山东省德州市禹城伦镇中学2023年高三数学理月考试卷含解析

山东省德州市禹城伦镇中学2023年高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数满足，且的导函数，则的解集为（D）A.

B.

C.

D.参考答案：D略2.已知是实数，则“且”是“且”的(

)A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：C3.若复数是实数，则的值为（

）A.

B.3

C.0

D.参考答案：A，因为复数是实数，所以。4.已知函数，若将f（x）的图象向左平移个单位后所得函数的图象关于原点对称，则φ=（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由题意求得ω=4k+2，k∈Z，根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得+φ=lπ，l∈Z，结合φ的范围，可得φ的值．【解答】解：∵函数，∴sinφ=﹣sin（ω?+φ），∴ω=4k+2，k∈Z．将f（x）=sin（ωx+φ）的图象向左平移个单位后所得函数的解析式为y=sin（ωx++φ）的图象关于原点对称，∴+φ=lπ，l∈Z，∵φ∈（0，）∴k=2，ω=10，此时，φ=，故选：B．5.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：今有刍童，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问：积几何？其意思是说：“今有底面为矩形的屋脊状楔体，下底面宽3丈，长4丈；上棱长2丈，高一丈．问它的体积是多少？”已知一丈为10尺，现将该楔体的三视图给出如右图所示，其中网格纸上小正方形的边长为1，则该楔体的体积为（）A．5000立方尺 B．5500立方尺 C．6000立方尺 D．6500立方尺参考答案：A【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由题意，将楔体分割为三棱柱与两个四棱锥的组合体，利用所给数据，即可求出体积．【解答】解：由题意，将楔体分割为三棱柱与两个四棱锥的组合体，体积为+×2=5000立方尺，故选A．6.函数的定义域是

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：B7.下列有关命题的说法正确的是（

）A．命题“若，则”的否命题为“若，则”B．“”是“”的必要而不充分条件C．命题“存在，使得”的否定是“对任意，均有”D．命题“若，则”的逆否命题为真命题参考答案：D略8.在复平面内，复数（是虚数单位）所对应的点位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限参考答案：B9.已知四棱锥P-ABCD的侧棱长与底面边长都相等，点是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C略10.要得到函数f（x）=2sinxcosx，x∈R的图象，只需将函数g（x）=2cos2x﹣1，x∈R的图象（）A．向左平移个单位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位 D．向右平移个单位参考答案：D【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用诱导公式、二倍角公式，以及y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：将函数g（x）=2cos2x﹣1=cos2x，x∈R的图象向右平移个单位，可得函数y=cos2（x﹣）=sin2x=2sinxcosx，x∈R的图象，故选：D．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知P为△ABC所在平面内一点，且，则_____参考答案：【分析】将向量进行等量代换，然后做出对应图形，利用平面向量基本定理进行表示即可．【详解】解：设，则根据题意可得，，如图所示，作，垂足分别为，则又，，故答案为：。【点睛】本题考查了平面向量基本定理及其意义，两个向量的加减法及其几何意义，属于中档题．

12.若点P（a，b）在不等式组所表示的平面区域内，则原点O到直线ax+by﹣1=0的距离的取值范围是

．参考答案：[，1]【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，由点到直线的距离公式求出原点O到直线ax+by﹣1=0的距离为，结合的几何意义得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，原点O到直线ax+by﹣1=0的距离为，由图可知的最小值为|OA|=1，最大值为|OB|=2，∴原点O到直线ax+by﹣1=0的距离的取值范围是[，1]．故答案为：[，1]．13.展开式中常数项为

参考答案：14.设等比数列的公比q=2，前n项和为Sn，则=

。参考答案：略15.给出下面四个函数：①y=cos|2x|；②y=|sinx|；③y=cos(2x+)；④y=tan(2x－)．其中最小正周期为π的有（）A．①②③ B．②③④ C．②③ D．①④参考答案：A【分析】利用三角函数的周期性求得每个函数的周期，从而得出结论．【解答】解：由于：①y=cos|2x|的最小正周期为=π；②y=|sinx|的最小正周期为=π；③

的最小正周期为=π；④

的最小正周期为，故选：A．16.为了检查某超市货架上的奶粉是否含有三聚氰胺，要从编号依次为01到50的袋装奶粉中抽取5袋进行检验，现将50袋奶粉按编号顺序平均分成5组，用每组选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的袋奶粉的编号，若第4组抽出的号码为36，则第1组中用抽签的方法确定的号码是

.参考答案：0617.如图所示，将数以斜线作如下分群：（1），（2，3），（4，5，6），（8，12，10，7），（16，24，20，14，9），……并顺次称其为第1群，第2群，第3群，第4群，……，13579…26101418…412202836…824405672…164880112144…

则第n群中n个数的和等于

。参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知数列{an}是各项均不为0的等差数列，Sn为其前n项和，且对任意正整数n都有an2=S2n﹣1．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若数列是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{bn}的前n项和Tn．参考答案：【考点】数列的求和．【分析】（1）设等差数列{an}的公差为d，an≠0．对任意正整数n都有an2=S2n﹣1，可得=a1，=S3=，解得a1，d，即可得出．（2）=?3n﹣1，可得bn=（2n﹣3）?3n﹣1，利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，an≠0．对任意正整数n都有an2=S2n﹣1，∴=a1，=S3=，解得a1=1，d=2，或﹣1（舍去）．∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1．（2）=?3n﹣1，∴bn=（2n﹣3）?3n﹣1，∴数列{bn}的前n项和Tn=﹣1+3+3×32+…+（2n﹣3）?3n﹣1，∴3Tn=﹣3+32+3×33+…+（2n﹣5）?3n﹣1+（2n﹣3）?3n，∴﹣2Tn=﹣1+2（3+32+…+3n﹣1）+（2n﹣3）?3n=﹣1+2×﹣（2n﹣3）?3n，∴Tn=2+（n﹣2）?3n．19.设正项数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=+an，n∈N*．正项等比数列{bn}满足：b2=a2，b4=a6．（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）设cn=，数列{cn}的前n项和为Tn，求所有正整数m的值，使得恰好为数列{cn}中的项．参考答案：考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）利用递推式、等差数列与等比数列的通项公式即可得出；（2）由题意得cn=，可得T2m=（a1+a3+…+a2m﹣1）+（b2+b4+…+b2m）=3m+m2﹣1．T2m﹣1=T2m﹣b2m=3m﹣1+m2﹣1，可得≤3，故若使得恰好为数列{cn}中的项，只能为c1，c2，c3．分类讨论即可得出．解答：解：（1）∵an＞0，当n=1时，a1=+，解得a1=1．由Sn=+an，当n≥2，Sn﹣1=，两式相减，得=0．又∵an＞0，∴an+an﹣1≠0，∴an﹣an﹣1=1，∴数列{an}是等差数列，首项为1，公差为1，∴an=1+（n﹣1）=n．由b2=a2，b4=a6．∴q2===3，q＞0．∴q=，∴bn==．（2）由题意得cn=，∴T2m=（a1+a3+…+a2m﹣1）+（b2+b4+…+b2m）=+=3m+m2﹣1．T2m﹣1=T2m﹣b2m=3m+m2﹣1﹣2×3m﹣1=3m﹣1+m2﹣1，∴==3﹣≤3，故若使得恰好为数列{cn}中的项，只能为c1，c2，c3．（i）若3﹣=1，则3m﹣1=0，∴m无解．（ii）若3﹣=2，可得3m﹣1+1﹣m2=0，显然m=1不符合题意，m=2符合题意．当m≥3时，即f（m）=3m﹣1+1﹣m2，则f′（m）=3m﹣1ln3﹣2m，设g（m）=3m﹣1ln3﹣2m，则g′（m）=3m﹣1（ln3）2﹣2＞0，即f′（m）为增函数，故f′（m）≥f′（3）＞0，即f（m）为增函数，故f（m）＞f（3）=1＞0，故当m≥3时，方程3m﹣1+1﹣m2=0无解，即m=2是方程唯一解．（iii）若3﹣=3，则m2=1，即m=1．综上所述：m=1或m=2．点评：本题考查了递推式、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、数列的单调性，考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力，属于中档题．20.冠状病毒是一个大型病毒家族，己知可引起感冒以及中东呼吸综合征（MERS）和严重急性呼吸综合征（SARS）等较严重疾病.而今年出现在湖北武汉的新型冠状病毒（nCoV）是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株.人感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状、发热、咳嗽、气促和呼吸困难等.在较严重病例中，感染可导致肺炎、严重急性呼吸综合征、肾衰竭，甚至死亡.某医院为筛查冠状病毒，需要检验血液是否为阳性，现有n（）份血液样本，有以下两种检验方式：方式一：逐份检验，则需要检验n次.方式二：混合检验，将其中k（且）份血液样本分别取样混合在一起检验.若检验结果为阴性，这k份的血液全为阴性，因而这k份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k份再逐份检验，此时这k份血液的检验次数总共为.假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p（）.现取其中k（且）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为.（1）若，试求p关于k的函数关系式；（2）若p与干扰素计量相关，其中（）是不同的正实数，满足且（）都有成立.（i）求证：数列等比数列；（ii）当时，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数的期望值更少，求k的最大值参考答案：（1），（，且）.（2）（i）见解析（ii）最大值为4.【分析】（1）由题设可知，的所有可能取值为1，，求，再根据,求；（2）（ⅰ）当时，，∴，令，则，利用数学归纳法证明；（ⅱ）由（ⅰ）可知，由可知，再设函数（），利用函数的单调性求的最大值.【详解】（1）解：由已知，，，得，的所有可能取值为1，，∴，.∴.若，则，，∴，∴.∴p关于k的函数关系式为，（，且）.（2）（i）∵证明：当时，，∴，令，则，∵，∴下面证明对任意的正整数n，.①当，2时，显然成立；②假设对任意的时，，下面证明时，；由题意，得，∴，∴，，∴，.∴或（负值舍去）.∴成立.∴由①②可知，为等比数列，.（ii）解：由（i）知，，，∴，得，∴.设（），，∴当时，，即在上单调减.又，，∴；，.∴.∴k的最大值为4.【点睛】本题考查概率，函数，数列，数学归纳法证明的综合问题，本题对学生的能力要求较高，属于难题，重点考查学生分析问题和解决问题的能力.21.（12分）已知△ABC的三个内角A，B，C对应的边长分别为a，b，c，向量m＝（sinB，1﹣cosB）与向量n＝（2，0）的夹角θ的余弦值为．（1）求角B的大小；（2）若b＝，求a+c的取值范围．参考答案：解：(1)∵m＝(sinB，1－cosB)，n＝(2，0)，∴m·n＝2sinB，

|m|＝＝＝2|sin|.∵0<B<π，∴0<<.∴sin>0.∴|m|＝2sin.

…………………3分又∵|n|＝2，∴cosθ＝＝＝cos＝.∴＝，∴B＝π.

…………………6分(2)由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosπ＝a2＋c2＋ac＝(a＋c)2－ac≥(a＋c)2－()2＝(a＋c)2，当且仅当a＝c时，取等号．∴(a＋c)2≤4，即a＋c≤2.又a＋c>b＝，∴a＋c∈(，2]．…………………12分

22.(1)已知函数的周期为4，且等式对一切均成立，求证：是偶函数(2)设奇函数的定义域为R，且