2022年内蒙古赤峰市中考数学试卷

第21页（共21页）2022年内蒙古赤峰市中考数学试卷一、选择题（每小题给出的选项中只有一个符合题意，请将符合题意的选项序号，在答题卡的对应位置上按要求涂黑．每小题3分，共42分）1．（3分）﹣5的绝对值是（D）A．﹣ B．﹣5 C． D．52．（3分）下列图案中，不是轴对称图形的是（A）A． B． C． D．3．（3分）同种液体，压强随着深度增加而增大．7km深处海水的压强为72100000Pa，数据72100000用科学记数法表示为（C）A．7.21×106 B．0.721×108 C．7.21×107 D．721×1054．（3分）解不等式组时，不等式①、②的解集在同一数轴上表示正确的是（A）A． B． C． D．5．（3分）下面几何体的俯视图是（B）A． B． C． D．6．（3分）如图，点A（2，1），将线段OA先向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到线段O′A′，则点A的对应点A′的坐标是（C）A．（﹣3，2） B．（0，4） C．（﹣1，3） D．（3，﹣1）7．（3分）下列运算正确的是（C）A．a3+a2＝a5 B．a2•a3＝a6 C．2a•3a2＝6a3 D．（﹣a4）3＝﹣a78．（3分）下列说法正确的是（D）A．调查某班学生的视力情况适合采用随机抽样调查的方法 B．声音在真空中传播的概率是100% C．甲、乙两名射击运动员10次射击成绩的方差分别是S甲2＝2.4，S乙2＝1.4，则甲的射击成绩比乙的射击成绩稳定 D．8名同学每人定点投篮6次，投中次数统计如下：5，4，3，5，2，4，1，5，则这组数据的中位数和众数分别是4和59．（3分）如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形ABCD，其中一张纸条在转动过程中，下列结论一定成立的是（D）A．四边形ABCD周长不变 B．AD＝CD C．四边形ABCD面积不变 D．AD＝BC10．（3分）某中学对学生最喜欢的课外活动进行了随机抽样调查，要求每人只能选择其中的一项．根据得到的数据，绘制的不完整统计图如下，则下列说法中不正确的是（B）A．这次调查的样本容量是200 B．全校1600名学生中，估计最喜欢体育课外活动的大约有500人 C．扇形统计图中，科技部分所对应的圆心角是36° D．被调查的学生中，最喜欢艺术课外活动的有50人故11．（3分）已知（x+2）（x﹣2）﹣2x＝1，则2x2﹣4x+3的值为（A）A．13 B．8 C．﹣3 D．5【解答】解：（x+2）（x﹣2）﹣2x＝1，x2﹣4﹣2x＝1，x2﹣2x＝5，所以2x2﹣4x+3＝2（x2﹣2x）+3＝2×5+3＝10+3＝13，故选：A．12．（3分）如图所示，圆锥形烟囱帽的底面半径为12cm，侧面展开图为半圆形，则它的母线长为（D）A．10cm B．20cm C．5cm D．24cm【解答】解：设母线的长为R，由题意得，πR＝2π×12，解得R＝24，∴母线的长为24cm，故选：D．13．（3分）如图，菱形ABCD，点A、B、C、D均在坐标轴上．∠ABC＝120°，点A（﹣3，0），点E是CD的中点，点P是OC上的一动点，则PD+PE的最小值是（A）A．3 B．5 C．2 D．【解答】解：根据题意得，E点关于x轴的对称点是BC的中点E'，连接DE'交AC与点P，此时PD+PE有最小值为DE'，∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°，点A（﹣3，0），∴OA＝OC＝3，∠DBC＝60°，∴△BCD是等边三角形，∴DE'＝OC＝3，即PD+PE的最小值是3，故选：A．14．（3分）如图，AB是⊙O的直径，将弦AC绕点A顺时针旋转30°得到AD，此时点C的对应点D落在AB上，延长CD，交⊙O于点E，若CE＝4，则图中阴影部分的面积为（C）A．2π B．2 C．2π﹣4 D．2π﹣2【解答】解：连接OE，OC，BC，由旋转知AC＝AD，∠CAD＝30°，∴∠BOC＝60°，∠ACE＝（180°﹣30°）÷2＝75°，∴∠BCE＝90°﹣∠ACE＝15°，∴∠BOE＝2∠BCE＝30°，∴∠EOC＝90°，即△EOC为等腰直角三角形，∵CE＝4，∴OE＝OC＝2，∴S阴影＝S扇形OEC﹣S△OEC＝﹣×＝2π﹣4，故选：C．二、填空题（请把答案填写在答题卡相应的横线上．每小题3分，共12分）15．（3分）分解因式：2x3+4x2+2x＝2x（x+1）2．【16．（3分）已知王强家、体育场、学校在同一直线上，下面的图象反映的过程是：某天早晨，王强从家跑步去体育场锻炼，锻炼结束后，步行回家吃早餐，饭后骑自行车到学校．图中x表示时间，y表示王强离家的距离．则下列结论正确的是①③④．（填写所有正确结论的序号）①体育场离王强家2.5km②王强在体育场锻炼了30min③王强吃早餐用了20min④王强骑自行车的平均速度是0.2km/min17．（3分）如图，为了测量校园内旗杆AB的高度，九年级数学应用实践小组，根据光的反射定律，利用镜子、皮尺和测角仪等工具，按以下方式进行测量：把镜子放在点O处，然后观测者沿着水平直线BO后退到点D，这时恰好能在镜子里看到旗杆顶点A，此时测得观测者观看镜子的俯角α＝60°，观测者眼睛与地面距离CD＝1.7m，BD＝11m，则旗杆AB的高度约为17m．（结果取整数，≈1.7）18．（3分）如图，抛物线y＝﹣x2﹣6x﹣5交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点D（m，m+1）是抛物线上的点，则点D关于直线AC的对称点的坐标为（﹣5，﹣4）或（0，1）．【解答】解：把点D（m，m+1）代入抛物线y＝﹣x2﹣6x﹣5中得：m+1＝﹣m2﹣6m﹣5，解得：m1＝﹣1，m2＝﹣6，∴D（﹣1，0）或（﹣6，﹣5），当y＝0时，﹣x2﹣6x﹣5＝0，∴x＝﹣1或﹣5，∴A（﹣5，0），B（﹣1，0），当x＝0时，y＝﹣5，∴OC＝OA＝5，∴△AOC是等腰直角三角形，∴∠OAC＝45°，①如图1，D（﹣1，0），此时点D与B重合，连接AD'，∵点D与D'关于直线AC对称，∴AC是BD的垂直平分线，∴AB＝AD'＝﹣1﹣（﹣5）＝4，且∠OAC＝∠CAD'＝45°，∴∠OAD'＝90°，∴D'（﹣5，﹣4）；②如图2，D（﹣6，﹣5），∵点D（m，m+1），∴点D在直线y＝x+1上，此时直线y＝x+1过点B，∴BD⊥AC，即D'在直线y＝x+1上，∵A（﹣5，0），C（0，﹣5），则直线AC的解析式为：y＝﹣x﹣5，∵﹣x﹣5＝x+1，∴x＝﹣3，∴E（﹣3，﹣2），∵点D与D'关于直线AC对称，∴E是DD'的中点，∴D'（0，1），综上，点D关于直线AC的对称点的坐标为（﹣5，﹣4）或（0，1）．故答案为：（﹣5，﹣4）或（0，1）．三、解答题（在答题卡上解答，答在本试卷上无效，解答时要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．共8题，满分96分）19．（10分）先化简，再求值：（1+）÷，其中a＝（）﹣1+4cos45°．【解答】解：（1+）÷＝•＝•＝3（a﹣1）＝3a﹣3，当a＝（）﹣1+4cos45°＝2﹣2+4×＝2﹣2+2＝2时，原式＝3×2﹣3＝3．20．（10分）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，BC＝5．（1）作BC的垂直平分线，分别交AB、BC于点D、H；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，连接CD，求△BCD的周长．【解答】解：（1）如图，DH为所作；（2）∵DH垂直平分BC，∴DC＝DB，∴∠B＝∠DCB，∵∠B+∠A＝90°，∠DCB+∠DCA＝90°，∴∠A＝∠DCA，∴DC＝DA，∴△BCD的周长＝DC+DB+BC＝DA+DB+BC＝AB+BC＝8+5＝13．21．（12分）为了解青少年健康状况，某班对50名学生的体育达标情况进行了测试，满分为50分．根据测试成绩，绘制出不完整的频数分布表和不完整的频数分布直方图如下：组别成绩x（分）频数（人数）第一组5≤x＜151第二组15≤x＜255第三组25≤x＜3512第四组35≤x＜45m第五组45≤x＜5514请结合图表完成下列各题：（1）求表中m的值；（2）请把频数分布直方图补充完整；（3）若测试成绩不低于35分为达标，则本次测试的达标率是多少？（4）第三组12名学生中有A、B、C、D四名女生，现将这12名学生平均分成两组进行竞赛练习，每组两名女生，请用画树状图法或列表法求B、C两名女生分在同一组的概率．【解答】解：（1）m＝50﹣1﹣5﹣12﹣14＝18；（2）如图，（3）本次测试的达标率为×100%＝64%；（4）画树状图为：共用12种等可能的结果，其中B、C两名女生分在同一组的结果数为4，所以B、C两名女生分在同一组的概率＝＝．22．（12分）某学校建立了劳动基地，计划在基地上种植A、B两种苗木共6000株，其中A种苗木的数量比B种苗木的数量的一半多600株．（1）请问A、B两种苗木各多少株？（2）如果学校安排350人同时开始种植这两种苗木，每人每天平均能种植A种苗木50株或B种苗木30株，应分别安排多少人种植A种苗木和B种苗木，才能确保同时完成任务？【解答】解：（1）设A种苗木有x株，B种苗木有y株，根据题意，得，解得，答：A种苗木有2400株，B种苗木有3600株；（2）设安排m人种植A种苗木，根据题意，得，解得m＝100，经检验，m＝100是原方程的根，且符合题意，350﹣m＝350﹣100＝250（人），答：应安排100人种植A种苗木，250人种植B种苗木，才能确保同时完成任务．23．（12分）阅读下列材料定义运算：min|a，b|，当a≥b时，min|a，b|＝b；当a＜b时，min|a，b|＝a．例如：min|﹣1，3|＝﹣1；min|﹣1，﹣2|＝﹣2．完成下列任务（1）①min|（﹣3）0，2|＝1；②min|﹣，﹣4|＝﹣4．（2）如图，已知反比例函数y1＝和一次函数y2＝﹣2x+b的图象交于A、B两点．当﹣2＜x＜0时，min|，﹣2x+b|＝（x+1）（x﹣3）﹣x2，求这两个函数的解析式．【解答】解：（1）由题意可知：①min|（﹣3）0，2|＝1，②min|﹣，﹣4|＝﹣4；故答案为：1，﹣4．（2）当﹣2＜x＜0时，min|，﹣2x+b|＝（x+1）（x﹣3）﹣x2＝﹣2x﹣3，∵一次函数y2＝﹣2x+b，∴b＝﹣3，∴y2＝﹣2x﹣3，当x＝﹣2时，y＝1，∴A（﹣2，1）将A点代入y1＝中，得k＝﹣2，∴y1＝﹣．24．（12分）如图，已知AB为⊙O的直径，点C为⊙O外一点，AC＝BC，连接OC，DF是AC的垂直平分线，交OC于点F，垂足为点E，连接AD、CD，且∠DCA＝∠OCA．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若CD＝6，OF＝4，求cos∠DAC的值．【解答】（1）证明：∵AC＝BC，点O为AB的中点，∴CO⊥AB．∵DF是AC的垂直平分线，∴DC＝DA，∴∠DCA＝∠DAC．∵∠DCA＝∠OCA，∴∠DAC＝∠OCA．∴DA∥OC，∴DA⊥OA．∵OA是⊙O的半径，∴AD是⊙O的切线；（2）解：在△CDE和△CFE中，，∴△CDE≌△CFE（ASA），∴CD＝CF＝6，∴CO＝CF+OF＝10．∵DF是AC的垂直平分线，∴CE＝AE＝AC．∵∠CEF＝∠COA＝90°，∠ECF＝∠OCA，∴△CEF∽△COA，∴，∴，∴AC＝2，在Rt△AOC中，∵cos∠OCA＝，∴cos∠DAC＝cos∠OCA＝．25．（14分）【生活情境】为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长AD＝4m，宽AB＝1m的长方形水池ABCD进行加长改造（如图①，改造后的水池ABNM仍为长方形，以下简称水池1）．同时，再建造一个周长为12m的矩形水池EFGH（如图②，以下简称水池2）．【建立模型】如果设水池ABCD的边AD加长长度DM为x（m）（x＞0），加长后水池1的总面积为y1（m2），则y1关于x的函数解析式为：y1＝x+4（x＞0）；设水池2的边EF的长为x（m）（0＜x＜6），面积为y2（m2），则y2关于x的函数解析式为：y2＝﹣x2+6x（0＜x＜6），上述两个函数在同一平面直角坐标系中的图象如图③．【问题解决】（1）若水池2的面积随EF长度的增加而减小，则EF长度的取值范围是3≤x＜6（可省略单位），水池2面积的最大值是9m2；（2）在图③字母标注的点中，表示两个水池面积相等的点是C，E，此时的x（m）值是1或4；（3）当水池1的面积大于水池2的面积时，x（m）的取值范围是0＜x＜1或4＜x＜6；（4）在1＜x＜4范围内，求两个水池面积差的最大值和此时x的值；（5）假设水池ABCD的边AD的长度为b（m），其他条件不变（这个加长改造后的新水池简称水池3），则水池3的总面积y3（m2）关于x（m）（x＞0）的函数解析式为：y3＝x+b（x＞0）．若水池3与水池2的面积相等时，x（m）有唯一值，求b的值．【解答】解：（1）∵y2＝﹣x2+6x＝﹣（x﹣3）2+9，又∵﹣1＜0，∴抛物线的开口方向向下，当x≥3时，水池2的面积随EF长度的增加而减小，∵0＜x＜6，∴当3≤x＜6时，水池2的面积随EF长度的增加而减小，水池2面积的最大值是9m2．故答案为：3≤x＜6；9；（2）由图象可知：两函数图象相交于点C，E，此时两函数的函数值相等，即：x+4＝﹣x2+6x，解得：x＝1或4，∴表示两个水池面积相等的点是：C，E，此时的x（m）值是：1或4．故答案为：C，E；1或4；（3）由图象知：图象中点C的左侧部分和点E的右侧部分，一次函数的函数值大于二次函数的函数值，即当0＜x＜1或4＜x＜6时，水池1的面积大于水池2的面积，故答案为：0＜x＜1或4＜x＜6；（4）在抛物线上的CE段上任取一点F，过点F作FG∥y轴交线段CE于点G，则线段FG表示两个水池面积差，设F（m，﹣m2+6m），则G（m，m+4），∴FG＝（﹣m2+6m）﹣（m+4）＝﹣m2+5m﹣4＝﹣+，∵﹣1＜0，∴当m＝时，FG有最大值为．∴在1＜x＜4范围内，两个水池面积差的最大值为，此时x的值为；（5）∵水池3与水池2的面积相等，∴y3＝y2，即：x+b＝﹣x2+6x，∴x2﹣5x+b＝0．∵若水池3与水池2的面积相等时，x（m）有唯一值，∴Δ＝（﹣5）2﹣4×1×b＝0，解得：b＝．∴若水池3与水池2的面积相等时，x（m）有唯一值，b的值为米．26．（14分）同学们还记得吗？图①，图②是人教版八年级下册教材“实验与探究”中我们研究过的两个图形．受这两个图形的启发，数学兴趣小组提出了以下三个问题，请你回答：【问题一】如图①，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，OA1交AB于点E，OC1交BC于点F，则AE与BF的数量关系为AE＝BF；【问题二】受图①启发，兴趣小组画出了图③：直线m、n经过正方形ABCD的对称中心O，直线m分别与AD、BC交于点E、F，直线n分别与AB、CD交于点G、H，且m⊥n，若正方形ABCD边长为8，求四边形OEAG的面积；【问题三】受图②启发，兴趣小组画出了图④：正方形CEFG的顶点G在正方形ABCD的边CD上，顶点E在BC的延长线上，且BC＝6，CE＝2．在直线BE上是否存在点P，使△APF为直角三角形？若存在，求出BP的长度；若不存在，说明理由．【解答】解：【问题一】∵正方形ABCD的对角线相交于点O，∴OA＝OB，∠OAB＝∠OBA＝45°，∠AOB＝90°，∵四边形A1B1C1O是正方形，∴∠EOF＝