云南省昆明市第十八中学2023年高三数学理模拟试题含解析

云南省昆明市第十八中学2023年高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.过抛物线y2=4ax（a＞0）的焦点F作斜率为﹣1的直线l，l与离心率为e的双曲线(b＞0)的两条渐近线的交点分别为B，C．若xB，xC，xF分别表示B，C，F的横坐标，且，则e=（）A．6 B． C．3 D．参考答案：D【考点】抛物线的简单性质．【分析】过抛物线y2=4ax（a＞0）的焦点F（a，0），所以直线y=﹣x+a与y=±交于B、C两点，求出B、C的横坐标，再根据且，建立关于a、b的等式解出b2=2a2，可得此双曲线的离心率．【解答】解：过抛物线y2=4ax（a＞0）的焦点F作斜率为﹣1的直线l，直线方程为y=﹣x+a，∵双曲线的渐近线为y=±x，∴直线y=﹣x+a与渐近线的交点横坐标分别为xB=，xB=，xF=a，∵，∴a2=﹣，解得2a2=b2，∴e===，故选：D【点评】本题给出双曲线满足的条件，求双曲线的离心率．着重考查了直线的交点坐标、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．2.的值是(

)A．

B．

C．

D．参考答案：C

解析：3.已知函数，则关于的方程有5个不同实数解的充要条件是（

）A．且

B．且

C．且

D．且参考答案：B4.

给出下列两个命题：甲：异面直线m,n分别在平面α、β内，且n∥α，且m∥β，则α∥β.乙：两平面互相垂直，分别在这两个平面内且互相垂直的两条直线，一定分别与另一平面垂直.正确的判断是

A.甲、乙均假

B.甲、乙均真

C.甲真乙假

D.甲假乙真参考答案：答案：C5.在下列四个结论中，正确的有

（1）的必要非充分条件；

（2）中，A>B是sinA>sinB的充要条件；

（3）的充分非必要条件；

（4）的充要条件.A.(1)(2)(4)

B.(1)(3)(4)

C.(2)(3)(4)

D.(1)(2)(3)(4)参考答案：D6.已知圆：与圆：的公共弦所在直线恒过定点，且点在直线上，则的取值范围是（

）A．

B．

C.

D．参考答案：D与,相减得公共弦所在直线方程：，即，所以由得，即，因此，选D.点睛：在利用基本不等式求最值或值域时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.

7.集合,则A．

B．

C．

D．参考答案：答案:C

8.设是正实数，以下不等式

（）

①，②，③，④

恒成立的序号为

(A)①、③

(B)①、④

(C)②、③

(D)②、④参考答案：D9.设，则下列关系正确的是A．

B．

C．

D．参考答案：D10.设全集，集合，则

（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：【知识点】集合的补集A1A解析：因为，，所以,故选A.【思路点拨】由补集运算直接计算可得.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.下表给出一个“直角三角形数阵”

……满足每一列的数成等差数列,从第三行起,每一行的数成等比数列,且每一行的公比相等,记第i行第j列的数为等于

参考答案：略12.数列{an}是公差不为零的等差数列，若a1，a3，a4成等比数列，则公比q=__________．参考答案：考点：等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．专题：计算题；方程思想；综合法；等差数列与等比数列．分析：由等差数列的通项公式和等比数列的性质得a1=﹣4d，由此能求出公比q．解答：解：∵数列{an}是公差不为零的等差数列，a1，a3，a4成等比数列，∴，解得a1=﹣4d，∵d≠0，∴公比q===．故答案为：．点评：本题考查等比数列的公比的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的通项公式和等比数列的性质的合理运用13.已知数列的前项和为

…

…

×××

×××

，现把数列的各项排成如图所示的三角形形状．记为第行从左起第个数．有下列命题：①为等比数列且其公比；②当时不存在；③；④假设为大于的常数，且，，其中为的最大值，从所有，中任取一个数，若取得的数恰好为奇数的概率为，则必然为偶数．其中你认为正确的所有命题的序号是___________.参考答案：②③④．14.曲线在点

处的切线倾斜角为__________；参考答案：

解析：15.等比数列满足，，则__________．参考答案：解：等比数列中，，，∴，解得：或（舍去）．∴．16.正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等，D是CC1中点，则二面角的正切值为_______．参考答案：【分析】设正三棱柱的所有棱长2,取的中点,这样可以证明出，通过侧面与底面垂直，利用面面垂直的性质定理可以证明出侧面,也就证明出，这样过作,利用线面垂直的判定定理，可以证明出所以平面,也就证出，这样就可以找到二面角的平面角的补角,通过计算可以求出二面角的平面角的补角的正切值，也就求出二面角的平面角的正切值.【详解】设正三棱柱的所有棱长2,取的中点,连接,由题意可知,,所以,利用勾股定理可以求得,过作,垂足为,连接,如下图所示:在正三棱柱中,侧面底面,而侧面底面,所以侧面,平面,所以有,,平面,所以平面,而平面,所以,因此是二面角的平面角的补角,在正方形中,由面积可得,求出,在中,,所以二面角的正切值为.【点睛】本题考查了求二面角的正切值问题，解决本题的关键是找到二面角的平面角的补角.17.如图,在等腰三角形中,底边,,,若,则=

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分14分）设数列的前项和为，满足，，且成等比数列．（1）求，，的值；（2）令，求数列的通项公式；（3）证明：对一切正整数，有…．参考答案：（1），，；（2），；（3）略.试题分析：对于第一问，可以根据题中的条件，找到关于的等量关系，从而求出的值，对于第二问，注意根据和与项的关系，类别着再写一个，两式相减，可以得出数列的相邻两项之间的递推关系式，对所得的式子进行变形，转化成目标数列的相邻两项的关系，再应用累加法求得结果，也可以应用某些项所满足的关系，猜想数列的通项公式，之后应用数学归纳法证明即可，对于第三问，根据第二问求得数列的通项公式，之后应用裂项相消法求和，之后应用不等式的性质即可得结果.试题解析：（1）由已知，得

…………2分解之，得，，．

………4分（2）（法1）因为，，……①所以，其中．

……②1

②并整理得，，

……………6分即，．所以，相加，得．

……8分由（1）知，所以，所以时，，

……………9分又，也符合上式，所以，数列的通项公式为，．

……10分（法2）因为，，

……①所以，其中．

……②1

②，并整理得，，

即，．

……………………6分由（1）知，，．可得，，．猜想，．…………8分以下用数学归纳法证明之：（i）当时或时，猜想显然正确．（ii）假设（）时，猜想正确，即．那么时，即时，猜想也正确．由（i）（ii），根据数学归纳法原理，对任意的，猜想正确．所以，数列的通项公式为，．…………10分（3）对一切正整数，因为，…………12分所以，………．

………14分考点：等比数列的定义，处理与的递推公式，用累加法求数列通项，数学归纳法，理解裂项求和，考生运算求解、推理论证、归纳猜想的能力．19.设F1、F2分别是椭圆的左、右焦点.若P是该椭圆上的一个动点，的最大值为1.（1）求椭圆E的方程；（2）设直线与椭圆交于不同的两点A、B，且为锐角(其中O为坐标原点)，求直线l的斜率k的取值范围.参考答案：解:（1）易知，，所以，，设，则，因为，故当，即点为椭圆长轴端点时，有最大值1，即，解得故所求的椭圆方程为（2）设，，由得，故，.又为锐角，∴又∴，∴，解得∴的取值范围是.

20.（15分）（2015?浙江模拟）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）上的点M到直线l：y=x+1的最小距离为．点N在直线l上，过点N作直线与抛物线相切，切点分别为A、B．（Ⅰ）求抛物线方程；（Ⅱ）当原点O到直线AB的距离最大时，求三角形OAB的面积．参考答案：【考点】：抛物线的简单性质．【专题】：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：（Ⅰ）设y=x+b与抛物线y2=2px（p＞0）相切，且与l：y=x+1的最小距离为，求出b，再将直线方程与抛物线方程联立，利用△=0，即可求抛物线方程；（Ⅱ）当原点O到直线AB的距离最大时，求出直线AB的方程，即可求三角形OAB的面积．解：（Ⅰ）设y=x+b与抛物线y2=2px（p＞0）相切，且与l：y=x+1的最小距离为，则=，∴b=或（舍去），y=x+与抛物线y2=2px联立，可得x2+（1﹣2p）x+=0，∴△=（1﹣2p）2﹣4=0，∴p=1或p=0（舍去），∴抛物线方程为y2=2x；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），N（x0，y0），则过点A的切线方程为yy1=x+x1，点N在直线上，故有y0y1=x0+x1，同理，y0y2=x0+x2，故直线AB的方程为y0y=x0+x，y0=x0+1代入整理可得（y﹣1）x0+1﹣x=0，∴AB恒过（1，1），O到直线AB距离最大，显然直线AB的方程为y=﹣x+2，代入抛物线方程，整理得x2﹣6x+4=0，∴x1+x2=6，x1x2=4，∴|AB|==2，∴原点O到直线AB的距离最大时，三角形OAB的面积为=2．【点评】：本题考查抛物线方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，确定抛物线的方程是关键．21.已知函数(1)若在区间［1，+）上是增函数，求实数的取值范围(2）若是的极值点，求在［1，］上的最大值(3）在（2）的条件下，是否存在实数b,使得函数的图象与的图象恰有3个交点？若存在，请求出实数b的取值范围；若不存在，试说明理由.参考答案：（1）

在是增函数，

在上恒有，即

在［1，+）上恒成立，

则必有且

(2）依题意，即令，得.则当经变化时，与变化情况如下表1(1,3)3(3,4)4

-0+

-6

-18

-12

在［1，4］上的最大值是.C．函数的图象与函数的图象恰有3个交点，即方程恰有3个不等实根.

有两个非零不等实根.

是其中一个根，且.存在满足条件的b的值，b的取值范围是且.22.(本小题满分12分)某品牌经销商在一广场随机采访男性和女性用户各50名，其中每天玩微信超过6小时的用户列为“微信控”，否则称其为“非微信控”，调查结果如下：

微信控非微信控合计男性262450女性302050合计5644100(1)根据以上数据，能否有95%的把握认为“微信控”与“性别”有关？(2)现从调查的女性用户中按分层抽样的方法选出5人，求所抽取的5人中“微信控”和“非微信控”的人数；(3)从(2)中抽取的5位女性中，再随机抽取3人赠送礼品，试求抽取3人中恰有2人为“微信控”的概率.参考数据：P(K2≥k)0.100.0500.0250.0100.001k2.7063.8415.0246.63510