高三数学第一轮复习-导数的应用课件-新人教B版

学案12导数的应用1.考点1考点2考点3填填知学情课内考点突破规律探究考纲解读考向预测考点4名师伴你行SANPINBOOK2.返回目录

考纲解读导数的应用(1)了解函数的单调性与导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次).(2)了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数不超过三次）.(3)会用导数解决实际问题.名师伴你行SANPINBOOK3.考向预测返回目录

1.以解答题的形式考查利用导数研究函数的单调性,求单调区间,求极值与最值.2.以实际问题为背景,考查利用导数解决生活中的优化问题.3.以解答题的形式考查导数与解析几何、不等式、平面向量等知识相结合的问题.名师伴你行SANPINBOOK4.返回目录

1.函数的单调性与导函数(1)如果在(a,b)内,

,则f(x)在此区间是增函数,(a,b)为f(x)的单调增区间;(2)如果在(a,b)内,

,则f(x)在此区间是减函数,(a,b)为f(x)的单调减区间.2.函数的极值f′(x)>0f′(x)<0名师伴你行SANPINBOOK5.返回目录

(1)函数极值的定义①已知函数y=f(x),设x0是定义域(a,b)内任一点,如果对x0附近的所有点x,都有f(x)<f(x0),则称函数f(x)在点x0处取

,记作

.并把x0称为函数f(x)的一个

.②如果在x0附近都有f(x)>f(x0),则称函数f(x)在点x0处取

,记作

.并把x0称为函数f(x)的一个

.③极大值与极小值统称为

.

与

统称为极值点.

极大值y极大=f(x0)极大值点极小值y极小=f(x0)极小值点极值极大值点极小值点名师伴你行SANPINBOOK6.返回目录

(2)求函数极值的方法解方程f′(x)=0,当f′(x0)=0时,①如果在x0附近左侧

,右侧

,那么f(x0)是极大值.②如果在x0附近左侧

,右侧

,那么f(x0)是极小值.③如果f′(x)在点x0的左、右两侧

，则f(x0)不是函数极值.3.函数的最值(1)函数f(x)在［a,b］上有最值的条件如果在区间［a,b］上函数y=f(x)的图象是一条

的曲线,那么它必有最大值和最小值.函数的最值必在极值点或区间端点取得.

f′(x)>0f′(x)<0f′(x)<0f′(x)>0符号不变连线不断名师伴你行SANPINBOOK7.返回目录

(2)求函数y=f(x)在［a,b］上的最大值与最小值的步骤①求函数y=f(x)在(a,b)内的

.②将函数y=f(x)的各极值与

比较,其中

的一个是最大值,

的一个是最小值.

4.用导数解决生活中的优化问题解决优化问题的基本思路是:最小极值端点处的函数值f(a),f(b)最大名师伴你行SANPINBOOK8.返回目录

考点1函数的单调性与导数

［2010年高考北京卷］已知函数f(x)=ln(1+x)-x+x2(k≥0).(1)当k=2时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)求f(x)的单调区间.名师伴你行SANPINBOOK9.返回目录

【分析】(1)利用导数的几何意义求切线方程.(2)对k的不同取值分类讨论,求出函数的单调区间.【解析】(1)当k=2时,f(x)=ln(1+x)-x+x2,f′(x)=-1+2x.由于f(1)=ln2,f′(1)=,所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线.方程为y-ln2=(x-1),即3x-2y+2ln2-3=0.名师伴你行SANPINBOOK10.返回目录

(2)f′(x)=,x∈(-1,+∞).当k=0时,f′(x)=,所以，在区间(-1,0)上，f′(x)>0;在区间(0,+∞)上，f′(x)<0.故f(x)的单调递增区间是(-1,0)，单调递减区间是(0,+∞).当0<k<1时，由f′(x)==0,得x1=0,x2=>0,所以，在区间(-1,0)和（,+∞）上，f′(x)>0;在区间（0,）上，f′(x)<0.名师伴你行SANPINBOOK11.返回目录

故f(x)的单调递增区间是(-1,0)和（,+∞），单调递减区间是（0,）.当k=1时，f′(x)=.故f(x)的单调递增区间是(-1,+∞).当k>1时，由f′(x)==0,得x1=∈(-1,0),x2=0.所以，在区间（-1,）和(0,+∞)上，f′(x)>0;在区间（,0）上，f′(x)<0.故f(x)的单调递增区间是（-1,）和(0,+∞)，单调递减区间是（,0）.名师伴你行SANPINBOOK12.

利用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便,但应注意f′(x)>0(或f′(x)<0)仅是f(x)在某个区间上为增函数(或减函数)的充分条件,在(a,b)内可导的函数f(x)在(a,b)上递增(或递减)的充要条件应是f′(x)≥0［或f′(x)≤0］,x∈(a,b)恒成立,且f′(x)在(a,b)的任意子区间内都不恒等于0,这就是说,函数f(x)在区间上的增减性并不排斥在区间内个别点处有f′(x0)=0,甚至可以在无穷多个点处f′(x0)=0,只要这样的点不能充满所给区间的任何一个子区间,因此,在已知函数f(x)是增函数(或减函数)求参数的取值范围时,应令f′(x)≥0［或f′(x)≤0］恒成立,解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立理论求解),然后检验参数的取值能否使f′(x)恒等于0,若能恒等于0,则参数的这个值应舍去,若f′(x)不恒为0,则由f′(x)≥0［或f′(x)≤0］恒成立解出的参数的取值范围确定.返回目录

名师伴你行SANPINBOOK13.设函数f(x)=ax-(a+1)ln(x+1),其中a≥-1,求f(x)的单调区间.由已知得函数f(x)的定义域为（－１，＋∞）,且f′(x)=(a≥－1).(1)当-1≤a≤0时,由f′(x)<0知,函数f(x)在(-1，+）上单调递减.返回目录

(2)当a>0时，由f′（x）=0,解得x=.f′（x）,f(x)随x的变化情况如下表：名师伴你行SANPINBOOK14.x(-1,)f′（x）-0+f（x）极小值返回目录

↘↗从上表可知当x∈(-1,)时，f′(x)<0,函数f(x)在(-1,)上单调递减.当x∈(,+∞)时,f′(x)>0,函数f(x)在(,+∞)上单调递增.综上所述:当-1≤a≤0时,函数f(x)在(-1,+∞)上单调递减.当a>0时,函数f(x)在(-1,)上单调递减,f(x)在(,+∞)上单调递增.名师伴你行SANPINBOOK15.考点2函数的极值与导数［2010年高考安徽卷］设a为实数，函数f(x)=ex-2x+2a,x∈R.(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)求证：当a>ln2-1且x>0时，ex>x2-2ax+1.返回目录

名师伴你行SANPINBOOK16.【分析】求出f′(x),利用f′(x)>0,f′(x)<0,求出单调区间,再求极值.【解析】(1)由f(x)=ex-2x+2a,x∈R知f′(x)=ex-2,x∈R.令f′(x)=0，得x=ln2.于是当x变化时，f′(x),f(x)的变化情况如下表：返回目录

名师伴你行SANPINBOOK17.x(-∞,ln2)

ln2(ln2,+∞)

f′(x)-0+f(x)单调递减2(1-ln2+a)单调递增返回目录

名师伴你行SANPINBOOK18.故f(x)的区间是(-∞,ln2)，区间是(ln2,+∞),f(x)在x=ln2处取得极小值，极小值为f(ln2)=eln2-2ln2+2a=2(1-ln2+a)(2)证明:设g(x)=ex-x2+2ax-1,x∈R,于是g′(x)=ex-2x+2a,x∈R.由(1)知当a>ln2-1时,g′(x)取最小值为g′(ln2)=2(1-ln2+a)>0.于是对任意x∈R,都有g′(x)>0,所以g(x)在R内单调递增.于是当a>ln2-1时,对任意x∈(0,+∞),都有g(x)>g(0).而g(0)=0,从而对任意x∈(0,+∞)都有g(x)>0.即ex-x2+2ax-1>0,故ex>x2-2ax+1.返回目录

名师伴你行SANPINBOOK19.本题考查导数的运算,利用导数研究函数的单调区间,求函数的极值和证明函数不等式,考查运算能力、综合分析和解决问题的能力.返回目录

名师伴你行SANPINBOOK20.设函数f(x)=-x(x-a)2(x∈R)，其中a∈R.(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程；(2)当a≠0时，求函数f(x)的极大值和极小值.(1)当a=1时,f(x)=-x(x-1)2=-x3+2x2-x,f(2)=-2,f′(x)=-3x2+4x-1,f′(2)=-12+8-1=-5,∴当a=1时，曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为5x+y-8=0.返回目录

名师伴你行SANPINBOOK21.(2)f(x)=-x(x-a)2=-x3+2ax2-a2x,f′(x)=-3x2+4ax-a2=-(3x-a)(x-a),令f′(x)=0，解得x=或x=a.由于a≠0，以下分两种情况讨论.①若a>0,当x变化时，f′（x）,f(x)的变化情况如下表：因此，函数f(x)在x=处取得极小值f(),且f()=;函数f(x)在x=a处取得极大值f(a),且f(a)=0.x(-∞,-)(,a)1(a,+∞)

-0+0-0↘↗↘返回目录

名师伴你行SANPINBOOK22.②若a<0,当x变化时，f′（x）,f(x)的变化情况如下表：因此，函数f(x)在x=a处取得极小值f(a),且f(a)=0;函数f(x)在x=处取得极大值f(),且f()=.x(-∞,a)a(a,)(,+∞)

-0+0-0↘↘↗返回目录

名师伴你行SANPINBOOK23.考点3函数的最值与导数返回目录

［2010年高考江西卷］设函数f(x)=lnx+ln(2-x)+ax(a>0).(1)当a=1时,求f(x)的单调区间;(2)若f(x)在(0,1］上的最大值为,求a的值.【分析】利用单调性求最值.名师伴你行SANPINBOOK24.返回目录

【解析】函数f(x)的定义域为(0,2),f′(x)=+a.(1)当a=1时,f′(x)=,所以f(x)的单调递增区间为(0,2),单调递减区间为(2,2).(2)当x∈(0,1］时,f′(x)=+a>0,即f(x)在(0,1］上单调递增,故f(x)在(0,1］上的最大值为f(1)=a,因此a=.名师伴你行SANPINBOOK25.

本题主要考查函数的单调区间、最值及导数的应用，同时考查运算求解能力.返回目录

名师伴你行SANPINBOOK26.已知a为常数，求函数f(x)=-x3+3ax(0≤x≤1)的最大值.f′(x)=-3x2+3a=-3(x2-a).若a≤0，则f′(x)＜0，函数f(x)单调递减.∴当x=0时，有最大值f(0)=0.若a＞0，则令f′(x)=0，解得x=±.∵x∈［0,1］,则只考虑x=的情况.如下表所示:【解析】返回目录

名师伴你行SANPINBOOK27.(1)0＜＜1，即0＜a＜1，当x=时,f(x)有最大值f()=2a.(2)≥1，即a≥1，当x=1时,f(x)有最大值f(1)=3a-1.综上,当a≤0,x=0时，f(x)有最大值0;当0＜a＜1,x=时,f(x)有最大值2a;当a≥1，x=1时，f(x)有最大值3a-1.x0(0,)f′(x)+0-f(x)↗↘返回目录

名师伴你行SANPINBOOK28.返回目录

考点4最优化问题一艘轮船在航行中的燃料费和它速度的立方成正比，已知在速度为每小时10公里时的燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元.问此轮船以多大速度航行时，能使行驶每公里的费用总和最小？【分析】由题意构造函数，利用导数求最值.名师伴你行SANPINBOOK29.【解析】设船的速度为x(x＞0)（公里/小时）时,燃料费用为Q元，则Q=kx3.由6=k×103可得k=,∴Q=x3.∴总费用y=(x3+96)·=x2+.∴y′=x-.令y′=0得x=20.当x∈(0,20)时,y′＜0，此时函数单调递减.当x∈(20,+∞)时,y′＞0，此时函数单调递增.∴当x=20时，y取得最小值.∴此轮船以20公里/小时的速度行驶时每公里的费用总和最小.返回目录

名师伴你行SANPINBOOK30.（1）用导数解应用题求最值的一般方法是：求导，令导数等于零;求y′=0的根，求出极值点;最后写出解答.（2）在有关极值应用的问题中，绝大多数在所讨论的区间上函数只有一点使得f′(x)=0,且在两侧f′(x)的符号各异，一般称为单峰问题，此时该点就是极值点，也是最值点.返回目录

名师伴你行SANPINBOOK31.从边长为2a的正方形铁片的四个角各截去一个边长为x的正方形，再将四边向上折起，做成一个无盖长方体铁盒，要求长方体的高度与底面边长的比值不超过常数t(t>0).试问当x取何值时，容积V有最大值?返回目录

名师伴你行SANPINBOOK32.V=x(2a-2x)2=4(a-x)2·x.∵