实验中学2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题含解析

广东省实验中学2019_2020学年高一数学上学期期末考试试题含解析广东省实验中学2019_2020学年高一数学上学期期末考试试题含解析PAGE25-广东省实验中学2019_2020学年高一数学上学期期末考试试题含解析广东省实验中学2019—2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析)一､选择题：（每小题5分,共60分）1。已知集合A={x｜x2﹣x0},，则A∩B=（)A. B。 C。 D.【答案】B【解析】【分析】先化简集合A，集合B,再利用交集的定义求解。【详解】因为集合A=｛x｜x2﹣x0｝，,所以A∩B=.故选：B【点睛】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题。2.若a〉b，则A。ln(a−b)〉0 B.3a〈3bC.a3−b3>0 D。│a│〉│b│【答案】C【解析】【分析】本题也可用直接法，因为,所以,当时,，知A错，因为是增函数，所以，故B错;因为幂函数是增函数，，所以，知C正确；取，满足，，知D错．【详解】取，满足,，知A错，排除A；因为，知B错，排除B；取，满足，,知D错，排除D,因为幂函数是增函数，，所以，故选C．【点睛】本题主要考查对数函数性质、指数函数性质、幂函数性质及绝对值意义，渗透了逻辑推理和运算能力素养，利用特殊值排除即可判断．3。已知，则等于（）A。 B. C。 D。【答案】B【解析】【详解】因为tanθ=3，∴=故选B．4。如图，若,，，是线段靠近点的一个四等分点,则下列等式成立的是()A. B.C。 D.【答案】C【解析】【分析】利用向量的线性运算即可求出答案.【详解】。故选C.【点睛】本题考查的知识要点：向量的线性运算，主要考查学生的运算能力和转化能力,属于基础题型．5。函数的图象关于直线对称,它的最小正周期为，则函数图象的一个对称中心是(）A。 B. C. D。【答案】D【解析】分析】由周期求出,再由图象关于直线对称，求得，得到函数，求得,从而得到图象的一个对称中心.【详解】由,解得,可得，再由函数图象关于直线对称，故，故可取，故函数，令，可得，故函数对称中心,令可得函数图象的对称中心是，故选D.【点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，属于中档题。由函数可求得函数的周期为;由可得对称轴方程;由可得对称中心横坐标.6。已知平面内一点P及△ABC，若，则P与△ABC的位置关系是(）A.P在△ABC外部 B。P在线段AB上C。P在线段AC上 D.P在线段BC上【答案】B【解析】【分析】根据,通过加减运算整理为，再利用共线向量定理判断.【详解】因为，所以，所以，所以P在线段AB上.故选：B【点睛】本题主要考查平面向量的加减运算和共线向量定理，属于基础题。7。下列函数中,既是偶函数,又在区间(0,+∞)上单调递减的函数是()A.y=x2 B. C。y=2|x｜ D。y=cosx【答案】B【解析】【分析】A.根据奇偶性的定义判断奇偶性，根据的图象判断单调性.B.根据奇偶性的定义判断奇偶性,根据的图象判断单调性.C.根据奇偶性的定义判断奇偶性，根据的图象判断单调性。D。根据奇偶性的定义判断奇偶性，根据的图象判断单调性。【详解】因为，所以是偶函数，又因为在(0，+∞)上单调递增，故A错误。因为，所以是偶函数，又因为，在（0，+∞)上单调递减,故B正确.因为,所以是偶函数，又因为在（0,+∞）上单调递增，故C错误。因为，所以是偶函数，又因为在(0,+∞）上不单调,故D错误.故选;D【点睛】本题主要考查函数单调性和奇偶性和基本函数的图象和性质，属于基础题。8。若并且（)A. B. C. D。【答案】C【解析】∵α、β均为锐角且α＜β,∴＜α—β＜0，∵cos（α—β）=，∴sin（α—β）=∵cos2α=，α为锐角∴sin2α=，∴cos（α+β)=cos［2α-（α—β)］=cos

2αcos（α—β)+sin

2αsin

（α-β）=,∵α+β∈（0,π），∴α+β=．本题选择C选项.9.下列给出的关系式中正确的是()A。 B。若∥,∥，则∥C.∥⇒在上的投影为|｜ D.(）•()=0【答案】D【解析】【分析】A.根据数量积的运算律判断.B.取判断.C.根据∥时，夹角为或判断.D.由数量积的运算判断.【详解】A。由数量积的运算律得，故A错误.B.当时，不成立。故B错误.C。当∥时，夹角为或，所以在上的投影为故C错误.D。由数量积的运算得()•（）=，故D正确。故选：D【点睛】本题主要考查平面向量数量积的运算律,投影及基本运算,属于基础题.10。幂函数，当取不同的正数时,在区间上它们的图像是一组美丽的曲线(如图）,设点，连结,线段恰好被其中的两个幂函数的图像三等分，即有，那么(）A.0 B。1 C。 D。2【答案】A【解析】【分析】先根据题意结合图形分别确定的坐标，然后分别代入中求得的值，最后再求出的值，即可得出答案．【详解】因为，点，所以分别代入中,所以故选A．【点睛】本题考查了指数函数的性质以及指数与对数的转化，考查了数形结合思想，考查了对数的计算法则，考查了计算能力与推理能力,是基础题．11.将函数和直线g(x）=x﹣1的所有交点从左到右依次记为A1,A2,A3,An…，若P点坐标为（0，1），则()A。 B. C。 D。0【答案】A【解析】【分析】在同一坐标系中作出和g（x)=x﹣1的图象，所有交点从左到右依次记为A1,A2，A3,A4，A5，根据为的一个对称点，得到关于对称，关于对称,再用中点坐标公式得到求解.【详解】在同一坐标系中作出和g(x)=x﹣1的图象，如图所示:所有交点从左到右依次记为A1,A2，A3，A4,A5，因为是的一个对称点,所以关于对称,关于对称，所以，所以，因为，所以.故选：A【点睛】本题主要考查了函数的图象和平面向量的运算,还考查了数形结合的思想方法，属于中档题。12.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著,以其命名的函数被称为狄利克雷函数，其中R为实数集,Q为有理数集，以下命题正确的个数是（)下面给出关于狄利克雷函数f（x）的五个结论：①对于任意的x∈R，都有f(f（x）)=1;②函数f(x）偶函数；③函数f（x）的值域是｛0,1}；④若T≠0且T为有理数，则f（x+T)=f(x）对任意的x∈R恒成立；⑤在f（x）图象上存在不同的三个点A,B,C,使得△ABC为等边角形。A。2 B.3 C。4 D.5【答案】D【解析】【分析】①分，两种情况从内到外，利用求值判断。②分，两种情况,利用奇偶性定义判断.③当时，；当时，判断.④分,两种情况，利用周期函数的定义判断.⑤取，判断.【详解】①当时，,则;当时，，则，所以对于任意的x∈R，都有f(f（x)）=1;故正确。②当时，，；当时，，，所以函数f(x)偶函数;故正确。③当时,；当时，，所以函数f(x)的值域是｛0，1｝;故正确。④当时,因为T≠0且T为有理数，所以，则f（x+T)=1=f(x）；当时，因为T≠0且T为有理数,所以，则f(x+T）=0=f(x)，所以对任意的x∈R恒成立;故正确.⑤取,构成以为边长的等边三角形，故正确。故选：D【点睛】本题主要考查了函数新定义问题和函数的基本性质，还考查了理解辨析的能力，属于中档题。二､填空题：（每小题5分，共20分)13。已知向量（﹣2，3),(x,1）,若⊥,则实数x的值是_____.【答案】【解析】【分析】已知向量（﹣2，3），（x，1）,根据⊥,利用数量积的坐标运算求解。【详解】已知向量(﹣2,3)，（x，1),因为⊥，所以解得故答案为：【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积运算，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.14.计算_____。【答案】【解析】【分析】根据指数、对数的运算法则和性质求解.【详解】，,.故答案为：【点睛】本题主要考查了对数,指数的运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题。15.已知,若不等式对任意的恒成立，则整数的最小值为______________．【答案】【解析】因为函数为单调递增函数，且，所以不等式对任意的恒成立，等价于对任意的恒成立，设，则，当时，；当时的最小值为1.16.如图所示，矩形ABCD的边AB=2,AD=1,以点C为圆心,CB为半径的圆与CD交于点E,若点P是圆弧(含端点B､E)上的一点，则的取值范围是_____.【答案】【解析】【分析】以点C为原点,以直线EC为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，A(﹣2,﹣1)，B(0，﹣1），设P（cosθ,sinθ），,，再利用数量积的坐标运算得，然后利用三角函数的性质求解.【详解】如图所示：以点C为原点，以直线EC为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则：A（﹣2，﹣1),B（0，﹣1)，设P(cosθ，sinθ)，()，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴的取值范围是.故答案为:【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积运算以及三角函数的性质，还考查了运算求解的能力,属于中档题。三､解答题：（共70分）17.已知非零向量满足,且。(1)求;（2）当时,求和向量与的夹角的值.【答案】（1);（2)1，。【解析】【分析】(1)根据,得到，再将代入求解.(2）利用求向量模的公式求解；利用向量的夹角公式，求的值.【详解】（1）∵,且,∴，则，∴;（2），∴;∴，∵0≤θ≤π，∴.【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积综合运算及其应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题。18。已知函数。(1)求函数f(x）的最小正周期和单调递减区间;（2)求函数f（x）的最大值及取得最大值时x的取值集合.【答案】(1)最小正周期Tπ，单调递减区间为［,］，(k∈Z).(2)最大值为，x的取值集合为：{x｜x,k∈Z｝.【解析】【分析】(1)将，利用两角和与差的正弦公式转化为：sin(2x)，再利用正弦函数的性质求解.(2）利用正弦函数的性质，当，k∈Z时,函数f(x）取得最大值求解。【详解】(1)∵函数=2（sinxcoscosxsin）cosx﹣1=2sinxcosx+2cos2x﹣1=sin2x+cos2xsin（2x），∴函数f（x)的最小正周期Tπ，由2k，k∈Z，解得函数f(x)的单调递减区间为[，］,(k∈Z）.（2）∵f(x)，∴函数f（x）的最大值为，取得最大值时x的取值集合满足:,k∈Z.解得x,k∈Z。∴函数f（x)取得最大值时x的取值集合为:{x|x，k∈Z｝.【点睛】本题主要考查了两角和与差的三角函数和三角函数的性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.19.已知向量且函数,若函数f（x)的图象上两个相邻的对称轴距离为。（1）求函数f（x)的解析式;（2）将函数y=f(x)的图象向左平移个单位后，得到函数y=g（x）的图象，求函数g（x）的表达式并其对称轴;（3）若方程f(x)=m(m〉0）在时，有两个不同实数根x1，x2，求实数m的取值范围,并求出x1+x2的值.【答案】（1)；（2），对称轴为;(3)，,。【解析】【分析】（1)根据向量和函数，利用数量积结合倍角公式和辅助角法得到，，再根据函数f（x)的图象上两个相邻的对称轴距离为求解.（2）依据左加右减，将函数y=f(x）的图象向左平移个单位后，得到函数，令求其对称轴.(3）作出函数f（x）在上图象，根据函数y=f（x)与直线y=m在上有两个交点求解.再令，求对称轴。【详解】(1），∵函数f(x)的图象上两个相邻的对称轴距离为，∴，∴，∴ω=1,故函数f（x）的解析式为;(2)依题意，，令，则，∴函数g(x)的对称轴为；(3)∵,∴，∴，函数f(x）在上的草图如下，依题意,函数y=f(x）与直线y=m在上有两个交点,则，令，则，∴函数f(x）在上的对称轴为，则.【点睛】本题主要考查了平面向量和三角函数，三角函数的图象和性质及其应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.20。已知幂函数在上单调递增，又函数。（1）求实数的值,并说明函数的单调性；(2）若不等式恒成立，求实数的取值范围。【答案】（1)见解析；（2）【解析】【分析】（1）由f(x）是幂函数，得到m2﹣m﹣1＝1，再由f（x）在（0，+∞）上单调递增,得到﹣2m﹣1＞0,从而求出m＝﹣1，进而g（x）,由此能求出函数g（x）在R上单调递增；(2）由g（﹣x)＝2﹣x（）＝﹣g（x）,得到g（x）是奇函数,从而不等式g（1﹣3t）+g（1+t）≥0可变为g（1﹣3t）≥﹣g（1+t）＝g(﹣1﹣t），由此能求出实数t的取值范围．【详解】（1）因为是幂函数，所以，解得或,又因为在上单调递增，所以,即，即,则，因为与均在上单调递增，所以函数在上单调递增.（2）因为，所以是奇函数，所以不等式可变为，由(1)知在上单调递增,所以，解得。【点睛】本题考查实数值的求法，考查函数的单调性的判断，考查实数的取值范围的求法，考查幂函数的性质等基础知识,考查运算求解能力，是基础题．21.如图一块长方形区域ABCD，AD=2(km),AB=1（km)。在边AD的中点O处，有一个可转动的探照灯,其照射角∠EOF始终为,设∠AOE=,探照灯O照射在长方形ABCD内部区域的面积为S.（1）当0≤时,写出S关于的函数表达式；（2）若探照灯每9分钟旋转“一个来回”（OE自OA转到OC,再回到OA，称“一个来回”，忽略OE在OA及OC反向旋转时所用时间),且转动的角速度大小一定,设AB边上有一点G，且∠AOG，求点G在“一个来回"中,被照到的时间.【答案】(1）,S（2)2分钟【解析】分析】(1）根据AD=2，AB=1，0≤，确定点E,F的位置，分0≤，，两种情况，利用三角形面积公式求解.(2)先得到“一个来回”中，OE共转了2，其中点G被照到时,共转了2，再利用角度关系求解.【详解】如图所示:（1）过O作OH⊥BC,H为垂足.①当0≤时,E边AB上，F在线段BH上(如图①），此时，AE=tan，FH=tan（），∴S=S正方形OABH﹣S△OAE﹣S△OHF=1tantan(）。②当时,E在线段BH上，F在线段CH上（如图②）,此时，EH,FH，可得EF。∴S=S△OEF（)。综上所述，S（2）在“一个来回”中，OE共转了2，其中点G被照到时，共转了2∴在“一个来回”中,点G被照到的时间为92（分钟）.【点睛】本题主要考查了三角函数再平面几何中的应用,还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.22.对数函数g（x)=1ogax（a＞0，a≠1）和指数函数f（x)=ax（a＞0，a≠1）互为反函数．已知函数f（x)=3x，其反函数为y=g（x）．（Ⅰ)若函数g(kx2+2x+1）的定义域为R,求实数k的取值范围；（Ⅱ）若0＜x1＜x2且|g(x1)|=｜g（x2）|,求4x1+x2的最小值；（Ⅲ）定义在I上的函数F（x），如果满足：对任意x∈I，总存在常数M＞0，都有-M≤F（x）≤M成立，则称函数F（x)是I上的有界函数，其中M为函数F（x)的上界．若函数h（x）=，当m≠0时，探求函数h（x）在x∈[0,1］上是否存在上界M，若存在,求出M的取值范围，若不存在,请说明理由．【答案】(Ⅰ)k＞1；（Ⅱ)4；（Ⅲ）见解析【解析】【分析】（Ⅰ）因为g(x)=1ogax与f(x）=3x，互为反函数，所以a=3，得g（kx2+2x+1）=log3(kx2+2x+1)的定义域为R，所以kx2+2x+1＞0恒成立，可求解k的范围；（Ⅱ)由|g（x1）｜=｜g（x2）｜，得｜log3x1｜=｜log3x2｜,分析化简得x1x2=1，4x1+x2=4x1+,利用双勾函数求其最值；（Ⅲ）由h（x）==－1+,分m＞0和m＜0分别求出h（x）的取值范围，然后讨论其上下界.【详解】（Ⅰ)由题意得g(x)=log3x，因为g（kx2+2x+1）=log3（kx2+2x+1）的定义域为R，所以kx2+2x+1＞0恒成立，当k=0时不满足条件，当k≠0时，若不等式恒成立，则，即,解得k＞1；(Ⅱ）由｜