人工智能数学基础之概率论和数理统计

教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHT数学基础-概率论和数理统 搜集整理排列

教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHT≤Am,nAn m 搜集整理 教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHT案

搜集整理

1

720

教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHT1010合并这3步，就共有10*9*8 10*9*8

1！

72010 10组合

教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHTCm,nCn m 搜集整理 教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHT案 搜集整理 C3

1！

120

教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHT 10抽取3个球的排列数为A(10AA3

1！10

1！

120

(3 搜集整理古典概

教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHT

a 搜集整理 教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHT案? 搜集整理PA5

教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHT 搜集整理 教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHT k次取出的球是黑球的概率． 设A=“第k次取出的球是黑球ab个球中将球取出依次排成一列共有(ab)!种排法（样本点总数第k次取出黑球，有取法b(ab1)!种，因此事件A所含样本点数为b(ab所以，

PAb(ab1)! (a a 搜集整理 教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHT案??? 搜集整理n 解PAn Nn

教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHTPA CnPA

n N n N N

NnN 搜集整理生日问

教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHTnn PA1n Nn

N365 搜集整理联合概

教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHT BB

搜集整理条件概

教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHT

PA|B 搜集整理

教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHT求 P(B),

P(A|B).解：PA80100

PB35 PAB30 100PAB30PA80 搜集整 解：设A={3个小孩至少有一 B={3个小孩至少

教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHT

PA1PA11

PAB 77所以PBA8778

搜集整理条件概

教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHT PA1A2...AnPA1PA2|A1...PAn|A1A2...An1 搜集整理例3袋中有一个白球与一个黑球，现每次从中取一个白球，直至取出黑球为止．求取了n次都未B取了n次都未取出黑球

教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHTAii次取出白球i12 BA1A2 搜集整理PBP n

教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHTPAPAA

AA

AA

123 n

n 搜集整理 教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHT4设某光学仪器厂制造的透镜，第一次落下时打破的概率为1/2，若第一次落下未打破，第二次落下打破的概率为7/10,若前两次落下未打破，第三次落下打破的概率为9/10。求透解：Aii=1,2,3iB表有：PB)P(A1A2A3P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2) 7 9) 搜集整理全概率公

教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHT A1A2...An n

搜集整理 教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHT例5某小组有20名射手，其中一、二、三、四级射手分别为解：B该小组在比赛中射中目标 选i级射手参加比赛i1，2， i PBi

PAPBAi

i 20.8560.64 20

0.45320

搜集整理贝叶斯公

PA|BPB|

教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHTPA|BP(B,Ai)

PAiPB|Ai

j

搜集整理贝叶斯公式案

教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHT 解：设A狗叫 B盗 PA

PA|B 20*365 7300PB|APBPA|B

0.9*

7300

0.00058

365007

搜集整理贝叶斯公

PA|BPB|

教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHT 搜集整理 教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHT6D被检查者确实患有肝癌PAD PAD而且已知：PD目

程 搜集整

P(D)

教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHT

搜集整理概率公PA|BPABPnn

B

IGHTiPA|Bi

n nj

PAjPB|

搜集整理事件的独立

教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHT 搜集整理例1袋中装有4个外形相同的球，其中三个球分A=}B=}C=

教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHTPAPBPCPABPBC

2PABC4

4 搜集整理 教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHT PABPBC PAC PABC11PAPBPC 搜集整理随随例1袋中有只黑球，2只白球，从中任意取出3 S S

教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHT 4， 搜集整理

教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHT黑球数黑球数2，3黑球数黑球数2，3122222121 搜集整理XX

教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHTX X 搜集整理 教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHT通常随 量用大写的英文字母X、Y、Z或希腊字母、、等来表示．例2掷一 则X就是一个 X取偶数 搜集整理例38:00～9:00则Y就是一个 Y50Y50100辆这一注意Y

教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHT 搜集整理例 则Z就是一个 Z500 Z1000 注意Z的取值是不可列无穷个！

教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHT 搜集整理例 X 掷硬币出现正

教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHT0 ;掷硬币出现反0 搜集整理 教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHT例6掷一枚 Y1000Z0

点数为6;点数不为6. 搜集整理离散型 量及其分布

教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHT一、离散型 量的分布律与性 量X的取值是有限个或可列无穷个，则称X为离散型随 搜集整理 教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHT 量X的所有可能取值x1，x2，，xn，并设PXxn n1, 2

， ， 量X的分布律 搜集整理 ⑴对任意的自然数npn

教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHT⑵n

搜集整理

教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHT解：X的可能取值

明kkCP k=—C5

k5，6，，10.X P

搜集整理 将1枚硬币掷3次， 试求：（1）X的分布律；(2)P0.5X

教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHT - -P0.5X3PX138 搜集整理例 量X的分布律

教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHTXX

1

n12试求常数c．41 PX

4

1 1 1c4

c 1

1 4 c3 搜集整理 教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHT4设车在开往目的地的道需经过四盏信号灯，每盏信号灯以概率p汽车通过X表示汽车首次停下X的分布律P{X=3}=(1- 搜集整理解：以p表示每盏信号 X

教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHT

(1-p)p(1- (1- (1-P{Xk1p)kp，kP{X=4}=(1-以p1/2 搜集整理二、一些常用的离散型 量X的分布律PXkpk(1p)1k,k

教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHT 1- 量X服从参数为p的Bernoulli分布记作X~B1

其中0p1为参数 搜集整理PAp PA1p

教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHT

若事件A发生0X0 X~B1,

事件A不发生 搜集整理2）二项分 量X的分布律

教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHTnPXkCn

pk1

k0，1，，n则称 量X服从参数为n，p的二项分，记作 ~Bn p其中n0p1为参数 搜集整理 n=1X~B1，此时，X服从Bernoulli分布．Bernoulli分布是二项分布的一个特例．

教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHT 搜集整理 教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHT进行nBernoulli试验，A是随机事件。设在每次试PAp PA1pX表示nBernoulli试验中事件A发生的 X~Bn， 搜集整理设Ai{i次试验A出现},{Xk}A1AkAk1AnA1A2Ak1Ak2An在n次试验中指定k次出现A成功其余nk

教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHTnA失败这种指定的方法共有Ck种．nnP{Xk}Ckpkqnkn

q1pk0，1，2，，n 搜集整理 教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHT CA取出一件产品为次品C

则PA

20.12PC1PC1C00.100.915C1

0.1

搜集整理例6一张考卷上有5道选择题，每道题列出4个可能

教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHTA答对一道题

PA4设X表示该学生靠猜测能答对的题 14X~B54

搜集整理P至少能答对4道题PX

教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHT45C4 5464

4 搜集整理X~BnpPXk1n1p

q1

教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHTPXk kqPXk的增大而增大，达到其最大值后再随着k的增大而减少．这个使得PX达到其最大值的k0称为该二项分布的最可能次 搜集整理PXkPXk

1n1pkq

q1

教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHT如果n1p不是整数，则 如果n1p是整数，则k0n1p 搜集整理 教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHT7对同一目标进行300次独立射击，设每次射击时的X表示300 命中目标的次数 X~B300，由于30010.4413.4，它不是整 搜集整理 教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHT

搜集整理 教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHT 量X的分布律

k

，，其中0为常数 量X服从参数为λ的Poisson分布 搜集整理Poisson分布的应例如，可以证明，总机在某一时间间隔内收到

教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHT 搜集整理

教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHTPX

kc

k1,2,kk其中0为常数试确定未知常数c

c

而

k k 1ek 所以c

k e

搜集整理例

教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHTPX1PX试求PX 量X的分布律PX

k

e

k0，

PX1PX 搜集整理

e

e

教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHT 2! 22 2另一个解0不合题意，舍去

PX

2e22 搜集整理Poisson设在Bernoulli试验中，以pn代表事件A在试验中发生的概率，它与试验总数n有关．如果limnpn

教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHTn kpkn

1

e 令：npn Ckpk1p k

n1 n n

n 搜集整理k

1

2

k1

教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHT n1

1

1

1 nk!

n

n

n

lim1 n elimC

npk1p1

1 2

k1

klim1

1

1

lim1 nk! e

n

n

n 搜集整理Poisson定理，可知若 量X~Bn，则当n比较p比较小时

教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHT令 nPXkCkpkn

e

搜集整理 教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHT设X为600次射击命中目标的次数X~B6000.012．取6000.0127.2．PX31PX1e

2

e 搜集整理 教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHT例14 的人数为X，则X~b(2500，0.001）. 搜集整理（1）P(保险公司亏本)P(252X

教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHT1P(X12)1

12

k0 1k

.00000.（2）P(保险公司获利不少于10万元)P(252X P(X

2.5e2.5.99575.k 搜集整理几何分 量X的分布律PXkqk1 k1，2，p0，q0，pq1则称 量X服从参数为p的几何分布．

教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHT 搜集整理几何分布的概PA PAq1令：X表示所需试验次数X服从参数为p的几何分布

教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHT PXkqk1 k1，2， 搜集整理 教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHT超几何分 量X的分布律

CkCnk X

NCC

0，1，，

M，其中N，M，n均为自然数．则称 量X服从参数为N，M，n的超几何分布． 搜集整理 教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHT超几何分布的概率背NMN-n令X：取出n件产品中的次品数． 则X的分

CkC PX

NCnCN

此时，随 量X服从参数为N，M，的超几何分布 搜集整理连续型 量及其概率密 在非负函数f(x)，使得对于任意实数x，有x

教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHTF(x)

f(t)dt,则称X为连续型 量，其中函数f(x)称 搜集整理 I

教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHT 若

f(xdx,被积函数被积表达式则 exdxexx2dx 1x3

C为任意常数C sinxdxcosx

搜集整理性质 设函数f(x)及g(x)的原函数存在，[f(x)g(x)]d f(x)dxg(x)d

教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHT性质

设函数f(x原函数存在，k为非零常数，则推论:

kf(x)dx kf(x)d则

(k0)f(x)dxknifi(x)d 搜集整理

教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHT(1

f(x)dx f(x) d f(x)dx f(x)dd(2

F(x)dxF(x)C dF(x) F(x)1 kdxkx k为常数(2

x

dx

1

x

(1)((ln )1x(3 dxln x 搜集整理(4

d1 x

arctanx

arccotx

EDUCATIONTOCREATEABRIGHT(5

d1x

arcsinxC

arccosx(6 cosxdxsinx(7 sinxdxcosx(8

dcos2

sec

xdx tanx(9

dsin2

csc

xdxcotx 搜集整理(10(11

secxtanxdxsecxcscxcotxdxcscx

教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHT(12 exdxe a(13

a

dx

ln(14

dx

11x 1(15

xdx

x 搜集整理例1解:原式

3 d3

教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHT3x43 3 33 (2

x

dx

1

x

(1) 搜集整理例2.求解:原式 [(2e) 52x]d(2e)xdx52xd

教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHT (2e)ln(2e

5ln5x e

ln2 ln2 a(13

a

dx

ln 搜集整理a,b]称为积分区bf(x)dx limb

教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHTinf(i)x 式 搜集整理

教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHT

则

f(xdxFb)Fa).(牛顿莱布尼茨公式1 1

1 1

解当x0时1的一个原函数是ln|x解11x11 x

ln1ln2ln2 2

2(2cosxsinx0 2sinxcosx0 3 02

搜集整理f

教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHT f(x)

f(x)dx 0 P{x1Xx2}F(x2)F(x10f

f(x)dx.(x1x2

搜集整理F(x)F(x)xf(t)dt,EDUCATIONTOCREATEABRIGHT40 若fx)在点x处连续，则有F(x)f(x). f(x)limF(xx)F(x0 limP{xXxx0 P{xXxx}f(x)x. 搜集整理注连续型随量密度函数的性质与离散型随机我们不能认为：afa连续型随量的一个重要特点：设X是连续型 量a，

教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHT PXa 搜集整理 ⑴由上述性质可知，对于连续型随 我们所关心的是它在某一区间上取值的问题若已知连续型 量X的密度函数为f，则X 在任意区间（G可以是开区间,也可以是闭区间，或半开半闭区间；可以是有限

教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHT无fxG

搜集整理例设X是连续型 c4x2x20

教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHT 其它数c；PX fxdx 搜集整理1

fxdx

dxc2x

2x3

教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHT22 28

3所以，

c8

PXG fxdG

23 ⑵PX

xdx84x2 2 232x8

2x3 搜集整理二、一些常用的连续型 均匀分布 量X的密度函数

教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHT fxb

ax 其它 记作X~U[a 搜集整理设X~Uab，fx是其密度函⑴对任意的xfx0 ⑵fxdxfxdxfxdxf

教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHT1b1badx1 由此可知，fx

ax

确是密度函数．b 其它

搜集整理 教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHT如果 量X服从区间a，上的均匀分布，则随X在区间a上的任意一个子区间上取值的概率与该子区间的长度成正比，而与该子区间的位置无关这时，可以认为 量X在区间a，上取值是等可能X的P{cXcl} cXc

f(x)dxXcl dx X b b 搜集整理

教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHT若 量X服从区间a，上的均匀分布则X的分布函数为 x

FFxx ax b1 b1 搜集整理 教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHT 则X服从区间030其密度函数为

fx30

0x30其 搜集整理 教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHT令：B候车时间不超过5 PBP10X15P25X1151 dx1030

3011dx112530 搜集整理 教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHT指数分 量X的密度函数 e

xfx

x其中0为常数，则称随 量服从参数为的指数分布． 搜集整理

教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHT若 量X服从参数指数分布，则X的分布函数为

e

xx 搜集整理设打一 所用的时间X（单位：分钟

教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHT是以是刚

1为参数的指数 量．如10好在你前面走进公用电话间，求你需等待10分钟到20分钟之间的概率．X的密度函数为

10fx10

e0

xx 搜集整理 教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHT令：B等待时间为10~20 PBP10X20

10

e

e 搜集整理正态分如果连续型 量X的密度函数

教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHT为fx

e

x其中μ，σ0为参数则称随 量X服从参数为μ，σ2的正态分布．记作

f 搜集整理

教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHT若01，我们称N0为标准正态分布．标准正态分布的密度函数为

x

x 搜集整理对于正态分布的密度函数

教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHT

2

x 2

x由高等数学中的知识，我们有：

f这曲线关于直线x0PhXPXh0 搜集整理x时，fx取到最大值

教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHTf

2x离越远，fx的值就越小．这表明，对同样长度的区间，当区间离量X落在该区间中的概率就越小．f0

搜集整理⑶曲线y fx在x处有拐点；曲线y fx以Ox轴为渐近线．固定，而改变的值，则fx图形沿x轴平行移动，但不改变其形状因此yfx图形的位置完全由参数确定．f

教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHT0

搜集整理固定改变的值fx的最大

教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHT f

2越小时，yfx图形越陡，因而X落在附近的概率越大反之越大时，yfx的图形越平坦，这表明X的取值越分散．f

搜集整理

教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHT⑴正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布之⑵正态分布有许多良好的性质，这些性质是其它许 搜集整理如果 量X~N0，1，则其密度函数

教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHTx x 其分布函数为

x x

x xtdt

e2dt2

x教科书上都附有标准正态分布表,由此可得(x)值 搜集整理对于x0我们可直接查表求出xPX如果x0，我们可由公式

教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHT t22

tdt

2dt

(x)作变换tu，dtdu

x

2du

2x

1

2

1

x 搜集整理设X~N2，则YX~N01X

教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHTFYyy

1 1

P{X

2 dt作变换ut，则dudt，代入上式，得1

YFyY

2

2 X x xXF(x)P{Xx} } X 搜集整理 教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHT

其中，xF(x)(x) 故对任意的ab,P{aXb}(b-)(a 搜集整理例 设 量X~N0，1，试求

教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHT解⑴P1X20.97725 0.13591⑵P1X22210.9772510.841340.81859 搜集整理 教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHTX~N(01),z满足条件则称点z为标准正态分布的上分位点。查表可知

=2.

(x)注 1-

z

=-=-2.

z吧

搜集整-分布r如果连续型随 量r

教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHTfx

xr1e0

xx其中r0，0为参数称 量X服从参数为r，的分布记作：

X~r， 搜集整理 教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHTΓ函数函数的定义 rxr1exdx0函数的定义域：0，函数的性质：r1r

12

如果n为自然数，则nn 搜集整理r1，则由1

e x

教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHTx 这正是参数为的指数分布．

x这说明指数分布是分布的一个特例．如果rnnn1f f

n1e xn x我们称此分布为Erlang分布，它是排队论中重要的分布之一 搜集整理如果rn1中n为自然数

教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHT n

n x e

x

2

2 x我们称此分布为自由度为n的2分布，记作2．它是数理统计学中重要的分布之一． 搜集整理

教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHT期望(mean)：也就是均值，是概率下的“平均值”，是每次可能结果的概率乘以其结果的总和，反映的实随量平均取值大小。常用符号表示

EX

xf

EXxii 搜集整理 教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHT期X2468iEXxii2*0.24*0.26*0.28*0.210*0.2 搜集整理期 教 品期EDUCATIONTOCREATEABRIGHT EC EXYEXEY 搜集整理期 教 品期EDUCATIONTOCREATEABRIGHT甲乙两个人为赢家，可以获得100元的。当比赛进行了三局的时候，其中甲甲乙2甲赢P赢|4P赢|5，输|41111

甲100*甲赢100*34 赢P赢|5，赢|41*1

2

E乙100*赢100*4

搜集整理期 教 品期EDUCATIONTOCREATEABRIGHT X0123P3EXxipxi0*0.011*0.92*0.063*0.033 搜集整理 教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHT例3甲、乙两人射击，他们的射击水平由下表给出：X89PY89PX89PY89P 搜集整理解：甲、乙的平均环数可写为EX80.190.3100.6EY80.290.5100.3

教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHT 搜集整理方 教 品方EDUCATIONTOCREATEABRIGHT n

DX

X2N DXpx

bxa

f 搜集整理方EX DXEX2EX44

教 品X2468X2468 搜集整理 甲、乙两人射击，他们的射击水平由下表给出X： 的环数Y： 的环数

教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHTX89PY89P试问哪一个人的射击水平较？

搜集整理 教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHT比较两个人的平均环数．甲的平均环数为EX80.390.2100.5乙的平均环数为EY80.290.4100.4

环 搜集整理DX89.220.399.220.2109.220.5DY89.220.299.220.4109.220.4由于DY这表明乙的射击水平比甲稳定．

教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHT 搜集整理方 教 品方EDUCATIONTOCREATEABRIGHT DC DCXC2DX DCXDX协方差CovX,YEXEXYEY如果X和Y不相关，那么DXYDXDY 搜集整理常见分

教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHT 搜集整理标准

教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHT用符号表示，其实标准差就是方差的算术平方根。 DX

XN 搜集整理标准

教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHT246845678DX1DX2

1 DX12 DX2

82 搜集整理案例

教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHT甲单位不同职位月工资X1获取该职位的概率乙单位不同职位月工资X2获取该职位的概率EX11400DX140000

EX21400DX2160000

搜集整理案例

教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHT X-X-13PEX2*0.161*0.443*0.40E2X52EX52*1.32DXEX2EX222*0.1612*0.4432*0.401.322X DX 2.93761.7139 搜集整理协方

教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHTCovX,YEXEXYEYEXYXEYYEXEXEXYEX 搜集整理协方

教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHT CovaX,bYabCovX,YCovX1X2,YCovX1,YCovX2,Y 搜集整理协方 若Cov(X,Y0则X和Y若Cov(X,Y0则X和Y若Cov(X,Y0，则X和Y

教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHT 搜集整理协方差矩

教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHT),c c XEX j i i jE CovX,

c1nC

2n n2

nn

搜集整理协方差的上

教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHTCovX,YEXEXYEYCov2X,YE2XEXYEYEXYEYEX2YEYEXEYVarX 搜集整理Pearson相关系

教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHTX,Y

CovX,Y DX

0.6- 0.2- 搜集整理中心矩、原点

教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHT 若E{XkYp}，k、 搜集整理中心矩、原点

教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHT 搜集整理峰 教 品峰EDUCATIONTOCREATEABRIGHTN Nixxi kurtosis 搜集整理N 搜集整理偏 教 品偏EDUCATIONTOCREATEABRIGHT偏度计算公式：随N

xxi kurtosisi N1 搜集整理切 不等式/切 定

教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHTPX- 搜集整理大数定

教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHT 1lim

1

EX

k k 当具有相同期望μ和方差为σ2的时候，对 lim

Y Xin1nn1n 搜集整理大数定

教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHT 搜集整理中心极限定

教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHT中心极限定理的意义：设从均值为μ、方差为σ2有限的任意一个总服从均值为μ/n、方差为σ2/n的正态分布。 搜集整理中心极限定

教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHTnnYnX1X2...XnXi YnEYnYnnNn,n2n n 搜集整理参数估设总体X的分布函数F(x;的形式为已知，是待估参数。X1,Xn是X的一个样本，x1,xn是相应的样本值。构造一个适当的统计量ˆX1Xn)，用它的观察值ˆx1,xn)来估计未知参数。我们称ˆX1,Xn)为的估计量；称ˆx1xn)为的估计值。

教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHT这种对未知参数进行定值估计的问题就是点估计问题 搜集整理估计量是统计量，因而它是随 量（一维或 而估计值则是一维或 组．⑵在不引起 的情况下，我们统称估计量与估计值为未知参数的估计．

教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHT 搜集整理设X为连续型 量，其概率密度f(x;1,,k),X为离散型 量P{Xx}p(x;1,,k),其中1,,k是待估参数,X1Xn为来自X的样本

教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHTEXll

存在 l1,2,,则l l(1,,k),l1,2,, A l

X 其中

i1 搜集整理 教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHT这是包含k个未知参数1，，k的联立方程组，A111，2，， ，，， k1，2，， 从中解出方程组的解,记为ˆ,ˆˆX，

，， n ˆX， ，， n ˆX， ， n 搜集整理用分别作为的估计量， 这种求估计量的方法称为矩估计法

教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHT

nXininXi

l

l1,2,,k.所以我们令

All

l1,kAl估计l 搜集整理21)求 EX( 2A11A22解上面方程（），ˆˆ(X,,

教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHT ( ,, )). 搜集整理例1设某厂一天中发生着火现象的次数X服从参数为的泊松分布，未知，有以下样本值试估计参数（用矩法）。

教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHT EX

A

n着火的次数0123着火的次数0123456发生k次着火天数75905422621

2501n令Xn

iˆx

250

(07519061)所以估计值ˆ1.22。

搜集整理 教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHT设总体X~U[ab],ab未知X1,Xn是一个样本,求：ab的矩估计量。

EX

ab 22 2

DX(EX)2

(ba) (a令a (ba)2(a

即ab2A1ba 12(AA2 搜集整理即ab2A1 ba

12(AA2

教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHTˆ

3(

A2)X

ni3( Xi

niˆ

3(AA2)

( X1

X

ni2

i nA2A1 Xni

X

(X i

(Xni

X 搜集整理例3设总体X的均值，方差2都存在，且2但，2未知，又设X,X是一个样本；n求：,2的矩估计量。解：1EX,

教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHT2 EX2DX(EX)22令 A1, 2 A22即A1 A22n所以A1Xn

AA2

X2X2

(

i

ni

X 搜集整理特别，若X~N(,2 ,2未知

教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHT

X

nnin

(

X)2例4X服从参数为的指数分布，其中0未知，X1X2Xn是从该总体中抽取的一个样本，试求参数的矩估计．解：总体X的密度函数为ex x

x x 搜集整理 教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHT 所以，EXxfxdxxexdx 令X1得参数的矩估计量为1X 搜集整理

教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHT极大似然估计法是在总体的分布类型已知的条件 1821 学家费歇.先研究了这种方法的一些性质.

搜集整理概率P(A/最大9

教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHT如,甲

9

,11,P(红球/甲)0.9 P(红球/乙)0.0

搜集整理（1）X---离散型，XP( x) p(x),样本(X1,X2,,Xn)取到观测 (x1,x2,,xn事件P(A) P(X x1,X2 x2,,X xn

教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHTP(X x1)P(X x2)P(X xn 搜集整理Xi与X

P( x

)P( x

)P( xn

教 品EDUCATIONTOCREATEABRIGHT p(x1,)p(x2,)p(xn,nnp(xi,nni

(x1,x2,...,xn),p(xi,in 的函数，称为似然函数，记 L().n L()p(xi;i 搜集整理结构：n

p(x,

教 品 EDUCATIONTOCREATEABRIGHT p(xi i1,2,,P(A)L(),随变而变,A已经发生，由极大 L()达到最大，所以 的最合理ˆ应满足：L(ˆ)定义ˆx1,x2,xn

x1,x2,nL(ˆ)maxL( 搜集整理ˆx1,x2,xnˆX1,X2,,Xn如何求ˆ？即求L