八页，2022年，8月28日

统计规律有以下特点:（1）只对大量偶然的事件才有意义.（2）它是不同于个体规律的整体规律(量变到质变).统计平均值算术平均值为对某一物理量M进行测量第十三页，共五十八页，2022年，8月28日统计平均值算术平均值出现Mi的几率(概率)M的统计平均值等于一切可能的状态的几率W与相应的M值乘积的总和。归一化条件第十四页，共五十八页，2022年，8月28日“涨落”现象------测量值与统计值之间总有偏离布朗运动是可观测的涨落现象之一。处在平衡态的系统的宏观量，如压强P，不随时间改变，但不能保证任何时刻大量分子撞击器壁的情况完全一样，分子数越多，涨落就越小。第十五页，共五十八页，2022年，8月28日统计分布图以伽尔顿板实验为例槽内单位宽度的小球数狭槽位置有阴影的矩形面积为表明落入位置在x~x的狭槽内小球的个数。第十六页，共五十八页，2022年，8月28日5-3麦克斯韦速率分布定律一、气体分子的速率分布曲线麦克斯韦速率分布平衡态下的气体系统中以分子速率为随机变量的气体分子速度分布函数。单位速率区间内的分子数占总分子数的百分比速率表示速率在v~v区间内的分子数占总分子数的百分比第十七页，共五十八页，2022年，8月28日v0，取dv为分子速率区间元，相应的分子数为dN分子速率分布函数vvv+dvv1v2分子出现在v1~v2区间内的分子数与总分子数的百分比dNN面积=出现在v~v+dv区间内的分子数占总分子数的百分比气体分子的速率分布曲线第十八页，共五十八页，2022年，8月28日f(v)的物理意义某一分子在速率v附近的单位速率区间内的几率最可几速率对于相同速率区间而言，速率在包含vp的那个区间内的分子数占总分子数的百分比最大。就相同速率区间而言，某一分子的速率取包含vp的那个区间内的几率最大。第十九页，共五十八页，2022年，8月28日1860年，麦克斯韦导出f(v)的表达式麦克斯韦速率分布定律T----温度

m----气体分子质量

k----玻尔兹曼常数由此，得二、麦克斯韦速率分布规律第二十页，共五十八页，2022年，8月28日1、最可几速率与分布函数F(v)的极大值相对应的速率极值条件2、平均速率大量分子速率的统计平均值三、分子速率的三个统计值第二十一页，共五十八页，2022年，8月28日对于连续分布3、方均根速率大量分子速率的平方平均值的平方根第二十二页，共五十八页，2022年，8月28日试计算下列气体在大气中的逃逸速度与方均根速度之比：H2(2),He(4),H2O(18),N2(28),O2(32),Ar(40),CO2(44),括弧内的数字是分子量。设大气的温度为290K，已知地球质量M=5.981024kg，地球半径R=6378km.解：逃逸速度可由分子动能等于相对于无穷远的引力势能分子量第二十三页，共五十八页，2022年，8月28日气体H2He

H2O

N2

O2

Ar

CO2K5.888.3217.6522.023.5326.3127.59当代宇宙学告诉我们，宇宙中原初的化学成分绝大部分是氢（约占3/4）和氦（约占1/4）。任何行星形成之初，原始大气中都应有相当大量的氢和氦。但是现在地球的大气里几乎没有H2和He，而其主要成分却是N2和O2。为什么？大气分子的热运动促使它们逸散，万有引力阻止它们逃脱。方均根速度标志着前者动能的大小，逃逸速度标志着后者势能的大小，例题中的比值K标志着二者抗衡中谁占先的问题。第二十四页，共五十八页，2022年，8月28日K值愈大，表示引力势能愈大，分子不易逃脱。K值刚刚大于1显然不足以有效地阻止气体分子的散失，因为这时仅仅具有平均热运动动能的分子被引力拉住，但是按麦克斯韦分布律，气体中有大量的分子速率大过、甚至远大过方均根速度，它们仍然可以逃脱。对于某种气体需要多大的K值才能将它保住？例题的结果表明，K6~8是不够大的，这未能把地球大气里的H2和He保住。K大到22~24肯定是够了，因为这数值没有让N2和O2散失。第二十五页，共五十八页，2022年，8月28日都与成正比，与（或）成反比f(v)v第二十六页，共五十八页，2022年，8月28日温度越高，速率大的分子数越多温度越高，分布曲线中的最概然速率vp增大，但归一化条件要求曲线下总面积不变，因此分布曲线宽度增大，高度降低。f(v)f(vp3)vvpf(vp1)f(vp2)T1T3T2第二十七页，共五十八页，2022年，8月28日例设想有N个气体分子，其速率分布函数为试求:(1)常数A；(2)最可几速率，平均速率和方均根；(3)速率介于0~v0/3之间的分子数；(4)速率介于0~v0/3之间的气体分子的平均速率。解：(1)气体分子的分布曲线如图由归一化条件第二十八页，共五十八页，2022年，8月28日(2)最可几速率由决定，即平均速率方均速率方均根速率为第二十九页，共五十八页，2022年，8月28日(3)速率介于0~v0/3之间的分子数(4)速率介于0~v0/3之间的气体分子平均速率为第三十页，共五十八页，2022年，8月28日讨论速率介于v1~v2之间的气体分子的平均速率的计算对于v的某个函数g(v)，一般地，其平均值可以表示为第三十一页，共五十八页，2022年，8月28日5-4玻尔兹曼分布律若气体分子处于恒定的外力场（如重力场）中气体分子在空间位置不再呈均匀分布气体分子分布规律如何在麦克斯韦速度分布律中，第三十二页，共五十八页，2022年，8月28日玻尔兹曼对麦克斯韦分布律的推广：(1)分子在外力场中(2)粒子的分布不仅按速率区间v~v+dv分布，还应按位置空间x~x+dx,y~y+dy,z~z+dz分布。分子势能dN气体处在空间任意小体积元dxdydz中的分子数n0势能等于零处的分子数密度气体分子按势能分布的特点第三十三页，共五十八页，2022年，8月28日能级粒子能量取分立值的情况下玻尔兹曼分布对于任意两个能级，有在正常状态下，能级越低，粒子数越多。粒子总是优先占据低能级状态。处于Ei状态的粒子数第三十四页，共五十八页，2022年，8月28日例5-2由玻尔兹曼分布律证明恒温气压公式式中P0为n=0处的大气压强，P为h处的大气压强，m是大气分子质量。证：由气体状态方程大气密度和压强随高度增加按指数规律减小（高空空气稀薄，气压低）第三十五页，共五十八页，2022年，8月28日两边取对数测知地面和高空处的压强与温度，可估算所在高空离地面的高度。实际应用第三十六页，共五十八页，2022年，8月28日例5-3氢原子基态能级E1=-13.6eV，第一激发态能级E2=-3.4eV，求出在室温T=270C时原子处于第一激发态与基态的数目比。解：在室温下，氢原子几乎都处于基态。第三十七页，共五十八页，2022年，8月28日5-5理想气体的压强公式、温度公式和内能一．理想气体的压强公式一定质量的处于平衡态的某种理想气体。(V,N,m)考虑一个分子A，以速度vi

奔向一面元，与面元碰撞后返回动量改变量为气体对器壁的压强应该是大量分子对容器不断碰撞的统计平均结果。第三十八页，共五十八页，2022年，8月28日把所有分子按速度分为若干组，在每一组内的分子速度大小，方向都差不多。设s法向为x轴vitsx设第i组分子的速度为共有Ni个其分子数密度为在t时间内沿X方向平移的距离为vixt体积为vixts的柱体内所有分子都与s相碰第三十九页，共五十八页，2022年，8月28日因为速度为的分子中，各占一半其动量改变量速度不同的各组分子与面元相碰后总的动量改变量为t时间内，与面元s相碰的速度为的分子数为第四十页，共五十八页，2022年，8月28日作用在面元上的作用力压强分子的平均平动动能第四十一页，共五十八页，2022年，8月28日二、理想气体的温度公式温度是气体分子平均平动动能大小的量度第四十二页，共五十八页，2022年，8月28日例5-1（1）在一个具有活塞的容器中盛有一定的气体。如果压缩气体并对它加热，使它的温度从270C升到1770C，体积减少一半，求气体压强变化多少？（2）这时气体分子的平均平动动能变化多少？解：第四十三页，共五十八页，2022年，8月28日第四十四页，共五十八页，2022年，8月28日5-6能量均分定理理想气体的内能一、自由度i（Degreeoffreedom）确定一个物体的空间位置所需要的独立坐标数目。以刚性分子（分子内原子间距离保持不变）为例双原子分子单原子分子平动自由度t=3平动自由度t=3转动自由度r=2第四十五页，共五十八页，2022年，8月28日三原子分子平动自由度t=3转动自由度r=3二、能量按自由度均分定理第四十六页，共五十八页，2022年，8月28日推广气体分子沿X,Y,Z三个方向运动的平均平动动能完全相等，可以认为分子的平均平动动能均匀分配在每个平动自由度上。平衡态下，不论何种运动，相应于每一个可能自由度的平均动能都是能量按自由度均分定理第四十七页，共五十八页，2022年，8月28日如果气体分子有i个自由度，则分子的平均动能为三、理想气体的内能分子间相互作用可以忽略不计分子间相互作用的势能=0理想气体的内能=所有分子的热运动动能之总和1mol理想气体的内能为第四十八页，共五十八页，2022年，8月28日一定质量理想气体的内能为内能仅与温度有关，与压强和体积无关温度改变，内能改变量为第四十九页，共五十八页，2022年，8月28日例题就质量而言，空气是由76%的N2，23%的O2和1%的Ar三种气体组成，它们的分子量分别为28、32、40。空气的摩尔质量为28.910-3kg，试计算1mol空气在标准状态下的内能。解：在空气中N2质量摩尔数O2质量摩尔数第五十页，共五十八页，2022年，8月28日Ar质量摩尔数1mol空气在标准状态下的内能第五十一页，共五十八页，2022年，8月28日5-7气体分子平均碰撞次数和平均自由程气体分子平均速率氮气分子在270C时的平均速率为476m.s-1.矛盾气体分子热运动平均速率高，但气体扩散过程进行得相当慢。克劳修斯指出：气体分子的速度虽然很大，但前进中要与其他分子作频繁的碰撞，每碰一次，分子运动方向就发生改变，所走的路程非常曲折。第五十二页，共五十八页，2022年，8月28日在相同的t时间内，分子由A到B的位移比它的路程小得多扩散速率(位移/时间)平均速率(路程/时间)分子自由程(freepath):