专题5.1 求解曲线的离心率的值或范围问题-2020届高考数学压轴题讲义(选填题)(原卷版)

修正版修正版玩转压轴屆夹破140分之高三数学选填题高删品专题5・1求解曲竣的离心率的值或范围问题方法综述离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以卞几种情况:根据题意求出ci、b,c的值，再由离心率的定义椭圆工=匚=伫直=1-（2尸、crcra双曲线e'=2=Ul=l+（2）2直接求解；a~a~a由题意列出含有ci,b,c的方程（或不等式），借助于椭圆b2=a2-c2>双曲线b2=c2~a~消去b,构造o,c的齐次式，求出《；采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解；根据圆锥曲线的统一定义求解.解题时要注意椭圆本身所含的一些范闱的应用，如椭圆上的点的横坐标-a<x03等.二.解题策略类型一直接求出或求出d与b的比值，以求解£【例1][2019年4月28口三轮《每口一题》】已知双曲线C】：着—吕=1（a>0,b>0）的右焦点为抛物线C2：y2=2px的焦点卩，且点F到双曲线的一条渐近线的距离为若点P（2八③）在该双曲线上，则双曲线的离心率为（）也2B.—C.-D.-2ZZ【指点迷津】求双曲线离心率的值或离心率取值范围的两种方法：⑴直接求出3的值，可得匕；⑵建立讪C■2的齐次关系式，将b用©C表示,令两边同除以a或a化为e的关系式，解方程或者不等式求值或取值范围.【举一反三】21・【广西桂林市2019届高三4月（一模】设抛物线M:龙=4py（p>0）的焦点为几其准线与双曲线N~-yz=l的两个交点分别是A.B,若存在抛物线M使得"AB是等边三角形，则双曲线N的离心率的取值范I韦1是（）

A.孚+oo）B（晋）C-（竽+°°）D.（X+co）【四川省广元市2019届高三第二次高考适应】平面直角坐标系xOy中,双曲线G：着-音=l(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线C：x2=2py(p>0)交于O,A,E三点，若A.孚+oo）B（晋）C-（竽+°°）D.（X+co）类型二构造GC的齐次式，解出£【例2】【江苏省扬州中学2019届高三卞学期3月月考】已知双曲线咅—首=l(Q0,b>0)的左、右焦点分别为Fi、F：,直线MN过F“且与双曲线右支交于M、N两点，若cosZFiMN=cosZFiF2M,磐二吕则双曲线的离心率等于.【指点迷津】本题考査双曲线离心率的求法，解题的关键是把题中的信息用双曲线的基本量SC来表示,然后根据余弦定理建立起Q"间的关系式，再根据离心率的定义求解即可•对待此类型的方程常见的方法就是方程左右两边同除一个参数的最高次项即可转化成一个一元二次方程，化简整理的运算能力是解决此题的关键.【举一反三】已知椭圆和双曲线有共同焦点fP是它们的一个交点，且牛PF\=g,记椭圆和双曲线的离心率分别为50,则丄的最大值是()A・E.C・2D”333【指点迷津】本题综合性较强,难度较大,运用基本知识点结合本题椭圆和双曲线的定义给出4、5与Pg、P代的数量关系，然后再利用余弦定理求出与c的数量关系，最后利用基本不等式求得范围.类型三寻找特殊图形中的不铮关系或解三角形【例3】【北京市首都师范人学附属中学2019届高三一模】椭圆M：着+召=的左、右焦点分别为斤，耳，P为椭圆M上任一点，且的最大值的取值范围是[2c23c2],其中c=,则椭圆M的离心率e的取值范围是.【指点迷津】(1)解决圆锥曲线问题时要注意常见结论的运用，如椭圆的通径(过椭圆的焦点且垂直于长

轴的弦）长的结论.（2）图象特征的运用，本题根据题意，从的最大值为小，由题意知2c2<a2<3c2,由此能够导出椭圆M的离心率£的取值范围.【举一反三】[2019年4月27口三轮《每口一题》】.已知心分别为双曲线咅—音=1W>°，”>°）的左、右焦点，P是双曲线右支上一点，线段P鸟与以该双曲线虚轴为直径的圆相切于点M，且切点M为线段P鸟的中点，则该双曲线的离心率为（）TOC\o"1-5"\h\zA.頁B.5C.乎D.32•【贵州省凯里市第一中学2019届高三下学期模拟考试《黄金卷三》】己知F是椭圆着+召=lQa>b>0）的右焦点，4是椭圆短轴的一个端点，若F为过AF的椭圆的弦的三等分点，则椭圆的离心率为（）11A.5B.—C.2D.—32【指点迷津】根据椭圆几何性质可把椭圆内每条线段的长度用mb,C表示，然后利用余弦定理，在两个三角形里分别表示同一角的余弦，得到a,关系，求出离心率.类型四利用圆锥曲线性质【例4】已知林，&是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且牛PF\=g，设椭圆和双曲线的离心率分别为弓，冬,则q,冬的关系为（）1113,A.=—E.€.4=4C.——4—=4D.€.+3勺=43-3-5右【指点迷津】解决圆锥曲线问题时要注意常见结论的运用，如椭圆的通径（过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦）长的结论、焦点三角形的面积公式等.【举一反三】已知椭圆E：右+缶=l（a〉b>0）的短轴的两个端点分别为A,B,点C为椭圆上异于A,B的一点，直线AC与直线BC的斜率之积为-丄，则椭圆的离心率为（）4A・B・C・—D・2424【指点迷津】研究•解几问题，一是注重几何性，利用对称性减少参数；二是巧记一些结论，简约思维.简f2化运算，如本题利用kpA・kpB=_r、(AE关于原点对称，A6P为椭圆上三点).类型五利用平面几何性质【例5］【湖南省永州市2019届高三第三次模】过双曲线C~-4=IS>0怡>0)左焦点尸的直线【与C交于MjV两点，且而=3而，若OM丄F科,贝IJC的离心率为()A.2B.y/7C.3D.vTO【指点迷津】注意平面几何知识的运用，对于本题中的双曲线右焦点为F,取MN中点P,连接FPFMFN；根据已知可知PF为线段的垂直平分线，得到NF'=MFr；结合双曲线定义可以求解出MF=2a,从而得到的长度，根据勾股定理构造方程，从而求得离心率.【举一反三】【湖南省永州市2019届高三三模】已知0为坐标原点，F是椭圆吕+召=l(a>b>0)的左焦点，4瓦D分别为椭圆C的左、右顶点和上顶点，P为C上一点，且PF丄％轴，过瓦D点的直线!与直线PF交于M,若直线与线段0D交于点N,且ON=2ND，则椭圆C的离心率为.【指点迷津】1•对于求离心率的题，重要的是根据几何关系，或代数关系建立关于曲或矶的等式，再进一步求出离心率.常构建等式的方法有：(1)利用圆锥曲线定义(2)利用几何关系(3)利用点在曲线上.本题由题意作出图形，先由F是椭圆咅+音=l(a>b>0)的左焦点，得到F的坐标，求出PF的长度，根据AXOD,表示出MF的长度，再由〜佔ON,表示出MF的长度，列出等式，求解即可得出结果.类型六利用数形结合【例6】【山东省济宁市2019届高三一模】已知双曲线着—召=l(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F-“圆x2+y2=b2与双曲线在第一彖限内的交点为M,若|MFJ=3函甩1.则该双曲线的离心率为A.2B.3C.说D.苗【指点迷津】本题首先可以通过题意画出图形并过M点作耳尼垂线交厲甩于点丹，然后通过圆与双曲线的相关性质判断出三角形0M&的形状并求出高MH的长度，MH的长度即M点纵坐标，然后将M点纵坐标带入圆的方程即可得出M点坐标，最后将M点坐标带入双曲线方程即可得出结果.［举一反三］［2019届高三第二次全国人联考】已知椭圆C：咅+^=l(a>b>0)的右焦点为F,左顶点为上顶点为若点D在直线AB.h,且DF丄久轴，0为坐标原点，且kAB=lkOD,若离心率e6贝I抚的取值范閑为A.（鴛）B.G自c.（3,4）D.（乙3）三.强化训练1•【安徽省宣城市2019届高三第二次调研】已知耳，甩分别为椭圆咅+召=l（a>b>0）的左、右焦点，点P是椭圆上位于第二彖限内的点，延长P丘交椭圆于点Q,若PF：丄PQ，且|P&l=lPQl，则椭圆的离心率为（）A.—E・yj2—1C・—y'2D・2—【新疆维吾尔自治区2019年普通高考第二次适应】椭圆£+^=l（a>b>0）的左右焦点为耳，耳，若在椭圆上存在一点匕使得dP&Fz的内心I与重心G满足IG//FJ.,则椭圆的离心率为（）A.返E.么TOC\o"1-5"\h\zZ3-D.-32[2019年4月28日三轮《每口一题》】已知抛物线y2=4x与双曲线=l（a>0,2?>0）有相同的焦点F,点』是两曲线的一个交点，点3是点F关于坐标原点的对称点，且以AE为直径的圆过点F,则双曲线的离心率为（）A.2V^2-1B.返+1C.8说-8D.2芒-2【内蒙古2019届高三高考一模】已知双曲线C；W—£=l@>0,b>0〕的左、右顶点分别为去，点^是双曲线C上与缶、去不重合的动点，若kfj隔=3,则双曲线的离心率为（）A・卫E.、仔C.4D・2【湖南省常德市2019届高三上学期检测】已知双曲线C：咅—召=l（a>0,b>0）的左焦点为F，4,B为曲线C的左、右顶点，点P在曲线C上，且PF丄％轴，直线AP与y轴交于点M,直线与y轴交于点N,0为坐标原点，若而=一£而，则双曲线C的离心率为（）A.说B.2C.-D.3【贵州省凯里市第一中学2019届高三下学期模拟《黄金卷三》】已知4为双曲线着—召=lQa>0,b>0）的右顶点，P为双曲线右支上一点，若点P关于双曲线中心0的对称点Q满足忍》kAQ=P则双曲线的离心率为（）A・v^+lE・—C・、忑D・、怎_1z已知双曲线C：咅—首=l（a>0,b>0）,过点F（O,c）作直线交双曲线C的两条渐近线于4、B两点，若B为F4的中点，且OA=c,则双曲线的离心率为（）A.苗B.孕C.2询D.4、・丐3【安徽省毛坦厂中学2019届高三校区4月联考】已知F是双曲线C:咅一召=l（a>0』>0）的左焦点，过点F作垂直于％轴的直线交该双曲线的一条渐近线于点M,若|FM|=2a,记该双曲线的离心率为e,则沪=（）TOC\o"1-5"\h\zA.津氏津C.凹D.凹2424【宁夏平罗中学2019届高三二模】已知耳，甩是双曲线E：=>0,b>0｝的左、右焦点，点M在E上，讯耳与尤轴垂直，sinzM氏&=中，则双曲线E的离心率为（）A.—B.-C.2D.333【湖南省常德市2019届高三上学期检测】已知双曲线C：咅一召=l（a>0』>0）的右焦点为F,以F为圆心，实半轴长为半径的圆与双曲线C的某一条渐近线交于两点PQ若而=3丽（其中0为原点），则双曲线C的离心率为（）A.yJ7B.yEC.—D.—22二、填空题【黑龙江省哈尔滨市第六中学2019届高三二模】已知双曲线C:咅卡=l（a>0』>0）,其渐近线与圆0-2）2+）&=2相交，且渐近线被圆截得的两条弦长都为2,则双曲线的离心率为.【贵州省2019届高三高考适应】已知点F是双曲线C:咅—£=l（a>0,bAO）的右焦点，过原点且倾斜角为中的直线/与C的左、右两支分别交于乩B两点，且乔-丽=0,则C的离心率为..【江苏省南通市2019届高三下学期4月阶段测试】已知椭圆着+召=l@>b>0）上有一个点A,它关于原点的对称点为E,点F为椭圆的右焦点，且满足AF丄EF,当ZABF弋时，椭圆的离心率为——【浙江省湖州三校2019年普通高等学校招生全国统一考试】已知椭圆咅+音=lQa>b>0)的两个顶