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文档简介
三角形四心与向量的典型问题分析向量是数形结合的载体,有方向,大小,双重性,不能比较大小。在高中数学“平面向量”(必修4第二章)的学习中,一方面通过数形结合来研究向量的概念和运算;另一方面,我们又以向量为工具,运用数形结合的思想解决数学问题和物理的相关问题。在平面向量的应用中,用平面向量解决平面几何问题时,首先将几何问题中的几何元素和几何关系用向量表示,然后选择适当的基底向量,将相关向量表示为基向量的线性组合,把问题转化为基向量的运算问题,最后将运算的结果再还原为几何关系。下面就以三角形的四心为出发点,应用向量相关知识,巧妙的解决了三角形四心所具备的一些特定的性质。既学习了三角形四心的一些特定性质,又体会了向量带来的巧妙独特的数学美感。一、“重心”的向量风采【命题1】已知是所在平面上的一点,若,则是的重心.如图⑴.MM图⑵图⑵图⑴【命题2】已知是平面上一定点,是平面上不共线的三个点,动点满足,,则的轨迹一定通过的重心.【解析】由题意,当时,由于表示边上的中线所在直线的向量,所以动点的轨迹一定通过的重心,如图⑵.二、“垂心”的向量风采【命题3】是所在平面上一点,若,则是的垂心.【解析】由,得,即,所以.同理可证,.∴是的垂心.如图⑶.图⑷图⑷图⑶【命题4】已知是平面上一定点,是平面上不共线的三个点,动点满足,,则动点的轨迹一定通过的垂心.【解析】由题意,由于,即,所以表示垂直于的向量,即点在过点且垂直于的直线上,所以动点的轨迹一定通过的垂心,如图⑷.三、“内心”的向量风采【命题5】已知为所在平面上的一点,且,,.若,则是的内心.图⑹图⑹图⑸【解析】∵,,则由题意得,∵,∴.∵与分别为和方向上的单位向量,∴与平分线共线,即平分.同理可证:平分,平分.从而是的内心,如图⑸.【命题6】已知是平面上一定点,是平面上不共线的三个点,动点满足,,则动点的轨迹一定通过的内心.【解析】由题意得,∴当时,表示的平分线所在直线方向的向量,故动点的轨迹一定通过的内心,如图⑹.四、“外心”的向量风采【命题7】已知是所在平面上一点,若,则是的外心.图⑺图⑺图⑻【解析】若,则,∴,则是的外心,如图⑺。【命题7】已知是平面上的一定点,是平面上不共线的三个点,动点满足,,则动点的轨迹一定通过的外心。【解析】由于过的中点,当时,表示垂直于的向量(注
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