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文档简介
电子科技大学§6.2马氏链序列(二)四、遍历性与平稳性
将老鼠迷宫涂上不同颜色,对老鼠运动进行足够多次的观察,以了解,1红2白3黑1)哪一种颜色的吸引力最大?2)初始状态对结果有何种影响?电子科技大学
关注当n→∞,pij(n)
的极限分布(j=1,2,3)是否与
i有关?数学问题:
定义6.2.6
设{X(n),n=0,1,2,…}是齐次马氏链,若对且与
i无关,称此马氏链具有遍历性.下极限存在电子科技大学为齐次马氏链的极限分布.齐次遍历马氏链的n步转移矩阵,有
是概率向量电子科技大学EX.10直线上的随机游动
123状态空间E={1,2,3}讨论{X(n),n≥1}是否遍历?解
{X(n),n≥1}是齐次马氏链.电子科技大学电子科技大学故{X(n),n≥1}不是遍历马氏链.设齐次马氏链{X(n),n=0,1,2,…}的状态空间为定理6.2.4
(遍历性定理)E={1,2,…,s}.若存在正整数n0,对任意
且极限分布Π是方程组
电子科技大学在满足条件
下的唯一解.是概率向量注一
对于齐次马氏链,由C-K方程,有
定理6.2.4条件可叙述为:存在正整数n0,使n0步转移矩阵的每一元素都为正数.电子科技大学
定义6.2.7
称齐次马氏链的转移矩阵P是正则的,若若存在正整数k,使Pk
的每一个元素均为正数.推论1
若齐次马氏链的转移矩阵P是正则阵,则此马氏链是遍历的.注二
定理6.2.4中(1)式可改写为
(1')电子科技大学电子科技大学
定义6.2.8
若行向量U=(u1,u2,…,us)与s
阶方阵R满足UR=U称U是R的不动点向量.定理6.2.5若P是遍历齐次马氏链的正则阵,则1)P有唯一的不动点向量Π,其分量均为正数;
2)Pn(n≥1)随n
的增大而趋于矩阵W,W的每一行向量等于不动点向量Π.电子科技大学EX.11迷宫问题
老鼠运动是齐次马氏链.
设老鼠运动的转移矩阵P为
正则阵由于P是正则阵,则
电子科技大学第n步绝对分布为
电子科技大学
一般,对任意初始概率向量p(0)=(p1
p2
p3)均有π(0)
W=Π
Π是不动点向量
定义6.2.9
设{X(n),n≥0}为齐次马氏链,若存在行向量电子科技大学称马氏链是平稳的,称V是马氏链的平稳分布.
P178定义4注
若马氏链的初始分布是一个平稳分布V,则绝对分布为
即绝对分布保持不变.系统具有平稳性电子科技大学定理6.2.5之推论
正则(遍历)马氏链的极限分布是平稳分布.
EX.12
考虑经多级传送后,数字传输的准确可靠程度如何?(P109例3)X(0)—进入系统第一级的数字;
X(n)—表示第n级传出的数字,
{X(n),n=0,1,2,…}是齐次马氏链,状态空间为E={0,1}.
电子科技大学
假设每一级的误码率为p(0<p<1),则转移矩阵为
设初始分布为π(0).经第n
级传送后,其概率分布(绝对分布)为需求极限分布.
电子科技大学
因P
是正则阵,故此马氏链是遍历的,极限分布即平稳分布.
由遍历性定理知问题转化为求P的不动点概率向量
W=(w1w2)W应满足:1)w1+w2=1,wi>0;
2)WP=W.
电子科技大学电子科技大学故极限分布为
最坏结果电子科技大学EX.1
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