山东省临沂市协和国际学校2023年高三数学文联考试卷含解析

山东省临沂市协和国际学校2023年高三数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设甲、乙两地的距离为，小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又匀速从乙地返回甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数的图象为

参考答案：D2.已知双曲线的中心为O，过焦点F向一条渐近线作垂线，垂足为A，如果△OFA的内切圆半径为1，则此双曲线焦距的最小值为（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：D3.为得到函数y=sin（x+）的图象，可将函数y=sinx的图象向左平移m个单位长度，或向右平移n个单位长度（m，n均为正数），则|m﹣n|的最小值是(

)A． B． C． D．参考答案：B【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】依题意得m=2k1π+，n=2k2π+（k1、k2∈N），于是有|m﹣n|=|2（k1﹣k2）π﹣|，从而可求得|m﹣n|的最小值．【解答】解：由条件可得m=2k1π+，n=2k2π+（k1、k2∈N），则|m﹣n|=|2（k1﹣k2）π﹣|，易知（k1﹣k2）=1时，|m﹣n|min=．故选：B．【点评】本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，得到|m﹣n|=|2（k1﹣k2）π﹣|是关键，考查转化思想．4.化简＝

（）

A．－2

B．－

C．－1

D．1参考答案：C5.已知，则的值为

A.

B.

C.

D.参考答案：A【考点】复数乘除和乘方【试题解析】因为（1+bi）i=i+bi=-b+i=-1+i，所以6.在等比数列中，已知，，若分别为等差数列的第2项和第6项，则数列的前7项和为（

）A．49

B．70

C.

98

D．140参考答案：B7.在等差数列中，首项公差，若,则（

） A.

B.

C.

D.

参考答案：A略8.已知函数，若，则的取值范围是 A．

B．

C．

D．参考答案：D9.(07年全国卷Ⅱ文)已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（

）A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：答案：A解析：已知曲线的一条切线的斜率为，=，∴x=1，则切点的横坐标为1，选A。10.在等差数列{an}中，若Sn为前n项和，，则的值是（

）A．55

B．11

C.50

D．60参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知等差数列若则____________.参考答案：略12.（5分）已知向量和，，其中，且，则向量和的夹角是．参考答案：【考点】：数量积表示两个向量的夹角．计算题；平面向量及应用．【分析】：利用向量垂直的条件，结合向量数量积公式，即可求向量和的夹角解：设向量和的夹角是α，则∵，且，∴=2﹣=2﹣2cosα∴cosα=∵α∈[0，π]∴α=故答案为：【点评】：本题考查向量的夹角的计算，考查向量数量积公式的运用，属于基础题．13.已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则的值为________，的最大值为______。参考答案：1，114.设（5x﹣）n的展开式的各项系数和为M，二项式系数和为N，若M﹣N=240，则展开式中x的系数为

．参考答案：150【考点】二项式定理的应用．【专题】计算题．【分析】根据M﹣N=240，解得2n的值，可得n=4．再求出（5x﹣）n的展开式的通项公式，令x的幂指数等于1，求得r的值，即可求得展开式中x的系数．【解答】解：由于（5x﹣）n的展开式的各项系数和M与变量x无关，故令x=1，即可得到展开式的各项系数和M=（5﹣1）n=4n．再由二项式系数和为N=2n，且M﹣N=240，可得4n﹣2n=240，即22n﹣2n﹣240=0．解得2n=16，或2n=﹣15（舍去），∴n=4．（5x﹣）n的展开式的通项公式为Tr+1=?（5x）4﹣r?（﹣1）r?=（﹣1）r??54﹣r?．令4﹣=1，解得r=2，∴展开式中x的系数为（﹣1）r??54﹣r=1×6×25=150，故答案为150?【点评】本题主要考查二项式的各项系数和与二项式系数和的关系，二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．15.已知抛物线，焦点为，准线为，为抛物线上一点，，为垂足，如果直线的斜率为，那么

.

参考答案：16.在二项式的展开式中，含项的系数记为，则

的值为

．参考答案：

略17.α,β是两个平面，m,n是两条线,有下列四个命题：①如果m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α⊥β．②如果m⊥α,n∥α,那么m⊥n．③如果α∥β,,那么m∥β．④如果m∥n,α∥β,那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．其中正确的命题有

.（填写所有正确命题的编号）参考答案：②③④

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．如图，在平面上，点，点在单位圆上，（）（1）【理科】若点，求的值；（2）若，四边形的面积用表示，求的取值范围.参考答案：（1）【理科】由于，，所以，于是（2）由于,……7分，所以…………9分（）由于，所以，所以19.已知函数，为函数的导函数．(1)若，函数在处的切线方程为，求a、b的值；(2)若曲线上存在两条互相平行的切线，其倾斜角为锐角，求实数a的取值范围．参考答案：(1)F(x)＝xlnx－x＋x2－ax3＋b，F′(x)＝lnx＋x－ax2，∵切点为(1，－1)，切线斜率为k＝－2，∴??，故a＝3，b＝.

┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分(2)f′(x)＝lnx＋x－ax2，令g(x)＝f′(x)＝lnx＋x－ax2(x＞0)，g′(x)＝＋1－2ax＝.令h(x)＝－2ax2＋x＋1(x＞0)，当a≤0时，h(x)＞0，∴g′(x)＞0，g(x)在(0，＋∞)递增，不适合．当a＞0时，h(x)的Δ＝1＋8a＞0，设方程h(x)＝0的二根为x1、x2，则x1·x2＝－＜0，不妨设x1＜0＜x2，∴当x∈(0，x2)时，g′(x)＞0，当x∈(x2，＋∞)时，g′(x)＜0，∴g(x)在(0，x2)递增，在(x2，＋∞)递减，∴?由①得：ax22＝代入②整理得：2lnx2＋x2－1＞0③∵函数u(x)＝2lnx＋x－1在(0，＋∞)递增，u(1)＝0，∴由③得：x2＞1，由①得：2a＝＝，∵0＜＜1，∴0＜2a＜2，∴0＜a＜1.

┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉12分20.（本小题满分14分）如图，已知海岛A到海岸公路BC的距离AB为50㎞，B，C间的距离为100㎞，从A到C，必须先坐船到BC上的某一点D，船速为25㎞/h，再乘汽车到C，车速为50㎞/h，记∠BDA＝θ．

（1）试将由A到C所用的时间t表示为θ的函数t(θ)；

（2）问θ为多少时，由A到C所用的时间t最少？

参考答案：解：（1）∵AD＝，∴A到D所用时间t1＝

BD＝＝，CD＝100－BD＝100－∴D到C所用时间t2＝2－∴t(θ)＝t1＋t2＝＋2（θ0＜θ＜，其中tanθ0＝）··························6分

（2）＝＝····································8分

令＞0，得：cosθ＜

∴＜θ＜；∴当θ∈(，)时，t(θ)单调递增；

同理θ0＜θ＜，＜0，t(θ)单调递减·····················12分

∴θ＝，t(θ)取到最小值＋2；·························································13分

答：当θ＝时，由A到C的时间最少为＋2小时．·····························14分

21.设等差数列的前项和为，且，．数列的前项和为，满足．（1）求数列的通项公式；（2）写出一个正整数，使得是数列的项；（3）设数列的通项公式为，问：是否存在正整数和（），使得，，成等差数列？若存在，请求出所有符合条件的有序整数对；若不存在，请说明理由．参考答案：（1）设数列的首项为，公差为，由已知，有，……（2分）解得，，…………（3分）所以的通项公式为（）．…………（4分）（2）当时，，所以．……（1分）由，得，两式相减，得，故，……（2分）所以，是首项为，公比为的等比数列，所以．……（3分），…………（4分）要使是中的项，只要即可，可取．…………（6分）（只要写出一个的值就给分，写出，，也给分）（3）由（1）知，，…………（1分）要使，，成等差数列，必须，即，…………（2分）化简得．…………（3分）因为与都是正整数，所以只能取，，．…………（4分）当时，；当时，；当时，．…………（5分）综上可知，存在符合条件的正整数和，所有符合条件的有序整数对为：，，．…………（6分）

略22.(本小题满分10分)在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（?为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2cosθ。（1）求曲线C2的直角坐标方程；（2）已知点M是曲线C1上任意一点，点N是曲线C2上任意一点，