平面向量基本定理及坐标表示-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第二册同步讲义（机构专用）

PAGE6.3平面向量基本定理及坐标表示知识梳理知识梳理1、平面向量的基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2。其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.2、平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.3、平面向量的坐标运算（1）向量加法、减法、数乘运算及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1)).（2）向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2).4、平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.5、注意（1）若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)且a＝b，则x1＝x2且y1＝y2.（2）若a与b不共线，λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.（3）向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系。两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的。知识典例知识典例题型一平面向量基本定理及其应用例1在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A，B，C三点满足eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))，则eq\f(|\o(AC,\s\up6(→))|,|\o(AB,\s\up6(→))|)＝________.【答案】eq\f(1,3).【解析】因为eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))，所以eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))，所以eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，所以eq\f(|\o(AC,\s\up6(→))|,|\o(AB,\s\up6(→))|)＝eq\f(1,3).巩固练习巩固练习在△ABC中，eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(NC,\s\up6(→))，若P是直线BN上的一点，且满足eq\o(AP,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,5)eq\o(AC,\s\up6(→))，则实数m的值为()A.－4 B.－1 C.1 D.4【答案】B【解析】根据题意设eq\o(BP,\s\up6(→))＝neq\o(BN,\s\up6(→))(n∈R)，则eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋neq\o(BN,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋n(eq\o(AN,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)\o(AC,\s\up6(→))－\o(AB,\s\up6(→))))＝(1－n)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(n,5)eq\o(AC,\s\up6(→)).又eq\o(AP,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,5)eq\o(AC,\s\up6(→))，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－n＝m，,\f(n,5)＝\f(2,5)，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n＝2，,m＝－1.))题型二平面向量的坐标表示例2已知点则与同方向的单位向量为()A． B． C． D．【答案】A【详解】试题分析：,所以与同方向的单位向量为，故选A.巩固练习巩固练习已知中，，，若，则的坐标为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据，，可得；由可得M为BC中点，即可求得的坐标，进而利用即可求解．【详解】因为，所以因为，即M为BC中点所以所以所以选A题型三数量积等相关运算例3已知向量、的夹角为，，，则（）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出，利用平面向量数量积的定义可求出的值.【详解】，则，由平面向量数量积的定义得，解得.故选：A.巩固练习巩固练习已知向量，则___________.【答案】【分析】利用向量夹角公式即可得到结果.【详解】，，，．故答案为：题型四坐标求解例4设，点的坐标为，则点的坐标为________.【答案】【分析】向量的坐标等于点的坐标减去点的坐标．【详解】解：设点的坐标为，则，，，点的坐标为．故答案为：．巩固练习巩固练习已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三个顶点A(1，2)，B(2，1)，C(4，2)，则点D的坐标为__________.【答案】(2，4)【解析】∵在梯形ABCD中，DC=2AB，AB∥CD，∴.设点D的坐标为(x，y)，则=(4−x，2−y)，=(1，−1)，∴(4−x，2−y)=2(1，−1)，即(4−x，2−y)=(2，−2)，∴，解得，故点D的坐标为(2，4)．题型五参数问题例5已知向量a=(2，1)，b=(1，−2)．若ma＋nb=(9，−8)(m，n∈R)，则m−n的值为________．【答案】−3【详解】由a=(2，1)，b=(1，−2)，可得ma＋nb=(2m，m)＋(n，−2n)=(2m＋n，m−2n)，由已知可得，解得，从而m−n=−3.巩固练习巩固练习已知，，实数满足，则________.【答案】1或【分析】根据向量模的坐标计算，可得结果.【详解】由题意可得：,,解得或.故答案为：1或巩固提升巩固提升1、若，方向上的单位向量为.则在上的投影向量为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由向量的投影计算公式，代值计算即可求得.【详解】由向量的投影计算公式可得，故在上的投影向量为.故选：A.2、在中，已知，，是中线上一点，且，那么点的坐标为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】假设，根据，可得为重心，根据重心的坐标表示，可得结果.【详解】由题意知：是的重心，设，则有解得故.故选：C3、向量，若三点共线，则的值为（）A．-2 B．11 C．-2或11 D．2或-11【答案】C【分析】根据向量的坐标运算，结合向量的共线的条件，准确运算，即可求解，得到答案.【详解】由题意，向量，则，，因为三点共线，所以，所以，整理得，解得或.故选：C.4、已知，，则与的夹角的余弦值为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意，解得两个向量的坐标，利用坐标计算两向量的夹角余弦值即可.【详解】因为，故可得，设向量与的夹角为则则.故选：C.5、已知向量，，若，则__________，__________．【答案】【分析】由可求得的值，再利用数量积的坐标运算求，计算出的坐标，再利用模长公式求模长.【详解】由可得，所以，又因为，所以．故答案为：；6、已知向量，，，若A，B，C三点共线，则实数k的值__________．则__________．【答案】3【分析】用向量坐标表示、，由A，B，C三点共线即可求k的值，进而求【详解】∵向量，，，∴，，∵A，B，C三点共线，即与共线∴，即则故答案为：3；7、已知向量．（1）若与向量垂直，求实数的值；（2）若向量，且与向量平行，求实数的值．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）由代入的坐标，然后得到的坐标表示，再由与垂直，得到，分别代入坐标，得到关于的方程，求出答案.（2）先得到的坐标，然后根据与平行，得到坐标关系，即关于的方程，求出答案.【详解】（1）由题意，，，因为与垂直，所以整理得，解得．（2）由题意，，由（1）知，，因为与平行，所以，整理得，解得．8、已知平面向量，．（1）若，求的值；（2）若，求.【答案】（1）或；（2）或.【分析】（1）由平面向量垂直的坐标表示可得出关于的等式，进而可求得实数的值；（2