四川省广安市华蓥观音溪中学2021年高三数学理测试题含解析

四川省广安市华蓥观音溪中学2021年高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数与图像关于直线x-y＝0对称，则的单调增区间是A．（-2，0）B．（0，2）C．（0，＋∞）D．（-∞，0）参考答案：B略2.若集合，，若，则等于（

）A．1

B．2

C．

D．1或2参考答案：D略3.若，则（

）A．

B．3

C．

D．参考答案：D4.已知函数，当时，取得最小值，则函数的图象为（

）参考答案：B略5.若，是两个非零向量，则“”是“”的（A）充分不必要条件

（B）必要不充分条件

（C）充要条件

（D）既不充分也不必要条件参考答案：C两边平方得，即，所以，所以“”是“”的充要条件选C.6.从甲、乙等5个人中选出3人排成一列，则甲不在排头的排法种数是A.12 B.24 C.36 D.48参考答案：D7.在复平面内,复数对应的点的坐标在A.第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

参考答案：B8.

已知平面向量，，若，，，则的值为A．

B．

C．

D．参考答案：答案：B9.若，则函数有（

）A．最小值

B．最大值

C．最大值

D．最小值

参考答案：C10.为平行四边形的一条对角线，（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：D因为所以，即，选D.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在中，角所对的边分别为，已知，则的面积是_____________________;参考答案：【知识点】解三角形．C8

【答案解析】解析：∵a=1，A=60°，c=，∴由余弦定理可得：1=+b2﹣2××b×cos60°∴b2﹣b﹣=0，∴b=，∴=，故答案为：【思路点拨】由余弦定理计算b，再利用三角形的面积公式，可得结论．12.在中角、、所对边长分别为，若，则角的最大值为

．参考答案：13.若{an}是等比数列，且公比，，则an=______．参考答案：【分析】根据等比数列的通项公式先求出首项,即可求得.【详解】因为是等比数列,公比，,故,解得,∴,故答案为：【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式公式,考查了整体运算思想,属基础题．14.如图4，点是圆上的点，且，则圆的面积等于____________．参考答案：8π略15.（09南通期末调研）在闭区间[－1，1]上任取两个实数，则它们的和不大于1的概率是

▲

．参考答案：答案：

16.已知，则的值为

．参考答案：17.（4分）（2015?杨浦区二模）对于自然数N*的每一个非空子集，我们定义“交替和”如下：把子集中的元素从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数，例如{1，2，4，6，9}的交替和是9﹣6+4﹣2+1=6；则集合{1，2，3，4，5，6，7}的所有非空子集的交替和的总和为．参考答案：7×26【考点】：集合的表示法；进行简单的合情推理．【专题】：新定义；集合．【分析】：根据“交替和”的定义：求出S2、S3、S4，并根据其结果猜测集合N={1，2，3，…，n}的每一个非空子集的“交替和”的总和Sn即可．解：由题意，S2表示集合N={1，2}的所有非空子集的“交替和”的总和，又{1，2}的非空子集有{1}，{2}，{2，1}，∴S2=1+2+2﹣1=4；S3=1+2+3+（2﹣1）+（3﹣1）+（3﹣2）+（3﹣2+1）=12，S4=1+2+3+4+（2﹣1）+（3﹣1）+（4﹣1）+（3﹣2）+（4﹣2）+（4﹣3）+（3﹣2+1）+（4﹣2+1）+（4﹣3+1）+（4﹣3+2）+（4﹣3+2﹣1）=32，∴根据前4项猜测集合N={1，2，3，…，n}的每一个非空子集的“交替和”的总和Sn=n?2n﹣1，所以S7=7×27﹣1=7×26，故答案为：7×26．【点评】：本题主要考查了数列的应用，同时考查了归纳推理的能力．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知抛物线x2=2py（p＞0），O是坐标原点，点A，B为抛物线C1上异于O点的两点，以OA为直径的圆C2过点B．（I）若A（﹣2，1），求p的值以及圆C2的方程；（Ⅱ）求圆C2的面积S的最小值（用p表示）参考答案：【考点】抛物线的简单性质．【分析】（I）把A代入抛物线方程即可求出p，计算OA的中点及|OA|得出圆的圆心和半径，从而得出圆的方程；（II）设A（x1，），B（x2，），根据=0得出x1，x2的关系，利用基本不等式求出|OA|2的最小值，从而得出圆C2的最小面积．【解答】解：（I）∵A（﹣2，1）在抛物线x2=2py上，∴4=2p，即p=2．∴圆C2的圆心为（﹣1，），半径r==．∴圆C2的方程为（x+1）2+（y﹣）2=．（II）设A（x1，），B（x2，），则=（x2，），=（x2﹣x1，）．∵OA是圆C2的直径，∴=0，即x2（x2﹣x1）+=0，∵x2≠0，x1≠x2，∴x22+x1x2=﹣4p2．∴x1=﹣（x2+）．∴x12=x22++8p2≥16p2．当且仅当x22=即x22=4p2时取等号．∴|OA|2=x12+≥16p2+=80p2．∴圆C2的面积S=π?≥20πp2．19.在极坐标系中，圆C的极坐标方程为：ρ2=4ρ（cosθ+sinθ）﹣6．若以极点O为原点，极轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系．（Ⅰ）求圆C的参数方程；（Ⅱ）在直角坐标系中，点P（x，y）是圆C上动点，试求x+y的最大值，并求出此时点P的直角坐标．参考答案：【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）求出圆的普通方程，然后求解圆C的参数方程；（Ⅱ）利用圆的参数方程，表示出x+y，通过两角和与差的三角函数，求解最大值，并求出此时点P的直角坐标．【解答】（本小题满分10分）选修4﹣4：坐标系与参数方程解：（Ⅰ）因为ρ2=4ρ（cosθ+sinθ）﹣6，所以x2+y2=4x+4y﹣6，所以x2+y2﹣4x﹣4y+6=0，即（x﹣2）2+（y﹣2）2=2为圆C的普通方程．…所以所求的圆C的参数方程为（θ为参数）．…（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，…当时，即点P的直角坐标为（3，3）时，…x+y取到最大值为6．…20.（本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分．）设函数．（Ⅰ）求的最小正周期．（Ⅱ）若函数与的图像关于直线对称，求当时的最大值．参考答案：解析：（Ⅰ）= = =

故的最小正周期为T=

=8

(Ⅱ)解法一：

在的图象上任取一点，它关于的对称点

.由题设条件，点在的图象上，从而

=

=

当时，，因此在区间上的最大值为解法二：

因区间关于x=1的对称区间为，且与的图象关于x=1对称，故在上的最大值为在上的最大值由（Ⅰ）知＝

当时，因此在上的最大值为

.21.已知函数.（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）当时，若恒成立，求m的取值范围.参考答案：（1）见解析（2）【分析】（Ⅰ）求导数，讨论范围得到的单调区间.（Ⅱ）当时，若恒成立，求最大值即可得到答案.【详解】解：（Ⅰ）

①当时，由于，故，所以，的单调递增区间为.

②当时，由，得.在区间上，，在区间上，所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.（Ⅱ）当时，若恒成立即故答案为：【点睛】本题考查了函数的单调性，恒成立问题，将恒成立问题转换为函数的最值问题是解题的关键.22.已知圆E的极坐标方程为ρ=4sinθ，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，取相同单位长度（其中（ρ，θ），ρ≥0，θ∈[0，2π）））．（1）直线l过原点，且它的倾斜角α=，求l与圆E的交点A的极坐标（点A不是坐标原点）；（2）直线m过线段OA中点M，且直线m交圆E于B、C两点，求||MB|﹣|MC||的最大值．参考答案：【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）由直线l的倾斜角α=，可得直线l的极角θ=，或θ=．代入圆E的极坐标方程即可得出．（2）由（1）可得：线段OA的中点M，可得直角坐标M．又圆E的极坐标方程为ρ=4sinθ，即ρ2=4ρsinθ，把ρ2=x2+y2，y=ρsinθ代入可得直角坐标方程，设直线l的参数方向为：（t为参数），代入圆的方程可得关于t的一元二次方程，利用||MB|﹣|MC||=||t1|﹣|t2||=|t1+t2|即可得出．【解答】解：（1）∵直线l的倾斜角α=，∴直线l的极角θ=，或θ=．代入圆E的极坐标方程ρ=4sinθ可得：或ρ=﹣2（舍去）．∴l与圆E的交点A的极坐标为．（2）由（1）可得：线段OA的中点M，可得