第八章-概率论与模糊数学

会计学1第八章-概率论与模糊数学§8.1概率论与数理统计简解

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概率是研究随机现象之数量规律的科学，而统计学的任务是收集和分析数据，并根据数据对事物或现象作出科学的推断。由于偶然因素对数据的收集和分析都有影响，所以在推断时，就必然要考虑到这些偶然因素对推断结果的影响。因此统计学中必须用到相当多的概率知识，建立在概率论基础上的统计学又称为数理统计学。17世纪中叶，在法国出现了对赌博问题的研究。也正是由于这个问题的研究，推动了数学的发展，使一门崭新的学科──概率论诞生了。1657年，荷兰数学家、物理学家惠更斯（Huygens,1629-1695年）也试图解决帕斯卡与费尔马通信中提出的问题，撰写出《论赌博中的计算》一书，建立了概率和数学期望等重要概念，揭示了它们的性质和演算方法，这是最早的概率论著作。

第2页/共34页1917年前苏联科学家伯恩斯坦首先给出概率的公理体系。柯尔莫哥洛夫于1933年又以更完善的形式提出了公理结构。从此，基本完成了现代意义下的概率论。

1896年，由英国传教士傅兰雅（JonFryer,1839-1928年）和毕衡芳（1833-1902年）合译概率论，定名为《决疑数学》。从此，概率论开始传入我国。

第3页/共34页§8.2随机现象与确定性现象

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一类现象，具有偶然性，在个别试验中呈现出不确定性，在大量的重复试验中，又具有统计规律性，我们称之为随机现象。概率论与数理统计是研究和揭示随机现象的统计规律性的一门数学学科

随机试验：我们将具有以下三个特征的试验称之为随机试验1.

可以在相同的条件下重复进行；2.

每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果；3.

进行试验之前不能确定哪一个结果会出现，但试验结束时能确定出现的结果。第5页/共34页

在随机试验中，对一次试验可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中却具有某种规律性的结果或结果组合，称之为此随机试验的随机事件，简称事件。基本事件

:在一随机试验中，它的每一可能出现的直接结果都是一个随机事件，它们是这个试验的最简单的随机事件，我们称这些简单的随机事件为基本事件。必然事件与不可能事件

第6页/共34页§8.3样本空间（基本事件空间）

与事件的运算

随机试验E的所有基本事件所组成的集合称之为E的样本空间

,又称为基本事件空间。第7页/共34页1.包含与相等2.事件之和（或并）3.事件之积（或交)

4.事件之差

第8页/共34页A1A2A3An5.事件互不相容（或互斥）

6.互为对立事件（或逆事件）

若在试验中，事件A与事件B中必然有一个发生，且仅有一个发生，即事件A与事件B满足：称事件A与事件B互为对立事件（或互为逆事件）记为:或第9页/共34页记号概率论集合论S样本空间，必然事件全集不可能事件空集e基本事件元素A随机事件子集A的对立事件A的余（补）集事件A发生必然有事件B发生A是B的子集A=B事件A与事件B相等A与B相等事件A与事件B至少有一个发生A与B之并事件A与事件B同时发生A与B之交事件A发生而事件B不发生A与B之差事件A与事件B不相容交为空集第10页/共34页§8.4频率、概率与古典概型第11页/共34页我们重复进行了n次试验，假定事件A出现了nA次，比值fn(A)=nA/n,称之为事件A在这n次试验中出现的频率。

当n充分大时，事件A发生的频率fn(A)稳定在一个数值P(A)上，称P(A)为事件A发生的概率

“掷骰子”的试验，有两个特点：1.试验的样本空间的基本事件的个数是有限的；2.试验中每个基本事件出现的可能性相同。一般地，设试验E的样本空间为，如果每个基本事件的概率相等，即，则称之为等可能概型。第12页/共34页对于古典概型，由于故得因此若事件A包含k个基本事件，则有这就是等可能概型的概率计算公式。

第13页/共34页例1

作试验E：“将一枚均匀的硬币掷三次”，观察正、反面出现的情况。

1.写出E的样本空间。

2.设事件A1为“恰有一次出现正面”，求；

3.设事件A2为“至少有一次出现正面”，求。第14页/共34页例2

袋中有6只球，其中4只白球，2只红球。从袋中任取球二次，每次取一只。考虑两种情况：（1）第一次取一球观察颜色后放回袋中，第二次再取一球，这种情况叫做有放回抽样；（2）第一次取后不放回袋中，第二次再取一球，这种情况叫做不放回抽样。试分别就上述二种情况下，求：

1.取到二只球都是白球的概率；

2.取到的二只球的颜色相同的概率；

3.取到的二只球至少有一只是白球的概率。第15页/共34页例3

将n个不同的球随机地放入n个不同的盒子中去，每个盒子恰有一个球的概率是多少？

例4

设有N件产品，其中有M件是次品，从中随机抽取n件，问其中恰有件次品的概率是多少？

第16页/共34页§8.5条件概率与乘法定理

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有某产品共10只，其中有3只是次品，从中任取二只，每只取后不放回。问第一只取到次品后第二只再取到次品的概率是多少？

在A已发生的条件下，求B发生的概率，故称之为A发生条件下B发生的条件概率，记为P(B|A),即有条件概率作如下解释

ABBA这两个式子叫做概率的乘法定理。第18页/共34页例5

设在一盒子中装有10个球，4个黑球，

6个白球，抽球两次，一次抽取一个，取后不放回，问两次都抽到白球的概率是多少？

第19页/共34页§8.6全概率公式及应用

第20页/共34页定义

设S为随机试验E的样本空间，为E的一组事件，若

1.，{Bi}互不相容；

2.，即为全概率。则称为样本空间的一个划分（分割)。

B1ABnB1B1B1如图所示:第21页/共34页例7

对目标进行三次独立炮击，每次都重新瞄准。第一次命中率为0.4，第二次为0.5，第三次为0.7。目标中一弹而被击毁的概率为0.2，中两弹和三弹被击毁的概率分别为0.6和0.8，求射击三次击毁目标的概率。例6

设一批同类型的产品是由三家工厂所生产的，已知其中的产品是第一家工厂所生产的，其它二厂各生产又已知第一、第二两厂生产的有2%是次品，第三家工厂生产的有4%是次品，现从这批产品中任取一产品，问抽取的是次品的概率是多少？第22页/共34页§8.7模糊数学及基础概念

第23页/共34页模糊数学的对象和任务

模糊数学是研究和处理模糊性现象的数学。这里所谓模糊性，主要是指客观事物在差异的中介过程中所显现的“亦此亦彼”性。模糊数学从它诞生的那天起，便和电子计算机的发展息息相关的，也是相辅相成的，主要是同提高计算机的人工智能密切相关。

科技工作者在实践中受到一条不相容原理：当一个系统复杂性增加时，我们使它精确化的能力将减少，在达到一定阈值以上时，复杂性与精确性将互相排斥，与复杂性紧紧相伴随的就是模糊性。1965年，美国控制论专家查德（L.A.zaheh）第一次提出了模糊集合的概念，标志着模糊数学的诞生。

第24页/共34页概率论的产生，把数学的应用范围从必然现象的领域扩大到偶然现象的领域；而模糊数学则把范围从精确现象的领域扩大到模糊现象的领域。概率论是研究和处理随机性；而模糊数学是研究和处理模糊性。二者都属于不确定性数学，它们之间有深刻的联系，但又有本质的区别。模糊数学试图解决的任务是给各门科学，尤其是那些数学的“禁区”──如人文科学提供新的语言和工具（人文科学，指有人的智力活动参与其内的系统进行研究的科学。如经济管理、人工智能、环境科学等等）。是使计算机能效仿人脑对复杂系统进行识别和判断。第25页/共34页

模糊数学的基本概念简介

对于普通子集A

打破上面的限制，将隶属度从二元集合{0,1}推广到闭区间[0,1]。定义1

给定论域U，所谓指定了U上的一个模糊子集是指对任意，存在隶属度与之对应。称为的隶属函数。记作第26页/共34页例如，对于有限元的情况，，其中a,…,e表示如图的几何形状。表示“园块块”这一模糊概念。则第27页/共34页模糊子集的图象、支集、核和边界

的度图像一般恒有即:称为的支集

记为:为的核如图中[e,f]。称为的边界第28页/共34页模糊子集的运算

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例8

“年轻”和“年老”是两个模糊检念。分别用模糊子集表示。其隶属度如图中两条曲线分别表示实际上可以解析表出的。──“年轻或年老”（见图中①）──“年轻又年老”（见图中②）──“不年轻”（见图中③）③(Yc)(u)1501001①②5