山东省威海市文登初级实验中学2023年高一数学理联考试卷含解析

山东省威海市文登初级实验中学2023年高一数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.（4分）若三棱锥的三个侧面两两垂直，侧棱长为1，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（） A． π B． π C． 3π D． 2π参考答案：C考点： 球的体积和表面积．专题： 空间位置关系与距离．分析： 根据题意可得三棱锥的三条侧棱两两垂直，因此以三条侧棱为长、宽、高构造正方体如图所示，该正方体的外接球就是三棱锥的外接球，利用长方体的对角线长公式算出球的直径，再根据球的表面积公式加以计算，可得答案．解答： 设三棱锥A﹣BCD中，面ABC、面ABD、面ACD两两互相垂直，AB=AC=AD=1，则AB、AC、AD两两互相垂直，以AB、AD、AC为长、宽、高，构造正方体如图所示，可得该正方体的外接球就是三棱锥A﹣BCD的外接球，设球半径为R，可得正方体的对角线长等于球直径2R，即2R==，解得R=，[来源:学&科&网Z&X&X&K]∴外接球的表面积是S=4πR2=4π×=3π．故选：C．点评： 本题给出特殊的三棱锥，求它的外接球的表面积．着重考查了多面体的外接球、长方体的对角线长公式和球的表面积计算等知识，属于基础题．2.（5分）已知两条直线m，n，两个平面α，β，下列四个结论中正确的是（） A． 若m⊥α，α⊥β，n∥β，则m∥n B． 若α∥β，m∥α，n∥β，则m∥n C． 若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β D． 若m⊥n，m∥α，n∥β，则α⊥β参考答案：C考点： 空间中直线与平面之间的位置关系．专题： 空间位置关系与距离．分析： 利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．解答： 若m⊥α，α⊥β，n∥β，则m与n相交、平行或异面，故A错误；若α∥β，m∥α，n∥β，则m与n相交、平行或异面，故B错误；若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则由平面与平面垂直的判定定理得α⊥β，故C正确；若m⊥n，m∥α，n∥β，则α与β相交与平行，故D错误．故选：C．点评： 本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．3.计算cos?cos的结果等于（）A． B． C．﹣ D．﹣参考答案：D【考点】三角函数的化简求值．【分析】直接利用三角函数的诱导公式以及二倍角的正弦函数求解即可．【解答】解：cos?cos=cos?=﹣sin?cos=﹣sin=﹣．故选：D．4.设，若3是与的等比中项，则的最小值为（

）.A. B. C. D.参考答案：C【分析】由3是与的等比中项，可得，再利用不等式知识可得的最小值.【详解】解：3是与的等比中项，，，=，故选C.【点睛】本题考查了指数式和对数式的互化，及均值不等式求最值的运用，考查了计算变通能力.

5.一组数平均数是，方差是，则另一组数，平均数和方差分别是（

）A. B.C. D.参考答案：B【分析】直接利用公式：平均值方差为，则的平均值和方差为：得到答案.【详解】平均数是，方差是，的平均数为：方差为：故答案选B【点睛】本题考查了平均数和方差的计算：平均数是，方差是，则的平均值和方差为：.6.在三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若bsinA=acosB，则角B的大小是（）A． B． C． D．参考答案：C7.2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由4个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos2θ的值为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】HU：解三角形的实际应用．【分析】由图形可知三角形的直角边长度差为1，面积为6，列方程组求出直角边得出sinθ，代入二倍角公式即可得出答案．【解答】解：由题意可知小正方形的边长为1，大正方形边长为5，直角三角形的面积为6，设直角三角形的直角边分别为a，b且a＜b，则b=a+1，∴直角三角形的面积为S=ab=6，联立方程组可得a=3，b=4，∴sinθ=，cos2θ=1﹣2sin2θ=．故选：B．8.已知全集U={1，2，3，4，5，6}，A={2，4，6}，B={1，2，5}，则A∩（?UB）等于（）A．{2} B．{4，6} C．{2，3，4，6} D．{1，2，4，5，6}参考答案：B【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】直接由集合的运算性质得答案．【解答】解：由全集U={1，2，3，4，5，6}，A={2，4，6}，B={1，2，5}，∴?UB={3，4，6}．则A∩（?UB）={2，4，6}∩{3，4，6}={4，6}．故选：B．9.已知奇函数在时的图象如图所示，则不等式的解集为(

)Ａ．Ｂ．Ｃ．

Ｄ．参考答案：B略10.一水平放置的平面图形的直观图如图所示，则此平面图形的形状是（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】平面图形的直观图．【分析】本选择题，可以用选择题的特殊方法来解，观察直观图右边的边与纵轴平行，与x轴垂直，这样只有C符合题意，从而得出正确答案．【解答】解：根据平面图形水平放置的直观图可知，右边的边与纵轴平行，与x轴垂直，这样此平面图形中有一个内角是直角，只有C符合题意，故选C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数的单调增区间是

．参考答案：［2，+∞） 12.已知的三个内角成等差数列，且，，则边上的中线的长为

参考答案：略13.已知是两个相互垂直的单位向量，则

．参考答案：14.设函数f（x）=﹣3x2+2，则使得f（1）＞f（log3x）成立的x取值范围为

．参考答案：0＜x＜3或x＞3

【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】由题意，f（﹣x）=f（x），函数是偶函数，x＞0递减，f（1）＞f（log3x），1＜|log3x|，即可得出结论．【解答】解：由题意，f（﹣x）=f（x），函数是偶函数，x＞0递减∵f（1）＞f（log3x）∴1＜|log3x|，∴0＜x＜3或x＞3，∴使得f（1）＞f（log3x）成立的x取值范围为0＜x＜3或x＞3，故答案为0＜x＜3或x＞3．15.的值为

Δ

.参考答案：略16.若2，则_____．参考答案：【分析】由，得，代入，求得，，即可求解的值，得到答案．【详解】由题意知，得，代入，解得，所以，所以．故答案为：．17.函数的单调递增区间为____________。

参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.有时可用函数描述某人学习某学科知识的掌握程度，其中x表示某学科知识的学习次数（），表示对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关．（1）证明：当时，掌握程度的增加量总是单调递减的；（2）根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为、、．当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科．

参考答案：19. 已知点在函数的图象上，直线、是图象的任意两条对称轴，且的最小值为.（Ⅰ）求函数的解析式及其图象的对称中心坐标；（Ⅱ）设，，若，求实数的取值范围.

参考答案：（I）；对称中心；

（II）的取值范围为

。略20.（本小题满分12分）已知函数y=cos2x+sinxcosx+1,x∈R.（1）求它的振幅、周期和初相；（2）用五点法作出它的简图；（3）该函数的图象可由y=sinx(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到的？参考答案：解：y=cos2x+sinxcosx+1=cos2x+sin2x+=sin(2x+)+.（1）y=cos2x+sinxcosx+1的振幅为A=,周期为T==π，初相为φ=.（2）令x1=2x+，则y=sin(2x+)+=sinx1+，列出下表，并描出图象如下图所示：x-x10π2πy=sinx1010-10y=sin(2x+)+(3)方法一：将函数图象依次作如下变换：函数y=sinx的图象函数y=sin(x+)的图象函数y=sin(2x+)的图象函数y=sin(2x+)的图象函数y=sin(2x+)+的图象,即得函数y=cos2x+sinxcosx+1的图象.方法二：函数y=sinx的图象函数y=sin2x的图象函数y=sin(2x+)的图象函数y=sin(2x+)+的函数y=sin(2x+)+的图象,即得函数y=cos2x+sinxcosx+1的图象.21.解不等式（1）

（2）

参考答案：解析：（1）

得，（2）

22.已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R，a≠0），f（﹣2）=f（0）=0，f（x）的最小值为﹣1．（1）求函数f（x）的解析式；（2）设函数h（x）=log2[n﹣f（x）]，若此函数在定义域范围内不存在零点，求实数n的取值范围．参考答案：【考点】54：根的存在性及根的个数判断；3W：二次函数的性质．【分析】（1）利用函数的最小值为﹣1，判断a的符号，推出a=1，求解函数的解析式；（2）解1：过函数h（x）=log2[n﹣f（x）]在定义域内不存在零点，必须且只须有n﹣f（x）＞0有解，且n﹣f（x）=1无解．推出n＞fmin（x），然后求解n的取值范围．（2）解2..，令t=﹣x2﹣2x+n=﹣（x+1）2+n+1，转化为log2（n+1）＜0，求出n的取值范围即可．【解答】解：（1）由题意设f（x）=ax（x+2），∵f（x）的最小值为﹣1，∴a＞0，且f（﹣1）=﹣1，∴a=1，∴f（x）=x2+2x．（2）解1，函数h（x）=log2[n﹣f（x）]在定义域内不存在零点，必须且只须有n﹣f（x）＞0有解，且n﹣f（x）=1无解．∴n＞fmin（x），且n不属于f（x）+1的值域，又∵f（x）=x2+2x