利用判定定理证明平行、垂直关系

热点一 利用判定定理证明平行、垂直关系【例1】如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，BC⊥AC，D，E分别是AB，AC的中点.(1)求证：B1C1∥平面A1DE；(2)求证：平面A1DE⊥平面ACC1A1.证明(1)因为D，E分别是AB，AC的中点，所以DE∥BC，又因为三棱柱ABC－A1B1C1中，B1C1∥BC，所以B1C1∥DE.又B1C1?平面A1DE，DE?平面A1DE，所以B1C1∥平面A1DE.(2)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，又DE?底面ABC，所以CC1⊥DE.又BC⊥AC，DE∥BC，所以DE⊥AC，又CC1，AC?平面ACC1A1，且CC1∩AC＝C，所以DE⊥平面ACC1A1.又DE?平面A1DE，所以平面A1DE⊥平面ACC1A1.热点二 利用性质定理证明平行、垂直关系【例2】如图，四棱锥P－ABCD中，AD⊥平面PAB，AP⊥AB.(1)求证：CD⊥AP；(2)若CD⊥PD，求证：CD∥平面PAB.证明 (1)因为AD⊥平面PAB，AP?平面PAB，所以AD⊥AP.又因为AP⊥AB，AB∩AD＝A，AB?平面ABCD，AD?平面ABCD，所以AP⊥平面ABCD.因为CD?平面ABCD，所以CD⊥AP.(2)因为CD⊥AP，CD⊥PD，且PD∩AP＝P，PD?平面PAD，AP?平面PAD，所以CD⊥平面PAD.①因为AD⊥平面PAB，AB?平面PAB，所以AB⊥AD.又因为AP⊥AB，AP∩AD＝A，AP?平面PAD，AD?平面PAD，所以AB⊥平面PAD.②由①②得CD∥AB，因为CD?平面PAB，AB?平面PAB，所以CD∥平面PAB.热点三 立体几何中的探究性问题【例3】在正三棱柱ABC－A1B1C1中，点D是BC的中点，BC＝BB1.(1)若P是CC1上任一点，求证：AP不可能与平面BCC1B1垂直；(2)试在棱CC1上找一点M，使MB⊥AB1.(1)证明 (反证法)假设AP⊥平面BCC1B1，∵BC?平面BCC1B1，∴AP⊥BC.又正三棱柱 ABC－A1B1C1中，CC1⊥BC，AP∩CC1＝P，AP?平面 ACC1A1，CC1?平面ACC1A1，∴BC⊥平面ACC1A1.而AC?平面ACC1A1，∴BC⊥AC，这与△ABC是正三角形矛盾，故AP不可能与平面BCC1B1垂直.(2)解 M为CC1的中点.证明如下：∵在正三棱柱ABC－A1B1C1中，BC＝BB1，∴四边形BCC1B1是正方形.∵M为CC1的中点，D是BC的中点，∴△B1BD≌△BCM，∴∠BB1D＝∠CBM，∠BDB1＝∠CMB.π∵∠BB1D＋∠BDB1＝2，π∴∠CBM＋∠BDB1＝2，∴BM⊥B1D.∵△ABC是正三角形，D是BC的中点，∴AD⊥BC.∵平面ABC⊥平面BB1C1C，平面ABC∩平面BB1C1C＝BC，AD?平面ABC，∴AD⊥平面BB1C1C.∵BM?平面BB1C1C，∴AD⊥BM.∵AD∩B1D＝D，AD，B1D?平面AB1D，∴BM⊥平面AB1D.∵AB1?平面AB1D，∴MB⊥AB1.热点四 空间几何体的表面积和体积【例4】如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E，F分别在AD，CD上，AE＝CF，EF交BD于点H，将△DEF沿EF折到△D′EF的位置.(1)证明：AC⊥HD′；5(2)若AB＝5，AC＝6，AE＝4，OD′＝2 2，求五棱锥D′－ABCFE的体积.(1)证明

由已知得

AC⊥BD，AD＝CD，又由

AE CFAE＝CF得AD＝CD，故

AC∥EF，由此得EF⊥HD，折后EF与HD保持垂直关系，即 EF⊥HD′，所以AC⊥HD′.OH AE 1(2)解 由EF∥AC得DO＝AD＝4.由AB＝5，AC＝6得DO＝BO＝AB2－AO2＝4，所以OH＝1，D′H＝DH＝3，2 2 2 2 2于是OD′＋OH＝(2 2)＋1＝9＝D′H，故OD′⊥OH.由(1)知AC⊥HD′，又AC⊥BD，BD∩HD′＝H，所以AC⊥平面DHD′，于是AC⊥OD′，又由OD′⊥OH，AC∩OH＝O，所以OD′⊥平面ABC.EFDH9又由AC＝DO得EF＝2.11969五边形ABCFE的面积S＝2×6×8－2×2×3＝4.169232所以五棱锥D′－ABCFE的体积V＝3×4×22＝2.热点五 立体几何模型实际应用问题【例5】(2017·江苏卷)如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm，容器Ⅰ的底面对角线AC的长为107cm，容器Ⅱ的两底面对角线EG，E1G1的长分别为14cm和62cm.分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm.现有一根玻璃棒l，其长度为40cm.(容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计).(1)将l放在容器Ⅰ中，l的一端置于点A处，另一端置于侧棱 CC1上，求l没入水中部分的长度；(2)将l放在容器Ⅱ中，l的一端置于点E处，另一端置于侧棱 GG1上，求l没入水中部分的长度.解(1)由正棱柱的定义，CC1⊥平面ABCD，所以平面A1ACC1⊥平面ABCD，CC1⊥AC.记玻璃棒的另一端落在 CC1上点M处.因为AC＝107，AM＝40，所以MC＝ 402－（107）2＝30，3从而sin∠MAC＝4.记AM与水面的交点为P1，过P1作P1Q1⊥AC，Q1为垂足，则P1Q1⊥平面ABCD，故P1Q1＝12，P1Q1从而AP1＝sin∠MAC＝16.答：玻璃棒l没入水中的部分的长度为 16cm.(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为 24cm)(2)如图，O，O1是正棱台的两底面中心.由正棱台的定义，OO1⊥平面 EFGH，所以平面 E1EGG1⊥平面 EFGH，O1O⊥EG.同理，平面E1EGG1⊥平面E1F1G1H1，O1O⊥E1G1.记玻璃棒的另一端落在 GG1上点N处.过G作GK⊥E1G1，K为垂足，则GK＝OO1＝32.因为EG＝14，E1G1＝62，62－14所以KG1＝ ＝24，2222从而GG1＝KG1＋GK＝24＋32＝40.设∠EGG1＝α，∠ENG＝β，π4则sinα＝sin2＋∠KGG1＝cos∠KGG1＝5.π3因为2<α<π，所以cosα＝－5.在△ENG中，由正弦定理可得40＝14，sinαsinβ7解得sinβ＝25.π24因为0<β<2，所以cosβ＝25.于是sin∠NEG＝sin(π－α－β)＝sin(α＋β)424373＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝5×25＋－5×25＝5.记EN与水面的交点为P2，过P2作P22⊥EG，Q2为垂足，则P22⊥平面QQEFGH，P2Q2故P2Q2＝12，从而EP2＝sin∠NEG＝20.答：玻璃棒l没入水中部分的长度为 20cm.(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为 20cm)探究提高立体几何中的实际应用问题常以几何体的表面积、体积为载体，借助于公式计算或三角函数、基本不等式、导数等为工具，抽象为函数模型进行求解，解答过程中要注意变量的实际意义.一、必做题1.(2018苏·北四市一模

)

已知圆锥的底面直径与高都是

2，则该圆锥的侧面积为________.解析

∵圆锥的底面直径与高都是

2，∴母线长为

1＋4＝

5，∴圆锥的侧面积为π

rl＝

5π.答案

5π2.(2018南·京模拟)已知α，β是两个不同的平面， l，m是两条不同的直线， l⊥α，m?β.给出下列命题：①α∥β?l⊥m；②α⊥β?l∥m；③m∥α?l⊥β；④l⊥β?m∥α.其中正确的命题是________(填写所有正确命题的序号 ).解析若l⊥α，α∥β，则l⊥β，又m?β，则l⊥m，故①正确；若l⊥α，α⊥β，则l∥β或l?β，又m?β，则l与m可能平行、相交或异面，故②错误；若l⊥α，m∥α，则l⊥m，又m?β，则l与β可能平行、相交或l?β，故③错误；若l⊥α，l⊥β，则α∥β，又m?β，则m∥α，故④正确.综上，正确的命题是①④.答案 ①④3.(2018苏·州一模)在一个长方体的三条棱长分别为 3、8、9，若在该长方体上面钻一个圆柱形的孔后其表面积没有变化，则圆孔的半径为 ________.解析 设半径为r，∵在一个长方体的三条棱长分别为 3、8、9，在该长方体上面钻一个圆柱形的孔后其表面积没有变化，∴减少的2个圆的面积＝圆柱的侧面积，∴2πr2＝2πr×3(此处只考虑高为 3的情况，另外两种情况下圆柱不存在 )，解得r＝3.∴圆孔的半径为 3.答案 34.(2018常·州一模)以一个圆柱的下底面为底面，并以圆柱的上底面圆心为顶点作圆锥，若所得的圆锥底面半径等于圆锥的高，则圆锥的侧面积与圆柱的侧面积之比为________.解析 设圆锥的底面半径为 r，由题意圆锥底面半径等于圆锥的高，2可知圆锥的侧面积为πr· 2r＝ 2πr.222所以圆锥的侧积面与圆柱的侧面积之比为2πr∶2πr＝2.答案22如图，在正方体1111中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上5.ABCD－ABCD的动点，当CF＝________时，D1E⊥平面AB1F.FD解析如图，连接A1B，则A1B是D1E在平面ABB1A1内的射影.∵AB1⊥A1，∴1⊥1，BDEAB又∵D1E⊥平面AB1F?D1E⊥AF.连接DE，则DE是D1E在底面ABCD内的射影，∴D1E⊥AF?DE⊥AF.∵ABCD是正方形，E是BC的中点，∴当且仅当F是CD的中点时，DE⊥AF，即当点F是CD的中点时，D1E⊥平面AB1F，CF∴FD＝1时，D1E⊥平面AB1F.答案 16.(2018苏·州一模)已知直四棱柱 ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形，F为棱BB1的中点，M为线段AC1的中点.求证：(1)直线MF∥平面ABCD；(2)平面AFC1⊥平面ACC1A1.证明(1)延长C1F交CB的延长线于点N，连接AN.因为F是BB1的中点，所以F为C1N的中点，B为CN的中点.又M是线段AC1的中点，故MF∥AN.又MF?平面ABCD，AN?平面ABCD，∴MF∥平面ABCD.(2)连BD，由直四棱柱ABCD－A1B1C1D1，可知A1A⊥平面ABCD，又∵BD?平面ABCD，∴A1A⊥BD.∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD.又∵AC∩A1A＝A，AC，A1A?平面ACC1A1，∴BD⊥平面ACC1A1.在四边形DANB中，DA∥BN且DA＝BN，所以四边形DANB为平行四边形，故NA∥BD，∴NA⊥平面ACC1A1，又因为NA?平面AFC1，∴平面AFC1⊥ACC1A1.7.(2018南·通、扬州、泰州联考)如图，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面PAD，AB∥CD，CD＝2AB＝2BC，M，N分别是棱PA，CD的中点.(1)求证：PC∥平面BMN；(2)(一题多解)求证：平面BMN⊥平面PAC.证明 (1)设AC∩BN＝O，连接MO，AN，1因为AB＝2CD，AB∥CD，N为CD的中点，所以AB＝CN，且AB∥CN，所以四边形ABCN为平行四边形，所以O为AC的中点，又M为PA的中点，所以MO∥PC.又因为MO?平面BMN，PC?平面BMN，所以PC∥平面BMN.(2)法一 因为PC⊥平面PDA，AD?平面PDA，所以PC⊥AD.由(1)同理可得四边形ABND为平行四边形，所以AD∥BN，所以BN⊥PC，因为BC＝AB，所以平行四边形ABCN为菱形，所以BN⊥AC.因为PC∩AC＝C，PC，AC?平面PAC，所以BN⊥平面PAC.因为BN?平面BMN，所以平面BMN⊥平面PAC.法二 连接PN，因为PC⊥平面PDA，PA?平面PDA，所以PC⊥PA.因为PC∥MO，所以PA⊥MO.又PC⊥PD.1因为N为CD的中点，所以PN＝2CD，1由(1)得AN＝BC＝2CD，所以AN＝PN，又因为M为PA的中点，所以 PA⊥MN，因为MN∩MO＝M，MN，MO?平面BMN，所以PA⊥平面BMN.因为PA?平面PAC，所以平面PAC⊥平面BMN.二、选做题8.如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面直角梯形ABCD，∠DAB为直角，AD＝CD＝2，AB＝1，E，F分别为PC，CD的中点.(1)求证：CD⊥平面BEF；(2)设PA＝kAB，且二面角E－BD－C的平面角大于30°，求k的取值范围.(1)证明如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，F(1，2，0)，→→，2，0)，从而DC＝(2，0，0)，BF＝(0→→→→所以DC·BF＝0，故DC⊥BF，即DC⊥BF.设PA＝b，则P(0，0，b).因为

E为

PC的中点，所以

bE1，1，2

，→从而BE＝

b0，1，2

→ →，所以DC·BE＝0，→ →故DC⊥BE，即DC⊥BE.又BE∩BF＝B，所以CD⊥平面BEF.(2)解 设E在xOy平面上的射影为 G，过点G作GH⊥BD，垂足为点H，连接EG⊥BDEH，由GH⊥BD?BD⊥平面EGH，EG∩GH＝G又EH?平面EGH，∴EH⊥BD，从而∠EHG即为二面角E－BD－C的平面角.k由PA＝kAB，AB＝1，得P(0，0，k)，E1，1，2，G(1，1，0).设H(x，y，→→0)，则GH＝(x－1，y－1，0)，BD＝(－1，2，0).→ →由GH·BD＝0，得－(x－1)＋2(y－1)＝0，即x－2y＝－1.①→ → →又BH＝(x－1，y，0)，且BH与BD的方向相同，故x－－11＝y2，即2x＋y＝2.②34→21由①②解得x＝5，y＝5，从而GH＝－5，－5，0，→5所以|GH|＝5.→|EG| 5从而tan∠EHG＝→＝2k.|GH|由k>0知∠EHG是锐角，由∠EHG>30°，得tan∠EHG>tan30°，53即2k>3.215故k的取值范围为15，＋∞.9.如图所示，平面ABDE⊥平面ABC，△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝4，1四边形 ABDE是直角梯形，BD∥AE，BD⊥BA，BD＝2AE＝2，O，M分别为CE，AB的中点.(1)求证：OD∥平面ABC；(2)求直线CD和平面ODM所成角的正弦值；(3)能否在EM上找一点N，使得ON⊥平面ABDE？若能，请指出点 N的位置，并加以证明；若不能，请说明理由 .(1)证明 如图，取AC中点F，连接OF，FB.∵F是AC中点，O为CE中点，1∴OF∥EA且OF＝2EA.1又BD∥AE且BD＝2AE，∴OF∥DB且OF＝DB，∴四边形BDOF是平行四边形，∴OD∥FB.又∵FB?平面ABC，OD?平面ABC，∴OD∥平面ABC.(2)解 ∵平面 ABDE⊥平面 ABC，平面 ABDE∩平面 ABC＝AB，DB?平面ABDE，且BD⊥BA，∴DB⊥平面ABC.∵