李子奈计量经济学配套一元线性回归参数估计

会计学1李子奈计量经济学配套一元线性回归参数估计单方程计量经济学模型分为两大类：

线性模型和非线性模型线性模型中，变量之间的关系呈线性关系非线性模型中，变量之间的关系呈非线性关系

一元线性回归模型：只有一个解释变量

i=1,2,…,nY为被解释变量，X为解释变量，0与1为待估参数，为随机干扰项第1页/共29页

回归分析的主要目的是要通过样本回归函数（模型）SRF尽可能准确地估计总体回归函数（模型）PRF。

估计方法有多种，其种最广泛使用的是普通最小二乘法（ordinaryleastsquares,OLS）。

为保证参数估计量具有良好的性质，通常对模型提出若干基本假设。

注：实际这些假设与所采用的估计方法紧密相关。

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一、线性回归模型的基本假设

假设1、解释变量X是确定性变量，不是随机变量；

假设2、随机误差项具有零均值、同方差和不序列相关性：

E(i)=0i=1,2,…,nVar(i)=2i=1,2,…,nCov(i,j)=0i≠ji,j=1,2,…,n

假设3、随机误差项与解释变量X之间不相关：

Cov(Xi,i)=0i=1,2,…,n

假设4、服从零均值、同方差、零协方差的正态分布i~N(0,2)i=1,2,…,n第3页/共29页1、如果假设1、2满足，则假设3也满足;

2、如果假设4满足，则假设2也满足。注意：

以上假设也称为线性回归模型的经典假设或高斯（Gauss）假设，满足该假设的线性回归模型，也称为经典线性回归模型（ClassicalLinearRegressionModel,CLRM）。

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另外，在进行模型回归时，还有两个暗含的假设：

假设5：随着样本容量的无限增加，解释变量X的样本方差趋于一有限常数。即

假设6：回归模型是正确设定的

假设5旨在排除时间序列数据出现持续上升或下降的变量作为解释变量，因为这类数据不仅使大样本统计推断变得无效，而且往往产生所谓的伪回归问题（spuriousregressionproblem）。假设6也被称为模型没有设定偏误（specificationerror）第5页/共29页二、参数的普通最小二乘估计（OLS）

给定一组样本观测值（Xi,Yi）（i=1,2,…n）要求样本回归函数尽可能好地拟合这组值.

普通最小二乘法（Ordinaryleastsquares,OLS）给出的判断标准是：二者之差的平方和最小。第6页/共29页方程组（*）称为正规方程组（normalequations）。

第7页/共29页记上述参数估计量可以写成：

称为OLS估计量的离差形式（deviationform）。由于参数的估计结果是通过最小二乘法得到的，故称为普通最小二乘估计量（ordinaryleastsquaresestimators）。

第8页/共29页顺便指出，记则有

可得

（**）式也称为样本回归函数的离差形式。（**）注意：在计量经济学中，往往以小写字母表示对均值的离差。

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三、参数估计的最大或然法(ML)

最大或然法(MaximumLikelihood,简称ML)，也称最大似然法，是不同于最小二乘法的另一种参数估计方法，是从最大或然原理出发发展起来的其它估计方法的基础。

基本原理：对于最大或然法，当从模型总体随机抽取n组样本观测值后，最合理的参数估计量应该使得从模型中抽取该n组样本观测值的概率最大。第10页/共29页在满足基本假设条件下，对一元线性回归模型：

随机抽取n组样本观测值（Xi,Yi）（i=1,2,…n）。

那么Yi服从如下的正态分布：于是，Y的概率密度函数为（i=1,2,…n）

假如模型的参数估计量已经求得，为第11页/共29页因为Yi是相互独立的，所以的所有样本观测值的联合概率，也即或然函数(likelihoodfunction)为：

将该或然函数极大化，即可求得到模型参数的极大或然估计量。第12页/共29页

由于或然函数的极大化与或然函数的对数的极大化是等价的，所以，取对数或然函数如下：第13页/共29页解得模型的参数估计量为：

可见，在满足一系列基本假设的情况下，模型结构参数的最大或然估计量与普通最小二乘估计量是相同的。第14页/共29页

例2.2.1：在上述家庭可支配收入-消费支出例中，对于所抽出的一组样本数，参数估计的计算可通过下面的表2.2.1进行。

第15页/共29页因此，由该样本估计的回归方程为：

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四、最小二乘估计量的性质

当模型参数估计出后，需考虑参数估计值的精度，即是否能代表总体参数的真值，或者说需考察参数估计量的统计性质。

一个用于考察总体的估计量，可从如下几个方面考察其优劣性：

（1）线性性，即它是否是另一随机变量的线性函数；

（2）无偏性，即它的均值或期望值是否等于总体的真实值；

（3）有效性，即它是否在所有线性无偏估计量中具有最小方差。第17页/共29页（4）渐近无偏性，即样本容量趋于无穷大时，是否它的均值序列趋于总体真值；（5）一致性，即样本容量趋于无穷大时，它是否依概率收敛于总体的真值；（6）渐近有效性，即样本容量趋于无穷大时，是否它在所有的一致估计量中具有最小的渐近方差。

这三个准则也称作估计量的小样本性质。拥有这类性质的估计量称为最佳线性无偏估计量（bestlinerunbiasedestimator,BLUE）。

当不满足小样本性质时，需进一步考察估计量的大样本或渐近性质：第18页/共29页高斯—马尔可夫定理(Gauss-Markovtheorem)

在给定经典线性回归的假定下，最小二乘估计量是具有最小方差的线性无偏估计量。第19页/共29页证：易知故同样地，容易得出

第20页/共29页第21页/共29页（2）证明最小方差性其中，ci=ki+di，di为不全为零的常数则容易证明

普通最小二乘估计量（ordinaryleastSquaresEstimators）称为最佳线性无偏估计量（bestlinearunbiasedestimator,BLUE）

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由于最小二乘估计量拥有一个“好”的估计量所应具备的小样本特性，它自然也拥有大样本特性。

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五、参数估计量的概率分布及随机干扰项方差的估计

第24页/共29页第25页/共29页2、随机误差项的方差2的估计

由于随机项i不可观测，只