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文档简介
2023年山西省吕梁市普通高校对口单招高等数学一自考测试卷(含答案)学校:________班级:________姓名:________考号:________
一、单选题(20题)1.设x=1为y=x3-ax的极小值点,则a等于().
A.3
B.
C.1
D.1/3
2.
3.设在点x=1处连续,则a等于()。A.-1B.0C.1D.2
4.平面π1:x-2y+3x+1=0,π2:2x+y+2=0的位置关系为()A.垂直B.斜交C.平行不重合D.重合
5.
6.A.2B.1C.1/2D.-2
7.
8.
9.A.A.
B.
C.
D.
10.下列关系正确的是()。A.
B.
C.
D.
11.当α<x<b时,f'(x)<0,f'(x)>0。则在区间(α,b)内曲线段y=f(x)的图形A.A.沿x轴正向下降且为凹B.沿x轴正向下降且为凸C.沿x轴正向上升且为凹D.沿x轴正向上升且为凸
12.
13.
14.
15.如图所示两楔形块A、B自重不计,二者接触面光滑,受大小相等、方向相反且沿同一直线的两个力的作用,则()。
A.A平衡,B不平衡B.A不平衡,B平衡C.A、B均不平衡D.A、B均平衡
16.
17.下列结论正确的有A.若xo是f(x)的极值点,则x0一定是f(x)的驻点
B.若xo是f(x)的极值点,且f’(x0)存在,则f’(x)=0
C.若xo是f(x)的驻点,则x0一定是f(xo)的极值点
D.若f(xo),f(x2)分别是f(x)在(a,b)内的极小值与极大值,则必有f(x1)<f(x2)
18.
19.A.A.
B.x2
C.2x
D.2
20.
二、填空题(20题)21.
22.设函数y=x2+sinx,则dy______.
23.
24.
25.
则b__________.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.设y=ex/x,则dy=________。
37.
38.过点M0(2,0,-1)且平行于的直线方程为______.
39.
40.
三、计算题(20题)41.
42.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点.
43.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解.
44.
45.
46.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛,何时条件收敛,何时发散,其中常数a>0.
47.
48.证明:
49.求函数y=x-lnx的单调区间,并求该曲线在点(1,1)处的切线l的方程.
50.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B,在抛物线与x轴所围成的平面区域内,以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示).设梯形上底CD长为2x,面积为
S(x).
(1)写出S(x)的表达式;
(2)求S(x)的最大值.
51.
52.当x一0时f(x)与sin2x是等价无穷小量,则
53.
54.求曲线在点(1,3)处的切线方程.
55.求微分方程的通解.
56.求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值.
57.
58.将f(x)=e-2X展开为x的幂级数.
59.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p,当p=10时,若价格上涨1%,需求量增(减)百分之几?
60.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4,x≥0,y≥0,其面密度
u(x,y)=2+y2,求该薄板的质量m.
四、解答题(10题)61.
62.设有一圆形薄片x2+y2≤α2,在其上一点M(x,y)的面密度与点M到点(0,0)的距离成正比,求分布在此薄片上的物质的质量。
63.求由曲线xy=1及直线y=x,y=2所围图形的面积A。
64.
65.
66.求方程(y-x2y)y'=x的通解.
67.
68.
69.
70.
五、高等数学(0题)71.求y=2x3一9x2+12x+1在[0,3]上的最值。
六、解答题(0题)72.所围成的平面区域。
参考答案
1.A解析:本题考查的知识点为判定极值的必要条件.
由于y=x3-ax,y'=3x2-a,令y'=0,可得
由于x=1为y的极小值点,因此y'|x=1=0,从而知
故应选A.
2.C
3.C本题考查的知识点为函数连续性的概念。
由于y为分段函数,x=1为其分段点。在x=1的两侧f(x)的表达式不同。因此讨论y=f(x)在x=1处的连续性应该利用左连续与右连续的概念。由于
当x=1为y=f(x)的连续点时,应有存在,从而有,即
a+1=2。
可得:a=1,因此选C。
4.A本题考查的知识点为两平面的位置关系。两平面的关系可由平面的法向量n1,n2间的关系确定。若n1⊥n2,则两平面必定垂直。若n1//n2,则两平面平行,其中当时,两平面平行,但不重合。当时,两平面重合。若n1与n2既不垂直,也不平行,则两平面斜交。由于n1={1,-2,3},n2={2,1,0),n1,n2=0,可知,n1⊥n2,因此π1⊥π2,故选A。
5.C
6.A本题考查了等价无穷小的代换的知识点。
7.C解析:
8.A
9.D
10.B由不定积分的性质可知,故选B.
11.A由于在(α,b)内f'(x)<0,可知f(x)单调减少。由于f"(x)>0,
可知曲线y=f'(x)在(α,b)内为凹,因此选A。
12.B
13.C
14.A解析:
15.C
16.C
17.B
18.B解析:
19.D本题考查的知识点为原函数的概念.
可知应选D.
20.D
21.11解析:
22.(2x+cosx)dx;本题考查的知识点为微分运算.
解法1利用dy=y'dx.由于y'=(x2+sinx)'=2x+cosx,
可知dy=(2x+cosx)dx.
解法2利用微分运算法则dy=d(x2+sinx)=dx2+dsinx=(2x+cosx)dx.
23.
本题考查的知识点为二元函数的偏导数.
24.4x3y
25.所以b=2。所以b=2。
26.
27.
28.
29.
30.2
31.
32.1/61/6解析:
33.
34.
本题考查的知识点为初等函数的求导运算.
本题需利用导数的四则运算法则求解.
本题中常见的错误有
这是由于误将sin2认作sinx,事实上sin2为-个常数,而常数的导数为0,即
请考生注意,不论以什么函数形式出现,只要是常数,它的导数必定为0.
35.
本题考查的知识点为直线的方程和直线与直线的关系.
由于两条直线平行的充分必要条件为它们的方向向量平行,因此可取所求直线的方向向量为(2,1,-1).由直线的点向式方程可知所求直线方程为
36.
37.e;本题考查的知识点为极限的运算.
注意:可以变形,化为形式的极限.但所给极限通常可以先变形:
38.
39.
40.(03)(0,3)解析:
41.
42.
列表:
说明
43.解:原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0,
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.由一阶线性微分方程通解公式有
52.由等价无穷小量的定义可知
53.
则
54.曲线方程为,点(1,3)在曲线上.
因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0.
如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在,则表明曲线y=f(x)在点
(x0,fx0))处存在切线,且切线的斜率为f′(x0).切线方程为
55.
56.函数的定义域为
注意
57.
58.
59.需求规律为Q=100ep-2.25p
∴当P=10时价格上涨1%需求量减少2.5%需求规律为Q=100ep-2.25p,
∴当P=10时,价格上涨1%需求量减少2.5%
60.由二重积分物理意义知
61.
62.
63.
64.
65.
66.
67.
68.
69.
70.
71.y=2x3一9x2+12x+1;y"=6x2一18x+12=0;驻点
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