积分与反常习题课

积分与反常积分习题a假设f(x)区间[ab可积且有原函数F(x（注释：在区间[ab可积的函数未必有原函数）则有bf(x)dxF(b)F(a)．a提示：对于区间[ab任意分割Tax0x1xnb [F(xi)F(xi1)]F(i)xi a求证：假设f(x在[ab可积，则0，存在区间[abgx，使得b|f(x)g(x)|dx．a设f(x在[ab可积，求证函数cosf(x在[ab１．lim

[(n1)(n2)2n]n n２．lim1n

nxdx（13nx,0x

00

(x)

n．

(x)

(xk

1ex

(x)dx（11exdx20４．用极限定义计算12xdx0

1f(x)dx是和式nf(

了依据．假定积分

1f(x)dx存在，则当n时，两个和式：

nf(i1)n1 n1

1nf2i1都趋向于1f(x)dx．不过收敛速度有所不同．研究下面 ni 假设f(x在[0,1①|1f(x)dxSn|1M1，②|1f(x)dxn|1M2 M1M2是与f(x)lnxdxp1收敛lnxdxp0)（发散 x

xln(1x)dxp0（p1收敛）４．ln1x)pdxp0（p1 x

1 敛．５．2lnsinxdx（收敛

dx（发散 0lnsin dx（收敛．７．cos(lnxdx（发散.换元tlnx）3x(x2)3x(x2)2(x(1cos1sin1)dx（收敛，泰勒公式，比阶判别法x x１．x3ex2dx（1，换元法 ２．arctanxdx（1(ln4)，分部积分法 0３．0

xln

三 证明题a（１）举例说明：a

f(x0a（２）f(x在[a,非负且一致连续，f(x)dxa

f(x)0sin

sin2

xdx收敛，但是

dxx积分与反常积分习题课题目及解a１。假设f(x区间[abF(x)（注释：在区间[ab可积的函数未必有原函数）则有bf(x)dxF(b)F(a)．a证明：对于区间[ab任意分割Tax0x1xnb F(b)F(a)[F(xi)F(xi1)]F(i)xi．i(xi1,xi a当分割的直径趋向于零时，等式右端有极限bf(x)dxaa求证：假设f(x在[ab可积，则0，存在区间[abgx，使得b|f(x)g(x)|dx．a0，由黎曼定理（2.1.4）推出，存在0，使得直径n式Tx1x2,xn}，都有(Mkmkk

今取一个满足直径的确定的分割Tx1x2,xn}g(x)mkx[xk1xk)(k1,2,nnb|f(x)g(x)|dxb(f(x)g(x))dx

xk(f(x)

k

kn (Mkmk)dxk

k设f(x在[ab可积，求证函数expf(x)]在[ab证明：f(x在[ab，设Msup{|f(x|axb}．对于区间[abT{x1,x2,,xn}，Misup{f(x)|xi1xximiinf{f(x)|xi1xxi}，iMimiu,v[xi1xi]（其中介于f(u),f(vM1exp(M．对于上述任意分割T{x1,x2,,xn}，命 xx}，m*inf{exp[f(x)]|

xx *M*m*

n*x

n(M*

n sup{exp[f(u)]exp[f(v)]:

xx}

nM1sup{f(u)f(v):xi1xxi}

M1ixin由于f(xixi0n

0 １．

1[(n1)(n2)2n]nn 解：令

1[(n1)(n2)2n]n[(11)(12)1n)] Aln

1[ln(11)ln(12)ln(1n)]n1ln(1x)dx2ln21 lim

4e２．lim1x2sin2nxdx4knk1

解0x

nxdxnx

nk1 2

2

1 1 kk1

kn

nxdx0nx,0x0

kk1

tdt k1nkn

dx 3

(x)

n．

(x)

(xk

1ex

(x)dx1 n

k

gn(x)dx

k

(x

nk1 n

k(xk1)dx

n

(x)dx

n

11exdxn1k1

n

2n

2k

k

k

1f(x)dx是和式nf(

0 0了依据．假定积分

1f(x)dx存在，则当n时，两个和式：

nf(i1)n1 n1

1nf2i1都趋向于1f(x)dxn n 假设f(x在[0,1①|1f(x)dxSn|1M1，②|1f(x)dxn

1M2 其中M1和M2是与f(x)有关的正数．

n

1 k1 n

kkk|0f(x)dxSn||n1f(x)dxnkk

)|n

n|f(x)f

)|nk1

k

k1n k

k kkn1|f(k)(xkk

n)|dxM1

(x

)dx

12nk1

k n12knn12kn n

2kk②|0f(x)dxn|n|f(x)k

)|k1 2k|n|k

f(k)(x

)|k1 2k

2k

kM1kk1

|x

|dx2M1n2k k12k

|x

|dx2M k

１．lnxdx(p0)，２．lnxdx(p0)，３．ln(1x)dx(p0) x

x

x ４ ln(1x)pdx(p ．５ (lnsinx

（发散） 1 dx（收敛．７．cos(lnxdx（发散.换元tlnx）3x(x2)3x(x2)2(x(1cos1sin1)dx（收敛，泰勒公式，比阶判别法x x１．p1收敛；２．发散；３．1p2４．ln(1x)pdxln(12)p

p1收敛，p1 1

112lnsinxdxx0．

x2lnsinx00

20lnsin

dxx

2

lim ，所以发散．2x0lnsin2７．cos(lnx)dxcos

etdt 1

012n

12n212解2n212

tedt22n2costdt1(1cos1sin1)dx（收敛，泰勒公式，比阶判别法x1xu1cosu

1u21u4o(u4)1u2o(u4)

1u4o(u4 x1cosx

sin1 1o(1) 24x2 x2

x2(1cos

1)

1xx１．x3ex2dx（1，换元法 ２．arctanxdx（1(ln4)，分部积分法 0３．0

xln

三 证明题a（１）举例说明：a

f(x0a（２）f(x在[a,非负且一致连续，f(x)dxa

f(x)0 （１）

f(x0不成立，则存在某个正数b列{xn}，使得f(xn)2bx1a1xn1xn2由于f(x)[a,)一致连续，所以存在正数（不妨设1），使得在区间[xnxn恒有f(xb．于f(x)dx

xnf(x)dx

xkf(x)dxn2bnb