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3.1导数的几何意义1/20/20231/20/2023函数y=f(x)在x=

x0处的瞬时变化率称为函数y=f(x)在x=

x0处的导数,记作或,即1/20/2023下面来看导数的几何意义:

βy=f(x)PQMΔxΔyOxyβPy=f(x)QMΔxΔyOxy

如图,曲线C是函数y=f(x)的图象,P(x0,y0)是曲线C上的任意一点,Q(x0+Δx,y0+Δy)为P邻近一点,PQ为C的割线,PM//x轴,QM//y轴,β为PQ的倾斜角.斜率!1/20/2023PQoxyy=f(x)割线切线T请看当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时,割线PQ绕着点P逐渐转动的情况.1/20/2023

设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.即:

这个概念提供了①求曲线上某点切线的斜率的一种方法;②切线斜率的本质——函数在x=x0处的导数.(3)导数的几何意义是曲线在一点处的切线斜率。1/20/2023例1

已知,求曲线在处的切线的斜率.

分析:为求得过点(2,4)的切线的斜率,可从经过点(2,4)的任意一条直线(割线)入手.解:

设,则割线PQ的斜率当无限趋近于0时,无限趋近于常数4,即从而曲线在点P(2,4)处的切线斜率为4.1/20/2023练习1:如图已知曲线,求:(1)点P处的切线的斜率;(2)点P处的切线方程.

yx-2-112-2-11234OP即点P处的切线的斜率等于4.

(2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.1/20/2023练习2：1/20/2023A.1条B.2条C.多于2条D.不能确定1/20/2023例2

如图,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数的图象.根据图象,请描述、比较曲线在附近的变化情况.

解:可用曲线h(t)

在

t0,t1,t2

处的切线刻画曲线h(t)

在上述三个时刻附近的变化情况.(1)当t=t0

时,曲线h(t)

在t0

处的切线l0

平行于x轴.故在t=t0

附近曲线比较平坦,几乎没有升降.(2)当t=t1

时,曲线h(t)

在t1

处的切线l1的斜率h’(t1)<0.故在t=t1

附近曲线下降,即函数h(t)

在t=t1

附近单调递减.tohl0t0t1l1t2l2t4t3(3)当t=t2

时,曲线h(t)

在t2处的切线l2的斜率h’(t2)<0.故在t=t2

附近曲线下降,即函数h(t)

在t=t2

附近也单调递减.

从图可以看出，直线

l1

的倾斜程度小于直线l2

的倾斜程度，这说明h(t)曲线在l1

附近比在l2

附近下降得缓慢1/20/2023在不致发生混淆时，导函数也简称导数．什么是导函数?由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,当时,f’(x0)

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