第四章第二节换元公式

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第二节换元积分法一、第一类换元法二、第二类换元法三、小结思考题问题？解决方法利用复合函数，设置中间变量.过程令一、第一类换元法在一般情况下：设则如果（可微）由此可得换元法定理(第一类换元公式:凑微分法）定理1

公式（1）的目的是将左边的积分在变量代换

u=(x)下，转化为右边的积分来计算。

如何用公式（1）来求不定积分？关键是寻找适当的变量代换u=(x),这要根据具体问题具体分析。

在积分式中dx

可以看作是对积分变量x

的微分。例1

求解（一）解（二）解（三）例2

求解一般地例3

求解例4

求解例5

求解例6

求解一：解二：例6

求思考题：为什么两种方法所得结果不一样？解一：例7

求解说明当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分.例8

求解例9

求解：类似地可推出例10

求解（一）（使用了三角函数恒等变形）类似地可推出解（二）例10

求例11求解：例12积分公式问题解决方法改变中间变量的设置方法.过程令（应用“凑微分”即可求出结果）二、第二类换元法注意：上面所用的变量代换形式为：一般地，设所求积分为令x=(t)则d

x=(t)dt，得换元公式然后计算出右边的积分，设为x=(t)要单调可导

第一类换元公式

第二类换元公式两类换元公式的比较例13

求解令例14

求解令例14求解令说明(1)以上几例所使用的均为三角代换.三角代换的目的是化掉根式.一般规律如下：当被积函数中含有可令可令可令例15求解：倒代换令所以例15求解：倒代换令当x<0时有相同的计算结果所以

积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定.说明(2)例16求解一：令解二：令例16求例17

求解：令说明(3)当被积函数含有两种或两种以上的根式时，可采用令（其中为各根指数的最小公倍数）例18

求解令三、小结

第一类换元公式

第二类换元公式

积分公式表（2）

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