习题124求下列微分方程的通解

习题12-41.求下列微分方程的通解:解y=6一件(上一‘ C)=(Je~xexdx+C)=e~x(x+C).(2)W+y=/+3x+2;解原方程变为y'+Ly=x+3+2.y=e%"[J(x+3+2)Jl，¥+C]=1[J(工+3+2)xdx+C]=—[J(x24-3x+2)dx+C]A X X=*9+标+29=#+42+邑

入J， 3幺X(3)y'+ycosx=e一2'；解y=e~fcOSJA(je_siavJCOSXJ.VJX+Q=e-sim(Je-si^,esin.xdx+q=6-5皿(工+Q(4))/+ytanx=sin2x\解产院""(Jsin2xJ皿勺/x+C)=*cos%jsin2x•eTncos.%x+C)=cosX[2siiixcosx•--—dx+C)

J cosx=cosx(-2cosx+C)=Ccosx-2cos2x.(5)(^-1)y'+2xy-cosx=0;解原方程变形为),'+春)，=泻.y=i&dXcosxJxy=i&dXcosxJx2-l^-dxx-Tdx+C)占[]箸(xMWx+C>p^sinx+C).（嚼+3月=2；解夕=「夕d〃+c）=6-31J2638d夕+C)dy⑺十+2q=4x;dx解y= "(J4xJ2xdAdx+C)=©一'(J^x-exldx+C)=k炉(2e炉+C)=2+Ce-x2.(8)ylnydx+(x-\ny)d.v=O；解原方程变形为半+l^x=L.ayyhiy y-\—^—dy「if-J—JvX=e(|±.^yinydy+C)Jv(9)(x—2)半=y+2(x-2)3;ax解原方程变形为芈一一三y=2(x—2)2.dxx-2y=x-2[j2(x-2)2-^-x~2dx+C]二(x-2)[J2(x-2)2 C]・A4=(x-2)[(x-2)2+C]=(x-2)3+C(x-2).(10)(y2-6x)^-+2y=0.dx解原方程变形为半dyy2-f—Jvr1 -(—dyx=Jy[](-/)•/,力+q=y3(-]JyJdy+C)2J铲

J=y3(—+0=方+03.Zy /.求下列微分方程满足所给初始条件的特解：dy(1)-7--ytanx=secx,y10=0;ax.解y=Jt皿“'(JsecxW+c)TOC\o"1-5"\h\z=---"seercosxdx+Q=―-—(x+C).COSXJ cosx由外=0=0,得C=0,故所求特解为y=xsecx.⑵”=吟axxx解y=eX解y=eX巫卅dx+C)=l(f^ilLL.j；6fr+Q=—(-cosx+C).入X X由)卜*1,得C=el,故所求特解为y=L(/r—l_cosx).X⑶9+ycoix=5ecosx,)'|「不=一4；解产/Jc°t.s(j5ecosx -+q=—-—([5ecos'-siiixdx+C)=J(—5^COSA+C).siiixJ sinx由升_z=—4,得C=l,故所求特解为y=」_(_5ecosx+l).工=5 SillAdy「o.⑷才+3y=8,yd=2;ax.

解y=e-^dx^e^dxdx+C)=ef(8Je3xdx+C)=e-3x(^^+C)=|+C^3v.由务o=2,得C=—争故所求特解为尸■|(4—eT)⑸孚+2寸2y=l,3卜1=0.axV解尸)号飞11岁般+C)TOC\o"1-5"\h\z1 1_J_ J_=x3ex2(J-y^炉dx+C)=y?e/1 i ±-i由H1=o,得C=—3,故所求特解为)=1好(1—金/)・2e 2.求一曲线的方程，这曲线通过原点，并且它在点(x,y)处的切线斜率等于2%+广解由题意知y'=2r+y,并且)卜0=0.由通解公式得y=/'(j2xe~^dxdx+C)=ev(2jxe~xdx+C)=ex(-2xe-x-2e-x+C)=Cex-2x-2.由ybo=O,得C=2,故所求曲线的方程为)=2(e'T-l)..设有一质量为〃?的质点作直线运动，从速度等于零的时刻起，有一个与运动方向一至、大小与时间成正比(比例系数为h)的力作用于它，此外还受一与速度成正比(比例系数为七)的阻力作用.求质点运动的速度与时间的函数关系.解由牛顿定律尸=团4,得〃7=占1-&□,即4=dt dtmmv=efJ*dt+C)=*由通解公式得v=efJ*dt+C)=*'(fkf.温df+C)Jm蜡一等蜡+C).em蜡一等蜡+C).em由题意，当1=0时D,于是得。=粤.因此女2.设有一个由电阻R=10Q、电感L=2h(亨)和电源电压E=20sm5/*伏)串联组成的电路.开关K合上后，电路中有电源通过.求电流i与时间7的函数关系.解由回路电压定律知20siii5r-2^-10z=0,即%5i=10sin5r.dt dt由通解公式得i=j10sin5z-e^5dtdt+C)=sin5z-cos5^+Ce~5t.因为当上0时i=0,所以C=L因此i=sin5f—i=sin5f—cos5f+L=e~5t+V2sin(5/-令(A)..设曲工»(八%/五+[2¥(6一/]4)，在右半平面(x〉0)内与路径无关，其中公)可导，且人1)=1,求危).解因为当Q0时，所给积分与路径无关，所以枭打切噌回⑶田，即 /(x)=2/(a)4-2a/(x)-2x,或 ra)+2/(x)=l因此|门因此|门由人1)=1可得c=],故/(工)=2工+4.3 33y/x.求下列伯努利方程的通解：(l)^-+y=y2(cosx-siiix);人

解原方程可变形为十+一=cosx—sinx,即告一^一)，i=sinx—cosr.axy dxy~[=^</a[J(sinx-cosx)-e~^lxdx+C]=e~x[\(cosv-siiix)exdx+C]=Cex-siiix,原方程的通解为-=Cex-sinx.y(2)，-3xy=xy2；ax解原方程可变形为1dy&-1ntld(y~[)Q_«-5—L—3x-=x,即— F3XV=—X.TOC\o"1-5"\h\zyzdxy dx'yT=/3"U(_x).j3M4.+a_32 3,2=e(一卜方dx+C)1

一?'3、 13， 31

一?'-A-/I-X- — ——X-=e2(—*2+C)=Ce21-lx21原方程的通解为L=Ce2-A.y3⑶窑+然；(1_2力；C/人JJ解原方程可变形为皤学省-2x),即啥一尸=2-y~3= (2人‘一1)吆T“dx+C]=ex[^(2x-l)e~xdx+C]=-2x-l+Cex,原方程的通解为二二CF—2x—1.)'3

/八外 s（4）关-y=W；解原方程可变形为1dy1y5dxy4=x,B|J-^Z121dy1y5dxy4y-4=/〕4叫J(_而)J痴%X+C]=^-4(-4jxe4xdx+C)=—x+1+CeT*4原方程的通解为1=—x+1+Ce-4x.)产4(5)xJy-^+x)3(l+liix)]dx=Q.解原方程可变形为*务已=。+皿,即-*务已=。+皿,即--+—y~2=-2(1+hix).axxy~2=e上小[一2J(1+hix)-e^Adx+C]=二[-2J(1+Inx)Ndx+C]C2. 4=h铲1nAy原方程的通解为」y= X111X—），2N3 9.验证形如水刈）办+rg（刈）力=0的微分方程，可经变量代换v=xy化为可分离变量的方程，并求其通解.解原方程可变形为办-—WW）dx稔⑴，）.在代换IF3，下原方程化为dvX~dx~Vv/OO7 x2g（p）'即「*")—-du=-dx,积分得1一 =1nl+0，对上式求出积分后，将X0代回，即得通解.9.用适当的变量代换将下列方程化为可分离变量的方程，然后求出通解：⑴半=(x+y)2；ax解令H=x+y,则原方程化为华-1=M,即公=4.ax l+wz两边积分得x=aictanu+C.将〃=x+y代入上式得原方程的通解x=aictan(x+),)+G即)^=-x+tan(x-Q.(2)半=」—+1；axx-y解令代x-y,则原方程化为1_也=工+1,BPdx=-udu.axu两边积分得x=--u2+C1.将〃=x+y代入上式得原方程的通解x=--^(x-y)2+C[,BP(x-y)2=-2x+C(C=2Ci).4^(3)xyf+y=y(\nx+lny);解令；-xy,则原方程化为xdW,即以=一一反.xdxx1xxxuinu两边积分得Inx+lnC=lnlnu9BPu=eCx.将代入上式得原方程的通解孙=不、即上/二X(4))/=)?2+2(suix-l)y+sm2x-2suix-cosx+1;解原方程变形为y-(j'+SlllX-1)2—COSX.令u=y+smx-1,则原方程化为率-cosx=〃2_cosx,BP\du=dx.dx M两边积分得--=x+C.a将u=y+smx-l代入上式得原方程的通解 r -=x+C,即y=l-sinx .y+suix-l ” x+C(5))(yy+1)dx+x(1+xy+x1y2)d\^=0.解原方程变形为dy=MXx+1