初高中数学衔接读本本校本教材

初高中数学衔接读本前言各位新同学，欢迎来到一中，你们将在这里度过紧张而愉快的三年。数学是一门重要的课程，其地位不容置疑，同学们在初中已经学过很多数学知识，这是远远不够的，而且现有初高中数学知识存在以下“脱节”：1．立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用。2．因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解，对系数不为“1”的涉及不多，而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求，但高中教材许多化简求值都要用到，如解方程、不等式等。3．二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧。4．初中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值，研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。5．二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系（韦达定理）在初中不作要求，此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容，高中教材却未安排专门的讲授。6．图像的对称、平移变换，初中只作简单介绍，而在高中讲授函数后，对其图像的上、下；左、右平移，两个函数关于原点，轴、直线的对称问题必须掌握。7．含有参数的函数、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研究，而高中这部分内容视为重难点。方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。8．几何部分很多概念（如重心、垂心、外心、内心等）和定理（如平行线分线段比例定理，射影定理，相交弦定理、角平分线定理等）初中生大都没有学习，而高中都要涉及。另外，像配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化，不利于高中知识的讲授。有鉴于此，特编写该读本，供教学之用，希望认真学习。目录数与式的运算绝对值乘法公式二次根式1.1.4分式分解因式一元二次方程根的判别式根与系数的关系（韦达定理）2．2二次函数2.2.1二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质二次函数的三种表示方式二次函数的简单应用方程与不等式二元二次方程组解法一元二次不等式解法3．1相似形3.1.1．平行线分线段成比例定理相似形三角形三角形的“四心”几种特殊的三角形3．3圆直线与圆，圆与圆的位置关系圆幂定理及其应用1.1数与式的运算1・1・1■绝对值绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即a,a>0,a1=<0,a=0,-a,a<0.绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．两个数的差的绝对值的几何意义：a-b表示在数轴上，数a和数b之间的距离.例1解不等式：|x-1|+|x-3>4.解军法一:由x—1=0，得x=1；由x—3=0，得x=3；右x<1，不等式可变为—(x—1)—(x—3)>4,即一2x+4>4,解得xV0,又xV1，・°・xV0；右1Wx<2，不等式可变为(x—1)—(x—3)>4，即1>4，・不存在满足条件的x；若x>3，不等式可变为(x—1)+(x—3)>4，即2x—4>4，解得x>4.又x〉3・x>4.Ix—3I综上所述，原不等式的解为TOC\o"1-5"\h\zPCABDxV0，或x>4.x0134x解法二：如图1.1一1，|x—1|表示x轴7Ix—1I上坐标为x的点P到坐标为1的点A之间图1-1—1的距离IPAI，即IP4I=Ix—1I；Ix—3I表示x轴上点P到坐标为3的点B之间的距离IPBI,即IPBI=Ix—3I.所以，不等式|x—1+|x—3>4的几何意义即为IPAI＋IPBI>4.由IABI=2，可知

点P在点C(坐标为0)的左侧、或点P在点D(坐标为4)的右侧.xVO,或x>4.练习填空：若|x|=5，贝Vx=；若|x|=|一4|，贝Vx=.如果|a|+b=5，且a=-1，则b=;若|1一C=2，则2．选择题：下列叙述正确的是()(A)若|a=b，则a=b(B)若|a>b，则a>b(C)若a<b，则|a<|b|(D)若|a=|b|，则a=±b3.化简:Ix-5I-I2x-131(x>5).1.1.2.乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：平方差公式(a+b)(a-b)=a2一b2；(2)完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2.我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：立方和公式立方差公式三数和平方公式两数和立方公式两数差立方公式(a+b)(a2一ab+b2)=a3立方和公式立方差公式三数和平方公式两数和立方公式两数差立方公式(a一b)(a2+ab+b2)=a3一b3；(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+be+ac)；(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3；(a一b)3=a3一3a2b+3ab2一b3.对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明.例1计算：(x+1)(x一1)(x2一x+1)(x2+x+1).解法—:原式=(x2-1)[(x2+1)2—x2=(x2一1)(x4+x2+1)=x6一1．

解法二：原式=(x+1)(x2-x+1)(x-1)(x2+x+1)=(x3+1)(x3-1)=x6一1.例2已知a+b+c二4，ab+bc+ac二4，求a2+b2+c2的值解：a2+b2+c2=(a+b+c)2—2(ab+bc+ac)=8.练习1.填空(1)a2一b2=(丄b+1a)(9423)；(2)(4m+)2=16m2+4m+()；(3)(a+2b一c)2=a2+4b2+c2+()．选择题：2.⑴若x2+2mx+k是一个完全平方式，则k等于A)m2A)m2C)1m23(D)丄m216不论a不论a,b为何实数,a2+b2一2a一4b+8的值((A)(A)总是正数(B)总是负数(C)(C)可以是零(D)可以是正数也可以是负数1.1.3．二次根式一般地，形如和万(a>0)的代数式叫做二次根式.根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式•例如3a+£a2+b+2b，<a2+b2等是无理式，而v'2x2+—x+1，x2+42xy+y2，V02等是有理式.1．分母(子)有理化把分母(子)中的根号化去，叫做分母(子)有理化.为了进行分母(子)有理化，需要引入有理化因式的概念.两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如空2与€2，3贏与

v；a，爲+76与爲-^6,2払-3远与2、込+3迈,等等.一般地，a五与長,a\x+bpy与aPx-bQy,a^x+b与a^x-b互为有理化因式.分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分子的有理化因式，化去分子中的根号的过程.在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式=丽(a>0,b>0)；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式.二次根式*02的意义aa,a>0,a-a,a<0.例1将下列式子化为最简二次根式：(1)J12b；(2)p'a2b(a>0)；(3)(4x6y(x<0).解：(1)7T2F二2^3b；\；'a2b=问劭=a、；b(a>0)；J4x6y=2x^yy=-2x3羽(x<0).例2计算：朽十(3-冋.解法一：<3十解法一：<3十(3-、曲3-爲再•(3+岛—

(3-再)(3+、③3朽+39-33(訂+1)6

解法二：、迫(3<3)_F"33Q'31)1731Q31)(31)例3V31试比较下列各组数的大小(1)vi2<11和m<10；2(2)：一和20J6.解：(1)解：(1)・・・J迈仃近刁拒<10皿J'10C/12vH)(12.JU)712Q(JiiJ10)(Jii叮'10)X.T110例4解：又砸vi1Ji厂vio,・•・価<11v；TT掘.⑵・・・2抱—62亍6又4>趴26十4>*6+2\；2,•*.v2、：2—订6.(2-;2—/6)(2.;2^6)2^2+76化简：(“3v'2)2004C;3<2)2005(<3<2)2004(J3<2)2005_(抠<2)2004(抠巨)2004(罷<2)_C/3<2)極<2)2004(抠脑22+J6'=12004弟-41)2)x2+—-2(02)x2+—-2(0<x<1).X2例5化简：(1)9-4岳；解：(1)原式=\；5-4J5+4^.■'(<5)2-2x2^5+22=\：；(2-®=2-^5=頁—2.(2)原式=”：(x—)2=x•/0<x<1,所以，原式=--x.x例6已知x=詈2‘y=壽’求3x2一5xy+3y2的值-解：；x+y=^j+黒=（俣②+0、湖=10-xy=^B=1,3+兀2<3-H23x2一5xy+3y2=3(x+y)2一11xy=3xIO2-11=289.练习1．填空：(1)』1+*3右J(5-x)(x-3)2=(x—3)>/5-x，则x的取值氾围是___4姮-6辰+3顷-271^0=；⑷若x今，则yfx+1-Jx-1丰Jx+1+Jx-1

\X+1+x；X—1X+1—、■X⑷若x今，则2．选择题：等式「亠二上成立的条件是()X—2vx—2(A)X丰2(B)x>0(C)X>2(D)0<x<2若b二空2二上匕2，求°+b的值.a+1比较大小：2—.'3-,；'5—■'4(填“〉”，或“V”).1.1.4分式1．分式的意义AAA形如-的式子，若B中含有字母，且B丰0,则称-为分式.当M丸时，分式-BBB具有下列性质：AAxM;~B~BxM，上述性质被称为分式的基本性质．2．繁分式a像工，竺中这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式.c+d2mn+p例1若空土-d+—土，求常数A,B的值.X(X+2)XX+2ABA(X+2)+BX(A+B)X+2A5X+4解牛：・一+———XX+2X(X+2)X(X+2)X(X+2).JA+B—5,…〔2A-4,解得A—2,B—3．例21)试证：1=1-丄(其中n是正整数)n(n+1)nn+12)计算：111++.…+

1x22x39x103)证明：对任意大于1的正整数"，有圭+总詁151)证明：1(n+1)-n1)证明：==nn+1n(n+1)n(n+1)1=1-丄(其中n是正整数)成立.n(n+1)nn+12)解：2)解：由1)可知11++…•+1x22x39x10=(1_丄)+(丄-丄)+•..+(--丄)239103)证明：3)证明：•••£+柑+・・・+1n(n+1)又n>2且n是正整数,1<2・・・农+1<2・11++•—+2x33x4n(n+1)例3例3设e=—，且e〉l,2c2-5ac+2a2=0,求e的值.a解：在2c2—5ac+2a2=0两边同除以a2，得2e2-5e+2=0,/.(2e-1)(e—2)=0,=2v］，1.填空题：对任意的正整数n，2.选择题：舍去；或e=2.n(n+2)n+2);若4=2，则兰=

x+y3y(A)lB)3.正数x,y满足x2—y2=2xy,54

求口的值.x+y4(C)45(D)54.111+...+199x100习题1.1A组1.解不等式：(1)x—1>3；x+3|+x(1)x—1>3；x—1+x+1|>6.2.已知x+y=1，求x3+y3+3xy2.3.3.填空：(1)(2+爲)18(2—朽)19=⑵右(1—a)2+(1+a)2=2，则a的取值氾围是.1=⑶^2^3^3^4+?4^5+?5^6=1.选择题：右甘—a—b—2ab=-J—b—\—a,(A)a<b(A)a<b(B)a>bC)a<b<0D)b<a<0(2)计算aj-1等于

a(A(2)计算aj-1等于

a(A)、】—a(B)Ua2．填空：(C)r—a()(D)—、：a1)3a2一ab3a2+5ab一2b2x2+3xy+y2(2)右x2+xy—2y2=0，贝y—\o"CurrentDocument"x2+y2—!—已知：x—y—1,求丄亠—J的值.23x-、：yx+y解方程2(x2+丄)-3(x+丄)—1—0.\o"CurrentDocument"x2x5．计算：1+1X311+——2x43x519X11分解因式因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．1．十字相乘法例1分解因式：(1)x2－3x＋2；(2)x2＋4x－12；x2—(a+b)xy+aby2；(4)xy—1+x—y．解：(1)如图1.2—1,将二次项x2分解成图中的两个x的积，再将常数项2分解成一1与一2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为一3x,就是x2—3x+2中的一次项，所以，有x2—3x+2=(x—1)(x—2).—2—26—ay—by图1.2——2—26—ay—by图1.2—1图1.2—2图1.2—3图1.2—4说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1.2—1中的两个x用1来表示(如图1.2—2所示).•(e+zk)(e+k)h(e+k)e+(e+k)zkh(6+KE)+(zKE+gK)HKE+zKE+6+gK(I),+K寸—Zi—O+ZKZ(e)』——ei®•(底也®呂)(I+e(I——乂)NI——(i——K)+OHi—K+I—o(寸)3qIK)(ib—K)HBqb+xk(q+b)—ZKe4——e.IKffi(E)•(9+申+2eKffi(e)isfrlCMCM•(K—K)(乂—乂^采顒@冋辗(0卄3+kq+

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9—(i「—K寸)—(i+K)(i—Ke)H9—(5—寸)—(e—i+ez)n9—+寸—ei—ZCV+ez

•(E—i+K)(e+i—Ke)H(Eli)(z—i)—K(寸—i)+zKZH

9li」+Zi—K(寸—i)+zKZH9—i」+K寸—zi—a+ZKZ(e)•(e+zk)(e+k)hla+zx(i+h)—z(i+h)=z+(i+k)」h&+g(-+H)H一中校本课程一中校本课程22．分解因式：(1)x2＋6x＋8；(3)x2－2x－1；1．分解因式：(1)a3+1；(3)b2+c2+2ab+2ac+2bc；2．在实数范围内因式分解：(1)x2-5x+3；(3)3x2+4xy-y2；(2)x2+4xy一4y2.解：(1)令x2+2x-1=0,则解得x=-1+*2,x=-1-畧2,12x-(-1-春'2)]••x2+2x—1=x-(-1-春'2)]=(x+1-冷'2)(x+1+迈)•

(2)令x2+4xy-4y2=0,贝V解得x=(-2+2迄y,x=(-2-2j2)y,11x2+4xy-4y2=[x+2(1-y2)y][x+2(1+x/2)y].练习1．选择题：多项式2x2-xy-15y2的一个因式为()2x-5y(B)x-3y(C)x+3y(D)x-5y(2)8a3－b3；(4)4(x-y+1)+y(y-2x)．习题1.2(2)4x4-13x2+9；3x2+5xy-2y2+x+9y-4(2)x2—2\2x—3；(4)(x2-2x)2-7(x2-2x)+12．3.AABC三边a,b,c满足a2+b2+c2=ab+bc+ca，试判定AABC的形状.4•分解因式：x2+x—(a2—a).2.1一元二次方程

2.1.1根的判别式我们知道，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a#0),用配方法可以将其变形为(X(X+—)2=2ab2-4ac4a2因为a主0,所以，4a2>0.于是当b2-4ac>0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根-b土*b2一4acx12—1,22a当b2-4ac—0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根—x—x2—b2ab(3)当b2-4ac<0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边(x+—)2一2a定大于或等于零，因此，原方程没有实数根.由此可知，一元二次方程ax2+bx+c—0(a#0)的根的情况可以由b2-4ac来判定，我们把b2—4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c—0(a主0)的根的判别式，通常用符号“A”来表示.综上所述，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a#0),有当A>0时，方程有两个不相等的实数根-b±\；'b2一4acx12—1,22a当A=0时，方程有两个相等的实数根bx1一x2一——；122a当AV0时，方程没有实数根.例1判定下列关于x的方程的根的情况(其中a为常数)，如果方程有实数根,写出方程的实数根.2)x2-ax-1一0；(4)2)x2-ax-1一0；(4)x2—2x+a一0.3)x2-ax+(a-1)一0；

解：(1)・・・A=32—4xlx3=—3V0,・・・方程没有实数根.该方程的根的判别式A=a2—4x1x(—1)=a2+4>0,所以方程一定有两个不等的实数根a+*；a2+4a—\a2+4x二-，x二1222由于该方程的根的判别式为A=a2—4x1x(a—1)=a2—4a+4=(a—2)2,所以,当a=2时，A=0,所以方程有两个相等的实数根1；当a扯时，A>0,所以方程有两个不相等的实数根X]X]=1,兀2=a1・3)由于该方程的根的判别式为A=22—4x1xa=4—4a=4(1—a),所以①当A>0,即4(1—a)>0,即aV1时，方程有两个不相等的实数根x—1+、：1—a,x—1—*1—a；12②当A=0,即a=1时，方程有两个相等的实数根1；当AVO,即a>1时，方程没有实数根.说明：在第3,4小题中，方程的根的判别式的符号随着a的取值的变化而变化,于是,在解题过程中,需要对a的取值情况进行讨论,这一方法叫做分类讨论・分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法,在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题・根与系数的关系(韦达定理)若一元二次方程ax2+bx+c=0(a#0)有两个实数根

则有-b+\；'b2一4ac-b一审b2一4ac则有-b+\；'b2一4ac-b一审b2一4acx+xxx所以，2a2a-b7'b2一仏+-b一%2一4ac-2b2a2a2a-b+、】b2-4ac-b-\b2-4acb2-(b2-4ac)4ac2a2a次方程的根与系数之间存在下列关系：如果OT2+加+c=O（Q#0的两根分别是X],X2,那么X]+x2=--,XfX2=—・这aa一关系也被称为韦达定理・特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x2+px+q=0,若X],x2是其两根,由韦达定理可知x1x1+x2=－p,X]・X2=q,艮卩p=一（兀]+兀2）,q=X]・兀2，所以，方程X2+px+q=0可化为X2—（x]+x2）x+x]^X2=0,由于X],X2是一元二次方程x2+px+q=0的两根，所以，X],x2也是一元二次方程x2—（x]+x2）x+x]^x2=0・因此有以两个数X],x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是X2—（X]+X2）X+X]・X2=0・例2已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2,求它的另一个根及k的值.分析：由于已知了方程的一个根,可以直接将这一根代入,求出k的值,再由方程解出另一个根・但由于我们学习了韦达定理,又可以利用韦达定理来解题,即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项,于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出k的值.解法一：T2是方程的一个根，.*.5x22+kx2—6=0,・*.k=—7.3所以，方程就为5x2—7x—6=0,解得X[=2,X2=—-.]253所以，方程的另一个根为一-，k的值为一7.5解法二：设方程的另一个根为X],贝V2x1=^^,^x=-.11515-k由（一一）+2=—一，得k=—7.55-所以，方程的另一个根为一-，k的值为一7.5例3已知关于x的方程x2+2（m—2）x+m2+4=0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21,求m的值.分析：本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大21得到关于m的方程，从而解得m的值．但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此，其根的判别式应大于零．解：设X],x2是方程的两根，由韦达定理，得兀]+兀2=一2（m2），X]・X2―m2+4.•X]2+x22一X]・X2=21，（兀]+兀2）2—3X]・X2=21，即[一2（m一2）]2一3（m2+4）=21，化简，得m2一16m一17=0，解得m=—1，或m=17.当m=一1时，方程为x2+6x+5=0，A>0，满足题意；当m=17时，方程为x2+30x+293=0,A=302—4x1x293VO,不合题意，舍去.综上，m=17．说明：（1）在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的m的范围，然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大21”求出m的值，取满足条件的m的值即可.（2）在今后的解题过程中，如果仅仅由韦达定理解题时，还要考虑到根的判别式A是否大于或大于零.例4已知两个数的和为4，积为一12，求这两个数．分析：我们可以设出这两个数分别为x,y,利用二元方程求解出这两个数.也

可以利用韦达定理转化出一元二次方程来求解．解法一：设这两个数分别是x，y，贝Vx+y=4,①xy=—12.②由①，得y=4—x,代入②，得x(4—x)=—12,即x2—4x—12=0,••X]=—2,x?―6..[x=—2,[x=6,••「6,叫；712因此,这两个数是—2和6．解法二：由韦达定理可知,这两个数是方程x2—4x—12=0的两个根．解这个方程,得x1=—2,x2=6．所以,这两个数是—2和6．说明：从上面的两种解法我们不难发现,解法二(直接利用韦达定理来解题)要比解法一简捷．例5若x]和x2分别是一元二次方程2x2+5x—3=0的两根.求IX1—X2I的值；11求丄+丄的值；x2x212x13+x23．解：TX]和x2分别是一元二次方程2x2+5x—3=0的两根，53・・X+X=一—,XX=-.1221221）•I1）•IX]—兀212=兀]2+X?2—2X]X?=（X]+X?）2—4X]X?=（一|）2一44一中校本课程一中校本课程一中校本课程37一中校本课程37=25+6二492)11X22)11X2+x2+=2X2X2X2-X21212(X+X)2-2XX121

(XX)21253(-2)2-22(-2)25+3(-2)2(3)X13+x23=(X1+x2)(X12—X1X2+X22)=(X1+X2)[(X]+x2)2—3X]X2]TOC\o"1-5"\h\z553215\o"CurrentDocument"=(—)x[(—)2—3x(-)]=—•\o"CurrentDocument"2228说明：一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：设X1和X2分别是次方程aX2+bX+c=0(a主0),则-b+、；b2一4ac-b-、；b2一4ac-b+Jb2-4ac-b-Jb2一4ac2xjb2-4ac2a2a2a2a2a2\：b2-4acv'AIX]—X2I=|a||a||a|于是有下面的结论：若x1和x2分别是一元二次方程ax2+〃x+c=0(a#0),则x1—x2i=-(其中AIaI=b2—4ac)．今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论．例6若关于X的一元二次方程X2—X+a—4=0的一根大于零、另一根小于零求实数a的取值范围.解：设X],x2是方程的两根，则TOC\o"1-5"\h\zX]X2=a—4V0,①且A=(—1)2—4(a—4)>0.②由①得aV4,17由②得aV_4-:・a的取值范围是aV4.练习1．选择题：TOC\o"1-5"\h\z方程x2-2p3kx+3k2=0的根的情况是()(A)有一个实数根(B)有两个不相等的实数根(C)有两个相等的实数根(D)没有实数根若关于x的方程mx2+(2m+l)x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是()(A)mV(B)m>—丄44(C)mV—，且m主0(D)m>——，且m主0442．填空:——若方程x2—3x—1=0的两根分别是x—和x2，则一+一=.\o"CurrentDocument"12xx—2方程mx2+x—2m=0(m#0)的根的情况是.以一3和1为根的一元二次方程是.已知Ja2+8a+16+1b-11二0，当k取何值时，方程kx2+ax+b=0有两个不相等的实数根？已知方程x2—3x—1=0的两根为x1和x2，求(x1—3)(x2—3)的值.习题2.1A组1．选择题:已知关于x的方程x2+kx—2=0的一个根是1,则它的另一个根是()(A)—3(B)3(C)—2(D)2(2)下列四个说法：方程x2+2x—7=0的两根之和为一2,两根之积为一7；方程x2—2x+7=0的两根之和为一2,两根之积为7；7方程3x2—7=0的两根之和为0,两根之积为-—；3方程3x2+2x=0的两根之和为一2,两根之积为0.其中正确说法的个数是()(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个(3)关于x的一元二次方程ax2—5x+a2+a=0的一个根是0,则a的值是()(A)0(B)1(C)—1(D)0,或—1填空:TOC\o"1-5"\h\z方程kx2+4x—1=0的两根之和为一2,则k=.方程2x2—x—4=0的两根为a,卩，则a2+p2=.已知关于x的方程x2—ax—3a=0的一个根是一2,则它的另一个根是(4)方程2x2+2x—1=0的两根为兀］和x2，贝山兀］一x2l=.试判定当m取何值时，关于x的一元二次方程m2x2—(2m+l)x+1=0有两个不相等的实数根？有两个相等的实数根？没有实数根？求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x2—7x—l=0各根的相反数.B组1．选择题:已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程2x2—8x+7=0的两根，则这个直角三角形的斜边长等于()TOC\o"1-5"\h\z(A)(B)3(C)6(D)9若“，x2是方程2x2—4x+1=0的两个根，则2+二的值为()12xx213(A)6(B)4(C)3(D)-2如果关于x的方程x2—2(l—m)x+m2=0有两实数根a,卩，则a+p的取值范围为()(A)a+p>2(B)a+p<2(C)a+p>1(D)a+p<1(4)已知a,b,c是AABC的二边长，那么方程cx2+(a+b)x+4=0的根的情况是()(A)没有实数根(B)有两个不相等的实数根(C)有两个相等的实数根(D)有两个异号实数根TOC\o"1-5"\h\z若关于x的方程x2+(ki—1)x+k+1=0的两根互为相反数，则k的值为()(A)1,或－1(B)1(C)－1(D)02．填空:若m,n是方程x2+2005x—1=0的两个实数根,则m2n+mn2—mn的值等于.如果a,b是方程x2+x—1=0的两个实数根，那么代数式a3+a2b+ab2+b3的值是•3．已知关于x的方程x2—kx—2=0．求证：方程有两个不相等的实数根；设方程的两根为x1和x2，如果2(x1+x2)>x1x2，求实数k的取值范围.一元二次方程ax2+bx+c=0(a#0)的两根为x1和x2.求：(1)Ix〔一x2l和"1+“2；122(2)x13+x23．关于x的方程x2+4x+m=0的两根为x1，x2满足Ix1—x2I=2，求实数m的值.已知x1，x2是关于x的一元二次方程4kx2—4kx+k+1=0的两个实数根.3(1)是否存在实数k，使(2x]—x2)(x1—2x2)=—成立？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；求使+■—2的值为整数的实数k的整数值；xx

21若k=—2，九二土，试求九的值.x2若关于x的方程x2+x+a=0的一个大于1、另一根小于1，求实数a的取值范围.2．2二次函数2.2.1二次函数y2.2.1二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质问题1函数y=ax2与y=x2的图象之间存在怎样的关系？为了研究这一问题，我们可以先画出y=2x2,y=-x2,y=—2x2的图象，通过这2些函数图象与函数y=x2的图象之间的关系，推导出函数y=ax2与y=x2的图象之间所存在的关系．先画出函数y先画出函数y=x2,y=2x2的图象.图2.2-2图2.2-2通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二次函数y=ax2（a^0）的图象可以由y=x2的图象各点的纵坐标变为原来的a倍得到•在二次函数y=ar2（a^0）中，二次项系数a决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小.问题2函数y=a（x+h）2+k与y=ax2的图象之间存在怎样的关系？同样地，我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关系.同学们可以作出函数y=2(x+l)2+l与y=2x2的图象(如图2-2所示)，从函数的同学我们不难发现，只要把函数y=2x2的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，就可以得到函数y=2(x+1)2+1的图象•这两个函数图象之间具有“形状相同，位置不同”的特点.类似地，还可以通过画函数y=—3x2，y=—3(x—1)2+1的图象，研究它们图象之间的相互关系．通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二次函数y=a(x+h)2+k(a丹)中，a决定了二次函数图象的开口大小及方向；h决定了二次函数图象的左右平移，而且“h正左移，h负右移”；k决定了二次函数图象的上下平移，而且“k正上移，k负下移”.由上面的结论，我们可以得到研究二次函数y=ax2+bx+c(a#0)的图象的方法：由于y=ax2+bx+c=a(x2+2x)+c=a(x2+2x+)+c—TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"aa4a24a/b、b2-4ac=a(x+)2+\o"CurrentDocument"2a4a所以，y=ax2+bx+c(a#0)的图象可以看作是将函数y=ax2的图象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函数y=ax2+bx+c(a丸)具有下列性质：当a>0时，函数y=ax2+bx+c图象开口向上;顶点坐标为(-?严严)，\o"CurrentDocument"2a4a对称轴为直线x=—-b；当xV―］时，y随着x的增大而减小；当x>-］时，y\o"CurrentDocument"2a2a2a随着x的增大而增大；当x=-b时，函数取最小值y=竺土・\o"CurrentDocument"2a4a当aV0时,函数y=ax2+bx+c图象开口向下;顶点坐标为(-b，竺土)，2a4a对称轴为直线x=—b；当xV-b时，y随着x的增大而增大；当x>-b时，y\o"CurrentDocument"2a2a2a随着x的增大而减小；当x=丄时，函数取最大值y=竺二竺・2a4a上述二次函数的性质可以分别通过图2.2—3和图2.2—4直观地表示出来．因此，在今后解决二次函数问题时，可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题．

例1求二次函数y=—3x2—6x+l图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值(或最小值)，并指出当x取何值时，y随x的增大而增大(或减小)？并画出该函数的图象．解：Ty=—3x2—6x+1=—3(x+1)2+4,・••函数图象的开口向下；对称轴是直线x=—1；顶点坐标为(—1,4)；当x=—1时，函数y取最大值y=4；当xV—1时，y随着x的增大而增大；当x>—1时，y随着x的增大而减小;采用描点法画图，选顶点A（—1，4）），与x轴交于点B（^3-3,0）和C(-弋+3,0)，与y轴的交点为D(0,1),过这五点画出图象(如图2.2—5所示).说明：从这个例题可以看出，根据配方后得到的性质画函数的图象，可以直接选出关键点，减少了选点的盲目性，使画图更简便、图象更精确．例2把二次函数y=x2+bx+c的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数y=x2的图像，求b，c的值.解法一：y=x2+bx+c=(x+-)2+c-竺，把它的图像向上平移2个单位，再向左24平移4个单位，得到y=(x+2+4)2+C-罟+2的图像，也就是函数y=x2的图像，所以，

---4=0,<-解得b=~8,c=14.b-c-—+2=0,〔4解法二：把二次函数y=x-+bx+c的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数y=x2的图像，等价于把二次函数y=x2的图像向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到函数y=x2+bx+c的图像.由于把二次函数y=x2的图像向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到函数y=(x—4)2+2的图像，即为y=x2—8x+14的图像，.••函数y=x2—8x+14与函数y=x2+bx+c表示同一个函数，・：b=—8，c=14.说明：本例的两种解法都是利用二次函数图像的平移规律来解决问题，所以，同学们要牢固掌握二次函数图像的变换规律.这两种解法反映了两种不同的思维方法：解法一，是直接利用条件进行正向的思维来解决的，其运算量相对较大；而解法二，则是利用逆向思维，将原来的问题等价转化成与之等价的问题来解，具有计算量小的优点.今后，我们在解题时，可以根据题目的具体情况，选择恰当的方法来解决问题.例3已知函数y=x2，-2<x<a，其中a>-2，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x的值.分析：本例中函数自变量的范围是一个变化的范围，需要对a的取值进行讨论.解：(1)当a=—2时，函数y=x2的图象仅仅对应着一个点(一2,4)，所以，函数的最大值和最小值都是4，此时x=—2；当一2VaV0时，由图2.2-6①可知，当x=—2时，函数取最大值y=4；当x=a时，函数取最小值y=a2；当0<aV2时，由图2.2-6②可知，当x=-2时，函数取最大值y=4；当x=0时，函数取最小值y=0；当a>2时，由图2.2-6③可知，当x=a时，函数取最大值y=a2；当x=0时，函数取最小值y=0.图2.2-图2.2-6说明：在本例中，利用了分类讨论的方法，对a的所有可能情形进行讨论．此外，本例中所研究的二次函数的自变量的取值不是取任意的实数，而是取部分实数来研究，在解决这一类问题时，通常需要借助于函数图象来直观地解决问题．练习1．选择题：(1)下列函数图象中，顶点不在坐标轴上的是()(A)y=2x2(B)y=2x2—4x+2(C)y=2x2—1(D)y=2x2—4x(2)函数y=2(x—1)2+2是将函数y=2x2()向左平移1个单位、再向上平移2个单位得到的向右平移2个单位、再向上平移1个单位得到的向下平移2个单位、再向右平移1个单位得到的向上平移2个单位、再向右平移1个单位得到的2．填空题(1)二次函数y=2x2—mx+n图象的顶点坐标为(1,—2)，贝Vm=,n已知二次函数y=x2+(m—2)x—2m，当m=时，函数图象的顶点在y轴上；当m=时，函数图象的顶点在x轴上；当m=时，函数图象经过原点．函数y=—3(x+2)2+5的图象的开口向，对称轴为，顶点坐标为;当x=时，函数取最值y=；当x时，y随着x的增大而减小.求下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大(小)值及y随x的变化情况，并画出其图象．(1)y=x2—2x—3；(2)y=1+6x—x2.已知函数y=—x2—2x+3，当自变量x在下列取值范围内时，分别求函数的最大值或最小值，并求当函数取最大(小)值时所对应的自变量x的值：(1)x<—2；(2)x<2；(3)—2<x<1；(4)0<x<3.

二次函数的三种表示方式通过上一小节的学习，我们知道，二次函数可以表示成以下两种形式：1•一般式：^=ax2+b;x+c(afi&)；2•顶点式：y=a(x+%)2+氐(a#0),其中顶点坐标是(一h,k)・除了上述两种表示方法外，它还可以用另一种形式来表示.为了研究另一种表示方式，我们先来研究二次函数y=ax2+bx+c(a^0)的图象与x轴交点个数.当抛物线y=ax2+bx+c(a#0)与x轴相交时，其函数值为零，于是有ax2+bx+c=0.①并且方程①的解就是抛物线y=ax2+bx+c(a#0)与x轴交点的横坐标(纵坐标为零)，于是，不难发现，抛物线y=ax2+bx+c(a列)与x轴交点个数与方程①的解的个数有关，而方程①的解的个数又与方程①的根的判别式A=b2-4ac有关，由此可知，抛物线y=ax2+bx+c(a#0)与x轴交点个数与根的判别式A=b2-4ac存在下列关系：当A>0时，抛物线y=ax2+bx+c(a^0)与x轴有两个交点；反过来，若抛物线y=ax2+bx+c(a^0)与x轴有两个交点，则A>0也成立.当A=0时,抛物线y=ax2+bx+c(a^0)与x轴有一个交点(抛物线的顶点)；反过来，若抛物线y=ax2+bx+c(a#0)与x轴有一个交点，则A=0也成立.当AVO时，抛物线y=ax2+bx+c(a^0)与x轴没有交点；反过来，若抛物线y=ar2+bx+c(a^0)与x轴没有交点，则AV0也成立.于是，若抛物线y=ax2+bx+c(a#0)与x轴有两个交点A(x1，0)，B(x2，0)，则x”x2是方程ax2+bx+c=0的两根，所以x〔+x2x〔+x2=——,12ax1x2=am).-=xix2bc以，y=ax2+bx+c=a(x2+x+)aa=a[x2-(x1+x2)x+x1x2]=a(x-x1)(x-x2).由上面的推导过程可以得到下面结论：若抛物线y=or2+for+c(o#0)与x轴交于A(x1,0),B(x2,0)两点，则其函数关系式可以表示为y=a(x—x1)(x—x2)(哄)・这样，也就得到了表示二次函数的第三种方法：3•交点式：y=a(x—xj(x—x2)(a#0)，其中x、，x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标・今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一般式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题・例1已知某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线y=x+1上，并且图象经过点(3，—1)，求二次函数的解析式・分析：在解本例时，要充分利用题目中所给出的条件——最大值、顶点位置，从而可以将二次函数设成顶点式，再由函数图象过定点来求解出系数a・解：•・•二次函数的最大值为2,而最大值一定是其顶点的纵坐标，・••顶点的纵坐标为2.又顶点在直线y=x+1上，所以，2=x+l,・x=l.・顶点坐标是(1，2)・设该二次函数的解析式为y=a(x-2)2+1(a<0),•二次函数的图像经过点(3，—l)，—1=a(3—2)2+1，解得a=—2.・・二次函数的解析式为y=—2(x—2)2+1，即y=—2x2+8x—7.说明：在解题时，由最大值确定出顶点的纵坐标，再利用顶点的位置求出顶点坐标，然后设出二次函数的顶点式，最终解决了问题.因此，在解题时，要充分挖掘题目所给的条件，并巧妙地利用条件简捷地解决问题.例2已知二次函数的图象过点(一3,0),(1,0),且顶点到x轴的距离等于2,求此二次函数的表达式.分析一：由于题目所给的条件中,二次函数的图象所过的两点实际上就是二次函数的图象与x轴的交点坐标，于是可以将函数的表达式设成交点式.解法一:•・•二次函数的图象过点(一3,0),(1,0),・°•可设二次函数为y=a(x+3)(x—1)(a主0),展开，得y—ax2+2ax—3a,顶点的纵坐标为=-4a,4a由于二次函数图象的顶点到x轴的距离2,1|—4al—2,即a—±_.2所以，二次函数的表达式为y—-x2+x--，或y——-x2-x+-.2222分析二：由于二次函数的图象过点(一3,0),(1,0),所以，对称轴为直线x——1,又由顶点到x轴的距离为2,可知顶点的纵坐标为2,或一2,于是，又可以将二次函数的表达式设成顶点式来解,然后再利用图象过点(—3,0),或(1,0),就可以求得函数的表达式.解法二：•・•二次函数的图象过点(一3,0),(1,0),・对称轴为直线x——1.又顶点到x轴的距离为2,・顶点的纵坐标为2,或—2.于是可设二次函数为y—a(x+1)2+2,或y—a(x+1)2—2,由于函数图象过点(1,0),・・・0—a(1+1)2+2,或0—a(1+1)2—2.11••a—,^或a22所以，所求的二次函数为y——-(x+1)2+2,或y—-(x+1)2—2.22说明：上述两种解法分别从与x轴的交点坐标及顶点的坐标这两个不同角度，利用交点式和顶点式来解题,在今后的解题过程中,要善于利用条件,选择恰当的方法来解决问题.例3已知二次函数的图象过点(—1,—22),(0,—8),(2,8),求此二次函数的表达式.解：设该二次函数为y—ax2+bx+c(a#0).由函数图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，可得—22=a—b+c,<—8=c,8=4a+2b+c,解得a=—2,b=12,c=~8.所以，所求的二次函数为y=—2x2+12x—8.通过上面的几道例题,同学们能否归纳出：在什么情况下,分别利用函数的一般式、顶点式、交点式来求二次函数的表达式？练习1.选择题:1)函数y=—x2+x—1图象与x轴的交点个数是()(A)0个(B)1个(C)2个(D)无法确(2)函数y=—2(x+1)2+2的顶点坐标是()D)(—1,—2)A)(1,2)(B)(1,—2)(C)(—1D)(—1,—2)填空：(1)已知二次函数的图象经过与x轴交于点(一1,0)和(2,0),则该二次函数的解析式可设为y=a(a#0).(2)二次函数y=—x2+^.；3x+1的函数图象与x轴两交点之间的距离为.根据下列条件,求二次函数的解析式.1)图象经过点(1,—2),(0,—3),(—1,—6)；当x=3时，函数有最小值5,且经过点(1,11)；函数图象与x轴交于两点(1—辺，0)和(1+寸20),并与y轴交于(0,—2).2.2.3二次函数的简单应用一、函数图象的平移变换与对称变换1．平移变换问题1在把二次函数的图象进行平移时，有什么特点？依据这一特点，可以怎样来研究二次函数的图象平移？我们不难发现：在对二次函数的图象进行平移时，具有这样的特点——只改变函数图象的位置、不改变其形状，因此，在研究二次函数的图象平移问题时，只需利用二次函数图象的顶点式研究其顶点的位置即可．例1求把二次函数y=x2—4x+3的图象经过下列平移变换后得到的图象所对应的函数解析式：向右平移2个单位，向下平移1个单位；向上平移3个单位，向左平移2个单位．分析：由于平移变换只改变函数图象的位置而不改变其形状(即不改变二次项系数)，所以只改变二次函数图象的顶点位置(即只改变一次项和常数项)，所以，首先将二次函数的解析式变形为顶点式，然后，再依据平移变换后的二次函数图象的顶点位置求出平移后函数图像所对应的解析式．解：二次函数y=2x2—4x—3的解析式可变为y=2(x—1)2—1,其顶点坐标为(1，—1)．把函数y=2(x—1)2—1的图象向右平移2个单位，向下平移1个单位后，其函数图象的顶点坐标是(3,—2),所以,平移后所得到的函数图象对应的函数表达式就为y=2(x—3)2—2.把函数y=2(x—1)2—1的图象向上平移3个单位，向左平移2个单位后，其函数图象的顶点坐标是(—1，2)，所以，平移后所得到的函数图象对应的函数表达式就为y—2(x+1)2+2.2．对称变换

问题2在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，有什么特点？依据这一特点，可以怎样来研究二次函数的图象平移？我们不难发现：在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，具有这样的特点——只改变函数图象的位置或开口方向、不改变其形状，因此，在研究二次函数图象的对称变换问题时，关键是要抓住二次函数的顶点位置和开口方向来解决问题．例2求把二次函数y=2x2—4x+l的图象关于下列直线对称后所得到图象对应的函数解析式：直线x=—1；直线y=1.解：(1)如图2.2—7，把二次函数y=2x2—4x+1的图象关于直线x=—1作对称变换后，只改变图象的顶点位置，不改变其形状.—2x2+12x+17.由于y=2x2—4x+1=2(x—1)2—1,可知，函数y=2x2—4x+1图象的顶点为A(1,—1)，所以，对称后所得到图象的顶点为A1(—3,1),所以，二次函数y=2x2—4x+1的图象关于直线x=—1对称后所得到图象的函数解析式为y=2(x+—2x2+12x+17.所得到图象的函数解析式为y——2(x—1)2+3,即y——2x2+4x+1.二、分段函数一般地，如果自变量在不同取值范围内时，函数由不同的解析式给出，这种函数，叫作分段函数．例3在国内投递外埠平信，每封信不超过20g付邮资80分，超过20g不超过40g付邮资160分，超过40g不超过60g付邮资240分，依此类推，每封xg（0<x<100）的信应付多少邮资（单位：分）？写出函数表达式，作出函数图象．分析：由于当自变量x在各个不同的范围内时，应付邮资的数量是不同的.所以,可以用分段函数给出其对应的函数解析式.在解题时，需要注意的是，当T在各个小范围内（如20<x<40）变化时，它所对应的函数值（邮资）并不变化（都是160分）.解：设每封信的邮资为y（单位：分），则y是x的函数.这个函数的解析式为'80,xe(0,20]160xe(20,40]y=”40,xe940,80]320xe(60,80]400,xe(80,100]由上述的函数解析式，可以得到其图象如图2.2－9所示．2.3方程与不等式2.3.1二元二次方程组解法方程x2+2xy+y2+x+y+6=0是一个含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程，这样的方程叫做二元二次方程.其中x2,2xy,y2叫做这个方程的二次项，x,y叫做一次项，6叫做常数项．我们看下面的两个方程组：Ix2-4y2+x+3y-1=0,〔2x-y-1=0;

Jx2+y2=20,[x2-5xy+6y2=0.第一个方程组是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的，第二个方程组是由两个二元二次方程组成的，像这样的方程组叫做二元二次方程组．下面我们主要来研究由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组的解法．一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组一般可以用代入消元法来解例1解方程组x2+4y2-4=0,x-2y-2=0.分析：二元二次方程组对我们来说较为生疏，在解此方程组时，可以将其转化为我们熟悉的形式.注意到方程②是一个一元一次方程，于是，可以利用该方程消去一个元，再代入到方程①，得到一个一元二次方程，从而将所求的较为生疏的问题转化为我们所熟悉的问题.解：由②，得x=2y+2，③把③代入①，整理，得8y2+8y=0，即y(y+1)=0.解得y1=0，y2=—1.把y1=0代入③，得x1=2；把y2=—1代入③，得x2=0.所以原方程组的解是Ix=2,Ix=0,Iy1=0，Iy2=-1.12说明：在解类似于本例的二元二次方程组时，通常采用本例所介绍的代入消元法来求解.

例2解方程组解法一：IX+y二7,|xy二12.解法一：由①，得x=7-y.把③代入②，整理，得y2—7y+12—0解这个方程，得y—3,y—4．12把y—3代入③，得x—4；11把y—4代入③，得x—3.22所以原方程的解是(x—4,(x—3,|y1-3，1y2—4.12解法二：对这个方程组，也可以根据一元二次方程的根与系数的关系，把x,y看作一个一元二次方程的两个根，通过解这个一元二次方程来求x,y.这个方程组的x,y是一元二次方程z2—7z—12—0的两个根，解这个方程，得z—3，或z—4.所以原方程组的解是练习1.下列各组中的值是不是方程组x2+y2—13,x+y—5的解?

(1)；(1)；X=2，(2)；X=3，(3)；X=X〔y二3;〔y二2;〔y二4;2．解下列方程组:fy=x+5,(i)r[x2+y2=625;fx2y2(3)+T=hy=x-3；4)x=-2,

y=-3;x+y=3,xy=-10;y2=2x,x2+y2=8.一元二次不等式解法二次函数y=x2-x-6的对应值表与图象如下：x-3-2-101234y60-4-6-6-406由对应值表及函数图象（如图2.3－1）可知当x=-2,或x=3时，y=0,即x2-x=6=0；当xV-2,或x>3时，y>0,即x2-x-6>0；当-2<x<3时,yVO,即x2-x-6<0.这就是说，如果抛物线y=x2-x-6与x轴的交点是（-2,0）与（3,0）,那么一元二次方程x2-x-6=0的解就是x】=-2,x?二3；一元二次不等式x2-x-6>0的解是xV-2,或x>3；一元二次不等式x2-x-6<0的解是-2<x<3．上例表明：由抛物线与x轴的交点可以确定对应的一元二次方程的解和对应的一元二次不等式的解集．那么，怎样解一兀二次不等式ax2+bx+c>0(a^0)呢？我们可以用类似于上面例子的方法，借助于二次函数y=ax2+bx+c(a#0)的图象来解一兀二次不等式ax2+bx+c>0(a^0).为了方便起见，我们先来研究二次项系数a>0时的一元二次不等式的解.我们知道，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0),设△=b2—4ac，它的解的情形按照△>O,A=O,AVO分别为下列三种情况——有两个不相等的实数解、有两个相等的实数解和没有实数解，相应地，抛物线y=ax2+bx+c(a>0)与x轴分别有两个公共点、一个公共点和没有公共点(如图2.3—2所示)，因此，我们可以分下列三种情况讨论对应的一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)与ax2+bx+c<0(a>0)的解．

当A>0时，抛物线y=ax2+bx+c(a>0)与x轴有两个公共点g,0)和(x2，0),方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根X]和x2(X]Vx2),由图2.3—2①可知不等式ax2+bx+c>0的解为xVX],或x>x2；不等式ax2+bx+cV0的解为X]VxVx2・当A=0时，抛物线y=ax2+bx+c(a>0)与x轴有且仅有一个公共点，b方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根x]=x2=—2^，由图2.3—2②可知不等式ax2+bx+c>0的解为/b舜—2a；不等式ax2+bx+cV0无解.如果△V0,抛物线y=ax2+bx+c(a>0)与x轴没有公共点，方程ax2+bx+c=0没有实数根，由图2.3—2③可知不等式ax2+bx+c>0的解为一切实数；不等式ax2+bx+cV0无解.今后，我们在解一元二次不等式时，如果二次项系数大于零，可以利用上面的结论直接求解；如果二次项系数小于零，则可以先在不等式两边同乘以—]，将不等式变成二次项系数大于零的形式，再利用上面的结论去解不等式.设相应的一元二次方程ax2+bx+c=0(a丰0)的两根为x、x且x<x，]2]2A=b2-4ac，则三个“二次”之间的关系如下表：

A>0A二0A<0二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象y=ax2+bx+cy=1=a1\x2+bx+cp.y=ax2+bx+c丄o兀二次方程ax2+bx+c=0(a>0的根有两相异实根x,x(x<x)1212有两相等实根bx=x=-——1x2+2x2+2x-3<0；(2)x—x2+6V0；(3)4x2+4x+1>0；(4)x2-6x+9<0；(5)—4+x—x2<0.解：(l)TA>0,方程x2+2x—3=0的解是X]=—3，x?=1•・•・不等式的解为—3<x<l•整理，得x2—x—6>0.VA>0,方程x2—x—6=0的解为X]=—2,X?=3•所以，原不等式的解为无实根ax2+bx+c>0(a>0)的解集仁<x或x>x}12Ixx,-b]2aJRax2+bx+c<0(a>0)的解集4x<x<x}1200例3解不等式：

整理，得(2x+1)2>0.由于上式对任意实数x都成立，•••原不等式的解为一切实数.整理，得(x-3)200.由于当x=3时，(x-3)2=0成立；而对任意的实数x,(x-3)2<0都不成立，•••原不等式的解为5）整理，得x2-x+4>0.A<0，所以，原不等式的解为一切实数.例4已知不等式ax2+bx+c<0(a丰0)的解是x<2,或x>3，求不等式bx2+ax+c>0的解.解：由不等式ax2+bx+c<0(a丰0)的解为x<2,或x>3，可知xV—xV—1，或x>5-a<0，且方程ax2+bx+c=0的两根分别为2和3,・•・--=5,ac_66，a即b5c6—=-5,—=6.aa由于a<0，所以不等式bx2+ax+c>0可变为bcx2+x+<0，aa即—5x2+x+6<0,整理，得5x2-x-6>0,所以，不等式bx2+ax-c>0的解是

说明：本例利用了方程与不等式之间的相互关系来解决问题．例5解关于X的一元二次不等式x2+ax+1>0(a为实数).分析对于一元二次不等式，按其一般解题步骤，首先应该将二次项系数变成正数，本题已满足这一要求，欲求一元二次不等式的解，要讨论根的判别式A的符号,而这里的A是关于未知系数的代数式，A的符号取决于未知系数的取值范围，因此,再根据解题的需要，对A的符号进行分类讨论.解：A=a2-4，①当A>0,即a<-2或a>2时，方程x2+ax+1二0的解是所以，-a-y；所以，-a-y；a2-42，x2_-a+、：a2—4原不等式的解集为x<②当A=0，即a=±2时，原不等式的解为③当A<0，即-2<a<2时，原不等式的解为一切实数.综上，当a<-2，或a>2时，原不等式的解是—a-7a2—4—a+pa2—4x<,或x>22当-2<a<2时,原不等式的解为一切实数．例6已知函数y=x2—2ax+l(a为常数)在一2<x<l上的最小值为n，试将n用a表示出来．分析：由该函数的图象可知，该函数的最小值与抛物线的对称轴的位置有关，于是需要对对称轴的位置进行分类讨论．解：*.*y—(x—a)2+1—a2，抛物线y—x2—2ax+1的对称轴方程是x—a.(1)若一2<a<l,由图2.3-3①可知，当x—a时，该函数取最小值n—1—a2；⑵若a<-2时，由图2.3-3②可知，当x—-2时，该函数取最小值n—4a+5；

⑵若a>l时,由图2.3-3③可知,当x⑵若a>l时,由图2.3-3③可知,当x=1时，该函数取最小值n=—2a+2.综上，函数的最小值为4a+5,a<—2,n=[1一a2,一2<a<1,—2a+2,a>1.练习1．解下列不等式：(1)3x2-x-4>0;(3)x2+3x-4>0;(2)x2-x-12<0;(4)16-8x+x2<0.2．解关于x的不等式x2＋2x＋1－a2<0（a为常数）．习题2．3A组1．解下列方程组：(x一(x一3)2+y2=9,x+2y=0;―y2=1,4x一y一2=0;⑶f2+y2=4,Ix2一y2=2.

•解下列不等式：(1)3x2—2x+lV0；(2)3x2—4V0；(3)2x—x2>—1；(4)4—x2<0.B组1.m取什么值时，方程组y2二4x,Vy=2x+m有一个实数解?并求出这时方程组的解.2•解关于x的不等式x2—(1+a)x+aV0(a为常数).•已知关于x不等式2x2+bx—c〉0的解为x<—1,或x〉3•试解关于x的不等式bx2+cx+4>0.4•试求关于x的函数y=—x2+mx+2在0<x<2上的最大值k.3.1相似形■平行线分线段成比例定理在解决几何问题时，我们常涉及到一些线段的长度、长度比的问题•在数学学习与研究中，我们发现平行线常能产生一些重要的长度比./A/h/}B/C在一张方格纸上，我们作平行线1,1,1TOC\o"1-5"\h\z123(如图3.1-1),直线a交1,1,1于点A,B,C,123AB=2,BC=3，另作直线b交1,1,1于点123A',B',C'，不难发现竺二兰二2.B'C'BC3我们将这个结论一般化，归纳出平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.如图3.1-2,1//1//1，有竺=匹•当然，也可以得出竺二匹•在运用该定123BCEFACDF理解决问题的过程中，我们一定要注意线段之间的对应关系，是“对应”线段成比例.例1如图3.1-2,1//1//1,B,123B,且AB=2,BC=3,DF=4,求DE,EF图3.1-2

l//1//1,DE_^^DF_8,EF_^^DF_殳2+352+35例2在AABC中，D,E为边AB,AC上的点，DE//BC,ADAEDE求证：__.ABACBC证明（1）・・・DE//BC,/.ZADE_ZABC,ZAED_ZACB,AADEAADEsAABC,AD_AE_DEAB_AC_BC证明（2）如图3.1-3,过A作直线1//BC,・证明（2）如图3.1-3,过A作直线1//BC,・.・1〃DE//BC,.AD_AE*AB"AC*过E作EF//AB交AB于D，得口BDEF,因而DE_BF.・.・EF//AB,/AE_BF_DEAD_AE_DEAB_AC_5C从上例可以得出如下结论：平行于三角形的一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.平行于三角形的一边，并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.例3已知AABC，D在AC上，AD:DC_2:1，能否在AB上找到一点E，使得线段EC的中点在BD上.解假设能找到，如图3.1-4，设EC交BD于F，则F为EC的中点，作EG//AC交BD于G・二图3.1-4•.•EG//AC,EF_FC,△EGF二、CDF，且EG=DC,beEG1:.EG//AD^BEGfBAD，且一==—,BAAD2:.E为AB的中点.可见，当E为AB的中点时，EC的中点在BD上.我们在探索一些存在性问题时，常常先假设其存在,再解之，有解则存在，无解或矛盾则不存在.例4在AABC中，AD为ZBAC的平分线，求证:AB_BD证明过我们在探索一些存在性问题时，常常先假设其存在,再解之，有解则存在，无解或矛盾则不存在.例4在AABC中，AD为ZBAC的平分线，求证:AB_BD证明过C作CE//AD,交BA延长线于E,•ADCE「轄DAD平分ZBAC,.•.ZBAD=ZDAC,由AD//CE知/BAD=ZE，/DAC=ZACE,.・.ZE=ZACE,即AE=AC,AB_BDAC_DC*例4的结论也称为角平分线性质定理,可叙述为角平分线分对边成比例（等于该角的两边之比）.1•如图3.1-6,lIII〃l,下列比例式正确的是（）123人ADCEcADBCA.B・DFBCBEAF厂CEAD□AFBEDFBCDFCE图3.1-62•如图3.1-7,DE//BC,EF//AB,AD=5cm,DB=3cm,FC=2cm,求BF.3•如图，在AABC中，AD是角BAC的平分线,AB=5cm,AC=4cm,3•如图，在AABC中，AD是角BAC的平分线,AB=5cm,AC=4cm,BC=7cm，求BD的长.4•如图，在aABC中，ZBAC的外角平分线AD交BC的延长线于点D，求证:AB_BD1C~~DC图3.1-95•如图，在△ABC的边AB、AC上分别取D、E两点，使BD=CE,DE延长线交BC的延长线于F.求证:DF_AC3.1.2相似形B例5如图3.1-11，四边形ABCD的对角线相交于点O,,BAC=/CDB，求证：/AC=/CBD.证明在z\OAB与△ODC中,A_AOB=乙DOC,乙OAB=ZODC,AOABaODC,=，即化ODODOCOBOC又卜OAD与卜OBC中，=，即化ODODOCOBOCAOADaOBC,ZDAC^ZCBD.

例6如图3.1-12，在直角三角形ABC中，ZBAC为直角，ADLBC于D.(2)AD2=BDCD图3.1-12求证：(1)AB2=BDBC,(2)AD2=BDCD图3.1-12证明(1)在Rt^BAC与Rt^BDA中，/B=/B,BARC△SACs©da,,即AB2=RD•BC.•rdBA同理可证得AC2=CDCB.(2)在Rt^ABD与Rt^CAD中，/C=90。一/CAD=/BAD，ADdc-Rt^ABDsRt/^CAD,,即AD2=BD・DC.…RDAD我们把这个例题的结论称为射影定理，该定理对直角三角形的运算很有用.例7在厶ABC中，ADLBC于D,DE丄AB于E,DFLAC于F,求证：AE^AB=AF^AC.证明-：AD丄BC,图3.1-13AADB为直角三角形，又DELAB,图3.1-13由射影定理，知AD2=AE^AB.同理可得AD2=AFAC.-AE-AB=AF^AC.••例8如图3.1-14，在例8如图3.1-14，在△ABC中，D为边BC的中点,E为边AC上的任意一点,图3.1-14⑴当冀二―甘时，有第二和£•（如图3-1-14a）⑵当郑訂占时，有等4—如图3-1-14b）⑶当卜占时，有AP和£•（如图3-1-14c）AE1AO在图3.1-14d中，当竺—时，参照上述研究结论，请你猜想用n表示少AC1+nAD的一般结论，并给出证明（其中n为正整数）.解：依题意可以猜想：当等二右时，有ID=三成立.证明过点D作DF//BE交AC于点F,D是BC的中点，F是EC的中点，倉点可知茜卜AE倉点可知茜卜AE_2AE_2EFnAF2+nAO_AE_2ADAF2+n想一想，图3.1-14d中，若A^=1，则AE?ADnAC本题中采用了从特殊到一般的思维方法•我们常从一些具体的问题中发现一些规律，进而作出一般性的猜想，然后加以证明或否定•数学的发展史就是不断探索的历史.练习2•如图3.1-15,D是AABC的边AB上的一点，过D点作、TOC\o"1-5"\h\zDE//BC交AC于E.已知AD：DB=2：3,则S人：S1等ADE四边形BCDE于（）E.■A.2:3B・4:9C・4:5D・4:21图3.1-15•若一个梯形的中位线长为15,—条对角线把中位线分成两条线段.这两条线段的比是3:2，则梯形的上、下底长分别是.3•已知:AABC的三边长分别是3,4,5,与其相似的^A'B'C'的最大边长是15,求厶A'B'C'的面积SAA'B'C'4•已知：如图3.1-16，在四边形ABCD中，E、F、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.(1)请判断四边形EFGH是什么四边形，试说明理由；G、图3.1-16(2)若四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD满足什么条件时，EFGH是菱形？是正方形?5.如图3.1-17,点C、D在线段AB上,PCD是三角形，(1)当AC、CD、DB满足怎样的关系时，AACP等边sHDB?(2)当aACPsbPDB时，求ZAPB的度数.图3.1-17习题3.11•如图3.1-18,△ABC中，AD=DF=FB,AE=EG=GC,FG=4,则()A.DE=1,BC=7B・DE=2,BC=6C.DE=3,BC=5D・DE=2,BC=8图3.1-182•如图3.1-19,BD、CE是AABC的中线，P、Q分别BD、CE的中点，则PQ:BC等于()A.1：3B・1：4C・1：5D・1：6图3.1-19图3.1-204•如图3.1-21,图3.1-204•如图3.1-21,在矩形ABCD中，E是CD的中点，BE交AC于F,过F作FG//AB交AE于G,求证：3•如图3.1-20,口ABCD中，E是AB延长线上一点，DE交BC于点F,已知BE：AB=2：3,S4,BEF求*AG2=AFFC.1•如图3.1-22，已知AABCAG2=AFFC.1•如图3.1-22，已知AABC中，AE：EB=1：3,BD：DC=2：EFAF1,AD与CE相交于F,则一+一的值为（）FCFD\o"CurrentDocument"3A.—B.1C・D・2\o"CurrentDocument"2图3.1-222•如图3.1-23,已知AA