初高中数学衔接知识点专题

初高中数学衔接知识点专题初中的数学与高中的知识点有密切的联系，学好数学对高考的总分影响很大！★专题一数与式的运算【要点回顾】1．绝对值绝对值的代数意义="即1a|=.绝对值的几何意义：的距离■两个数的差的绝对值的几何意义：\a-b表示的距离.两个绝对值不等式:Ixl<a（a>0）o；Ixl>a（a>0）o2•乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：平方差公式：.；完全平方和公式：；完全平方差公式：我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：[公式1]（a+b+c）2二[公式2]二a3+b3（立方和公式）[公式3]二a3-b（立方差公式）说明:上述公式均称为“乘法公式”•3.根式_式子着（a>0）叫做二次根式，其性质如下：（斗a）2=；（2）<a2=；（3）*ab=;（4）平方根与算术平方根的概念：叫做a的平方根，记作x二士雷（a>0），其中材a（a>0）叫做a的算术平方根._立方根的概念：叫做a的立方根，记为x二3a4•分式分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化.分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程.而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程【例题选讲】例3已知x2-3x=1=0，求X3+丄的值.x3(x>(x>1)(2)\.;(1-x)2+\''(2—x)2

★专题二因式分解1．公式法常用的乘法公式：TOC\o"1-5"\h\z平方差公式：;完全平方和公式：；完全平方差公式：.(a+b+c)2二a3+b3=(立方和公式)a3-b3二(立方差公式)分组分解法从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式．而对于四项以上的多项式，如ma+mb+na+nb既没有公式可用，也没有公因式可以提取•因此，可以先将多项式分组处理•这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法．分组分解法的关键在于如何分组．常见题型：(1)分组后能提取公因式(2)分组后能直接运用公式十字相乘法x2+(p+q)x+pq型的因式分解这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：①二次项系数是1；②常数项是两个数之积；③一次项系数是常数项的两个因数之和.•/x2+(p+q)x+pq二x2+px+qx+pq二x(x+p)+q(x+p)二(x+p)(x+q),x2+(p+q)x+pq二(x+p)(x+q)运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式.—般二次三项式ax2+bx+c型的因式分解由aax2+(ac+ac)x+cc二(ax+c)(ax+c)我们发现，二次项系数a分解成aa,常数项c12122112112212a乂c分解成c1c2，把a1,a2,c1,c2写成a1c1，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到a1c2+a2c1，如果它正好121212221221等于ax2+bx+c的一次项系数b,那么ax2+bx+c就可以分解成(耳x+c/^x+c?),其中耳,[位于上—行，a2,c2位于下一行•这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法.必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定—个二次三项式能否用十字相乘法分解.其它因式分解的方法其他常用的因式分解的方法：(1)配方法(2)拆、添项法【例题选讲】⑵2x2+4xy+2y2一8z2(2)x2-2⑵2x2+4xy+2y2一8z2(2)x2-2x-15(4)(x2+x)2—8(x2+x)+12例2(分组分解法)分解因式:(1)ab(c2-d2)-(a2-b2)cd例3(十字相乘法)把下列各式因式分解:(1)x2+5x-24⑶x2+xy-6y2

例4(十字相乘法)把下列各式因式分解:(1)12x2-5x-2；(2)5x2+6xy-8y2说明：用十字相乘法分解二次三项式很重要．当二次项系数不是1时较困难，具体分解时，为提高速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，若原常数为负数，用减法”凑”，看是否符合一次项系数，否则用加法”凑”，先”凑”绝对值，然后调整，添加正、负号．例5(拆项法)分解因式x3-3x2+4★专题三一元二次方程根与系数的关系【要点回顾】1．一元二次方程的根的判断式—元二次方程ax2+bx+c二0(a丰0)，用配方法将其变形为：.由于可以用b2-4ac的取值情况来判定一元二次方程的根的情况•因此，把b2-4ac叫做—元二次方程ax2+bx+c二0(a丰0)的根的判别式，表示为：A=b2-4ac对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a^0),有当A_0时，方程有两个不相等的实数根：当A_0时，方程有两个相等的实数根：当A0时，方程没有实数根.2■—元二次方程的根与系数的关系定理：如果一元二次方程ax2+bx+c二0(a丰0)的两个根为t，x2，那么：，xx说明：—元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为”韦达定理”•上述定理成立的前提是A>0.特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程X2+px+q=0,若勺宀2是其两根，由韦达定理可知X]+X2二一p,X].x2二q,即p=—(X]+x2),q二X].x2,所以，方程X2+px+q二0可化为x2—(xi+x2)x+xi^x2=0,由于X],x2是一元二次方程x2+px+q二0的两根，所以，X],x2也是一元二次方程x2-(X]+x2)x+xjx2=0.因此有以两个数X],x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x2-(xi+x2)x+xi^2=0.【例题选讲】例3若x2是方程x2+2x-2007=0的两个根，试求下列各式的值：(1)x2+x2；(1)x2+x2；12(4)|x-x|12(2)+;(3)(x-5)(x-5);xx1212巩固练习】111.若x,x是方程2x2-6x+3=0的两个根，则一+—的值为(12xx9D.9D.2B.-21B.-2C.2★专题四平面直角坐标系、一次函数、反比例函数【要点回顾】平面直角坐标系组成平面直角坐标系。叫做x轴或横轴，叫做y轴或纵轴，x轴与y轴统称坐标轴，他们的公共原点o称为直角坐标系的原点。平面直角坐标系的对称点：对称点或对称直线方程对称点的坐标x轴y轴原点

点(a,b)直'^线x—a直线y=b直线y二x直线y二—x2．函数图象一次函数：称y是x的一次函数，记为：y=kx+b(k、b是常数，《0)特别的，当b=0时，称y是x的正比例函数。正比例函数的图象与性质：函数y二kx(k是常数，k丸)的图象是的一条直线，当.时，图象过原点及第一、第三象限，y随x的增大而；当时，图象过原点及第二、第四象限，y随X的增大而..一次函数的图象与性质：函数y=kx+b(k、b是常数，《0)的图象是过点(0,b)且与直线y二kx平行的—条直线•设y=kx+b(&0),则当时，y随x的增大而.；当时，y随x的增大而.k反比例函数的图象与性质：函数y=—(k丸)是双曲线，当时，图象在第一、第三象限，在每个象x限中，y随X的增大而’；当时，图象在第二、第四象限•，在每个象限中，y随X的增大而•双曲线是轴对称图形，对称轴是直线y—x与y=-x;又是中心对称图形，对称中心是原点.k例3如图，反比例函数y=的图象与一次函数y=mx+b的图象交于A(13)，B(n，—1)两点.x(1)求反比例函数与—次函数的解析式；(2)根据图象回答：当x取何值时，反比例函数的值大于一次函数的值.k33解：(1)QA(13)在y=一的图象上，•••k=3，•••y=一又QB(n，—D在y=一的图象xxx13二m+b上,二n=—3，即B(-3,-1)，]—]=_3m+b解得：m二1，b二2，反比例函数的解析式为y=-，—次函数的解析式为y=x+2,x(2)从图象上可知，当x<—3或0<x<1时，反比例函数图象在一次函数图象的上方，所以反比例函数的值大于—次函数的值。★专题五二次函数【要点回顾】■二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质问题[2]函数y=a(x+h)2+k与y二ax2的图象之间存在怎样的关系？由上面的结论，我们可以得到研究二次函数y=ax2+bx+c(a丸)的图象的方法：bbb2b2bb2—4ac由于y二ax2+bx+c二a(x2+x)+c二a(x2+x+)+c-=a(x+)2+，所以，y=aa4a24a2a4aax?+bx+c(a^0)的图象可以看作是将函数y二ax?的图象作左右平移、上下平移得到的，二次函数丫=ax2+bx+c(a曲)具有下列性质：

当a>0时，函数y二ax2+bx+c图象开口方向；顶点坐标为对称轴为直线；当.时，y随着x的增大而；当时，y随着x的增大而；当时，函数取最小值当a<0时，函数y二ax已知某二次函数的图象与X轴交于A(-2,0)，B(1,已知某二次函数的图象与X轴交于A(-2,0)，B(1,0)，且过点C(2,4)，则该二次函数的表达式为.已知某二次函数的图象过点(-1,0)，(0，3)，(1,4)，则该函数的表达式为.★专题六二次函数的最值问题【要点回顾】1•二次函数y=ax2+bx+c(a丰0)的最值.线当时，y随着X的增大而.；当时，y随着X的增大而；当时,函数取最大值.))))上述二次函数的性质可以分别通过上图直观地表示出来．因此，在今后解决二次函数问题时，可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题.2．二次函数的三种表示方式二次函数的三种表示方式："—般式：；"顶点式=；•交点式：说明：确定二此函数的关系式的一般方法是待定系数法，在选择把二次函数的关系式设成什么形式时,可根据题目中的条件灵活选择，以简单为原则.二次函数的关系式可设如下三种形式：给出三点坐标可利用—般式来求；给出两点，且其中一点为顶点时可利用顶点式来求.给出三点，其中两点为与x轴的两个交点(「0).(x2，0)时可利用交点式来求.例3已知函数y二x2,-2<x<a，其中a2，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x的值.巩固练习】1.选择题：⑴把函数y=-(x-1)2+4的图象的顶点坐标是()(D)(1，4)(A)(-1，4)(B)(-1，-4)(C)(1，-4)2)函数y=-X2+4X+6的最值情况是()(A)有最大值6(B)有最小值6(C)有最大值10(D)有最大值23)函数y=2x2+4x-5中，当-3<x<2时,则y值的取值围是()(A)-3<y<1(B)-7<y<1(C)-7<y<11(D)-7<y<112.填空：

4ac-b244ac-b24a二次函数在自变量x取任意实数时的最值情况（当a>0时，函数在x=-2a处取得最小值b4ac-b2无最大值；当a<0时，函数在x=-处取得最大值，无最小值.2a4a2．二次函数最大值或最小值的求法．第一步确定a的符号，a>0有最小值，a<0有最大值；第二步配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值．3．求二次函数在某一围的最值．如：y二ax2+bx+c在m<x<n（其中m<n）的最值．第一步：先通过配方，求出函数图象的对称轴：x二x0；第二步：讨论：若a>0时求最小值或a<0时求最大值，需分三种情况讨论：对称轴小于m即xo<m，即对称轴在m<x<n的左侧；对称轴m<x0<n，即对称轴在m<x<n的部；对称轴大于n即x0>n，即对称轴在m<x<n的右侧。若a>0时求最大值或a<0时求最小值，需分两种情况讨论：—m+n‘‘①对称轴x0<—，即对称轴在m<x<n的中点的左侧；②对称轴②对称轴x0>即对称轴在m<x<n的中点的右侧；例题选讲】例1求下列函数的最大值或最小值．⑴y二2x2-3x-5;⑵y二一x2-3x+4.例2当1<x<2时，求函数y=-x2-x+1的最大值和最小值.例3当x>0时，求函数y=-x（2-x）的取值围.例4当t<x<t+1时，求函数y=2x2-x-1的最小值（其中t为常数）.分析：由于x所给的围随着t的变化而变化，所以需要比较对称轴与其围的相对位置.1解：函数y1解：函数y=x2的对称轴为x=1画出其草图.(1)当对称轴在所给围左侧•即t>1时：当x=t时，yi=2—t—5；(1)min22(2)当对称轴在所给围之间•即t<1<t+1n0<t<1时：当x=1时，y=1xl2_1—5=—3；(2)min22(3)当对称轴在所给围右侧•即t+1(3)当对称轴在所给围右侧•即t+1<1nt<0时：当x二t+1时，yt2—3,t<02综上所述：y=1—3,0<t<1综上所述：y=115t2—t—,t>122巩固练习】1•抛物线y=x2—(m—4)x+2m—3，当m二时，图象的顶点在y轴上；当m二时，图象的顶点在x轴上；当m二时，图象过原点.•用一长度为l米的铁丝围成一个长方形或正方形，则其所围成的最大面积为•.设a>0，当—1<x<1时，函数y=—x2-ax+b+1的最小值是一4，最大值是0,求a,b的值.4•已知函数y=x2+2ax+1在—1<x<2上的最大值为4，求a的值.5•求关于x的二次函数y=x2—2tx+1在—1<x<1上的最大值(t为常数)•★专题七不等式【要点回顾】1．一元二次不等式及其解法定义：形如为关于x的一元二次不等式.—元二次不等式ax2+bx+c>0(或<0)与二次函数y=ax2+bx+c(a丰0)及一元二次方程ax2+bx+c=0的关系(简称：三个二次)．(i)一般地，一元二次不等式可以结合相应的二次函数、一元二次方程求解，步骤如下：将二次项系数先化为正数；观测相应的二次函数图象.

①如果图象与x轴有两个交点(x,0),(x,0)，此时对应的一元二次方程有两个不相等的实数根12X］，x2(也可由根的判别式A>0来判断)•贝I」L^-f-&r-hc>0J/4■延岐Qb如果图象与x轴只有一个交点(-,0),此时对应的一元二次方程有两个相等的实数根2ax=x=一(也可由根的判别式人=0来判断)•则：x22a如果图象与x轴没有交点，此时对应的一元二次方程没有实数根(也可由根的判别式Av0来判断)•则：£("耳<=>(ii)解一元二次不等式的步骤是：(1)化二次项系数为正；⑵若二次三项式能分解成两个一次因式的积，则求出两根xi,x2•那么“>°”型的解为X<X］或x>x2(俗称两根之外)；“v0”型的解为xi<x<x2(俗称两根之间)；b4ac-b2⑶否则，对二次三项式进行配方，变成ax2+bx+c=a(x+2a)2+4a，结合完全平方式为非负数的性质求解•2．简单分式不等式的解法解简单的分式不等式的方法：对简单分式不等式进行等价转化，转化为整式不等式，应当注意分母不为零.3．含有字母系数的一元一次不等式—元一次不等式最终可以化为ax>b的形式.b［1］当a>0时，不等式的解为：x>；［2］当a<0时,［2］当a<0时,不等式的解为：x<-a⑶当a=0时，不等式化为：0-x>b;①若b>0，则不等式的解是全体实数；②若b<0，则不等式无解.例题选讲】例1解下列不等式：(1)x2例1解下列不等式：(1)x2+x-6>0⑴解法一：原不等式可以化为⑵(x—1)(x+2)n(x—2)(2x+1)(x+3)(x-2)>0于是x+3<0x—2<0x+3>0Ix<—3Ix>—3x—2>0珂x<2或］x>2=x<—曲>2所以，原不等式的解是x<—巫>2•解法二：解相应的方程x2+x—6=0得：X1—_3，x2—2，所以原不等式的解是x<—3或¥>2•(2)解法一：原不等式可化为：—X2+4x<0，即x2—4x>0nx(x—4)>0于是：或:x—或:x—4>0nx<°或“>4，所以原不等式的解是x<°或“>4x—4<0解法二：原不等式可化为：—x2+4x<0，即x2—4x>0，解相应方程x2—4x=0，得x—0，x—4，所以原不等式的解是x<0或兀>4•12说明：解一元二次不等式，实际就是先解相应的一元二次方程，然后再根据二次函数的图象判断出不等式的解.•各专题参考答案•专题一数与式的运算参考答案例1(】)解法「由x—2—0，得x—2；①若x>2，不等式可变为x—2<1，即x<3;②若x<2，不等式可变为—(x—2)<1，即—x+2<1,解得：x>1•综上所述，原不等式的解为1<x<3•解法2:|x—2|表示x轴上坐标为x的点到坐标为2的点之间的距离，所以不等式|x—2|<1的几何意义即为x轴上坐标为x的点到坐标为2的点之间的距离小于1,观察数轴可知坐标为x的点在坐标为3的点的左侧，在坐标为1的点的右侧•所以原不等式的解为1<x<3•解法3:|x—2|<1o—l<x—2<1o1<x<3，所以原不等式的解为1<x<3.(2)解法一：由x—1—0，得x—1；由x—3—0，得x—3；①若x<1，不等式可变为—(x—1)—(x—3)>4，即—2x+4>4,解得x<0,又x<1,.・.x<0②若1<x<2,不等式可变为(x—1)—(x—3)>4，即1>4，・•・不存在满足条件的X；③若x>3，不等式可变为(x—1)+(x—3)>4，即2x—4>4，解得x>4•又x》，・・.x>4.综上所述，原不等式的解为x<0，或x>4.解法二：如图，x—1表示x轴上坐标为x的点P到坐标为1的点A之间的距离|PA|，即|PA|=|x-1|;|x-3|表示x轴上点P到坐标为2的点B之间的距离|PB|，即|PB|=|x-3|.：叮色所以，不等式|x—1|+|x—3|>4的几何意义即为|PA|+|PB|>4•由|AB|=2，PCABD|x－1|-)2+2x2(-v'2)x+2x2x—+|x－1|-)2+2x2(-v'2)x+2x2x—+2x—x(-\-''2x)所以原不等式的解为x<0，或x>4.例2(1)解：原式二[x2+(72x)+3]2—(x2)2+(—《2x)2+—x4一2\2x3说明：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列.(2)原式二(5m)3—(|n)3—占m3—8n原式二(a2一4)(a4+4a2+42)—(a2)3一43—a6一64原式二(x+y)2(x2—xy+y2)2—[(x+y)(x2—xy+y2)]2—(x3+y3)2—x6+2x3y3+y6^例3^解:Qx2一3x=1=0・°・x乂0・•・x+1—3x原式二(x+丄)(x2—1+丄)—(x+丄)[(x+丄)2—3]—3(32—3)—18xx2xx例4解：Qa+b+c—0,「.a+b——c,b+c——a,c+a——b

b+ca+ca+ba(—a)b(—b)c(b+ca+ca+ba(—a)b(—b)c(—c)a2+b2+c2•••原式—a-+b-+c•=++=—①bcacabbcacababcQa3+b3=(a+b)[(a+b)2—3ab]=—c(c2—3ab)=—c3+3abc3abc...a3+b3+c3=3abc②，把②代入①得原式——=—3abc3(2-73)3(2-羽)rC片例5解：(1)原式=(2+间(2—打)=三厂=6—儿3[(x—1)+(x—2)=2x—3(x>2)(2)原式—Ix—1I+1x—21=s(2)原式1(x—1)—(x—2)=1(1<x<2)说明：注意性质£a2=1aI的使用：当化去绝对值符号但字母的围未知时，要对字母的取值分类讨论.3)原式=a+ba2b+ab2ab-一2x(4)原式—2丫x-x2+x22x=y/2x—xjx+2\/2x=3—xjT2x2x==(2+3=7+4訂,y=7—4朽nx+y=14,xy=12-\；'322-3原式—(x+y)(x2—xy+y2)=(x+y)[(x+y)2—3xy]=14(142—3)=2702说明：有关代数式的求值问题：(1)先化简后求值；(2)当直接代入运算较复杂时，可根据结论的结构特点倒推几步，再代入条件，有时整体代入可简化计算量.【巩固练习】例6解：ab1.-4<x<32•—琴运3.-3或264.3—、：55.—x4—y4—z4+2x2y2+2x2z2+2y2z26.G)-3,(2)竽7，⑺人b从专题二因式分解答案例1分析：(1)中应先提取公因式再进一步分解；(2)中提取公因式后，括号出现a6—b6，可看着是(a3)2—(b3)2或(a2)3—(b2)3.解：(1)3a3b—81b4=3b(a3—27b3)=3b(a—3b)(a2+3ab+9b2).a7—ab6=a(a6—b6)=a(a3+b3)(a3—b3)=a(a+b)(a2—ab+b2)(a—b)(a2+ab+b2)=a(a+b)(a—b)(a2+ab+b2)(a2—ab+b2)例2(1)分析：按照原先分组方式，无公因式可提，需要把括号打开后重新分组，然后再分解因式.解：ab(c2一d2)一(a2一b2)cd=abc2一abd2一a2cd+b2cd=(abc2一a2cd)+(b2cd一abd2)=ac(bc—ad)+bd(bc—ad)=(bc—ad)(ac+bd)(2)分析：先将系数2提出后，得到x2+2xy+y2—4z2，其中前三项作为一组，它是一个完全平方式,再和第四项形成平方差形式，可继续分解因式.解：2x2+4xy+2y2—8z2=2(x2+2xy+y2—4z2)=2[(x+y)2—(2z)2]=2(x+y+2z)(x+y—2z)例5解：x3—3x2+4=(x3+1)—(3x2—3)=(x+1)(x2—x+1)—3(x+1)(x—1)=(x+1)[(x2—x+1)—3(x—1)]=(x+1)(x2—4x+4)=(x+1)(x—2)2【巩固练习】1.(1)(bc+ad)(ac—bd);(2)(x—4m+2n)(x—2n);(3)(x2—4x+8)(x2+4x+8);(x—1)(x—3)(x—7);(5)(x—2y)2(x+2y).

28—；；(2x2+x-1)+(2x2+3x+1)=X2+4x=x(x+4)其他情况如下：(2x2+x-1)+(2x2-x)=x2-1=(x+1)(x-1);(丄x2+3x+1)+(丄x2-x)=x2+2x+1=(x+1)222a3+a2c+b2c-abc+b3=(a2-ab+b2)(a+b+c)专题三一元二次方程根与系数的关系习题答案例1解：T△=(-2)2-4x3xk=4-12k,(1)4-12k>0nk<1;⑵4-12k=0nk=3(3)4-12k(3)4-12k>0nk>3；(4)4-12k<0nk<3.例2解：可以把所给方程看作为关于x的方程，整理得：x2-(y-2)x+y2-y+1=0由于x是实数，所以上述方程有实数根，因此：人=[-(y一2)]2-4(y2-y+1)=-3y2>0ny=0,代入原方程得：x2+2x+1=0nx=-1.综上知：x=-1,y=0例3解：由题意，根据根与系数的关系得：x1+x2=-2,x1x2=-2007x2+x2=(x+x)2-2xx=(-2)2-2(-2007)=401812121211x+x-22—+——=2==xxxx-200720071212(x-5)(x-5)=xx-5(x+x)+25=-2007-5(-2)+25=-197212.1212Ix-xI=(x-x)2=(x+x)2-4xx=J(-2)2-4(-2007)=^/200812*121212利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：x12+x22=(x1+x2)2-2xxx+x12xx12(1)(2)(3)(4)说明：11+=■xx12

整体思想.(x-x)2=(x+x)2-4xx12121212,Ix-xl=J(x+x)2-4xx等等•韦达定理体现了1212*1212【巩固练习】【巩固练习】1.A;2.A;3.p=-1,q=-3;4.a=3,b=3,c=0;5.m=1(1)当3.p=-1,q=-3;33x+1=0，有实根；(2)当k丰3时，A>0也有实根.6.(1)k»-且公丰1；(2)k=7.专题四平面直角坐标系、一次函数、反比例函数参考答案例1解：(1)因为A、B关于x轴对称，它们横坐标相同，纵坐标互为相反数，所以x2=2,y1=3，则A(2,3)、B(2,-3).因为A、B关于y轴对称，它们横坐标互为相反数，纵坐标相同，所以，x2=-2，y1=-3，则A(2,-3)、B(-2,-3).因为A、B关于原点对称，它们的横纵坐标都互为相反数，所以x2=-2，y1=3，则A(2,3)、B(-2,-3).例2分析:因为直线过第一、三象限，所以可知k>0，又因为b=2,所以直线与y轴交于(0，2)，即可知OB=2，而AAOB的面积为2，由此可推算出OA=2，而直线过第二象限，所以A点坐标为(-2,0)，

由A、B两点坐标可求出此一次函数的表达式。解:VB是直线y二kx+2与y轴交点，・・・B(0,2),AOB=2,又QS=；AO-BO=2,:.AO=2AAOB2又Qy=kx+2，过第二象限，二A(-2,0)把x=-2,y=0代入y=kx+2中得k=1,:.y=x+2【巩固练习】1.B2.D(2,2)、C(&2)、B(6,0).3.(1)k=8.⑵点P的坐标是P(2,4)或P(8,l).专题五二次函数参考答案例1解：°.°y=-3x2-6x+1=-3(x+1)2+4,函数图象的开口向下；对称轴是直线x=-1；顶点坐标为(－1，4)；当x=-1时，函数y取最大值y=4;当x<-l时，y随着x的增大而增大；当x>-l时，y随着x的增大而减小；采用描点法画图，选顶点A(-1,4)),与x轴交于点B(2£_3,0)和C(―2£+3,0),与y轴的交点为D(0,1),过这五点画出图象(如图2-5所示)•说明：从这个例题可以看出，根据配方后得到的性质画函数的图象，可以直接选出关键点，减少了选点的盲目性，使画图更简便、图象更精确.例2分析：由于每天的利润二日销售量yx(销售价x-120),日销售量y又是销售价x的一次函数，所以，欲求每天所获得的利润最大值，首先需要求出每天的利润与销售价x之间的函数关系，然后，再由它们之间的函数关系求出每天利润的最大值.解：由于y是x的一次函数，于是，设y二kx+(B),将x=130,y=70;x=150,y「70=130k+b,=50代入方程，有j50=150k+b解得k=-1,b=200.・y=-x+200.设每天的利润为z(元)则z=(-x+200)(x-120)=-X2+320x-24000=-(x-160)2+1600,・••当x=160时,z取最大值1600.答：当售价为160元/件时，每天的利润最大，为1600元.例3分析：本例中函数自变量的围是一个变化的围，需要对a的取值进行讨论.解:(1)当a=-2时，函数y=X2的图象仅仅对应着一个点(-2,4),所以，函数的最大值和最小值都是4，此时x=-2；当-2<a<0时，由图2.2-6①可知，当x=-2时，函数取最大值y=4；当x=a时，函数取最小值y=a2；当0<a<2时，由图2.2-6②可知，当x=-2时，函数取最大值y=4；当x=0时，函数取最小值y=0；当a^2时，由图2.2-6③可知，当x=a时，函数取最大值y=a2;当x=0时，函数取最小值y=0.说明：在本例中，利用了分类讨论的方法，对a的所有可能情形进行讨论•此外，本例中所研究的二次函数的自变量的取值不是取任意的实数，而是取部分实数来研究，在解决这一类问题时，通常需要借助于函数图象来直观地解决问题.例4(1)分析：在解本例时，要充分利用题目中所给出的条件——最大值、顶点位置，从而可以将二次函数设成顶点式，再由函数图象过定点来求解出系数a.

解：•・•二次函数的最大值为2,而最大值一定是其顶点的纵坐标，・••顶点的纵坐标为2•又顶点在直线y=x+1上,所以,2=x+1,.*.x=1顶点坐标是(1,2)设该二次函数的解析式为y=a(x一2)2+l(a<0),••二次函数的图像经过点(3,-1),・•・-1二a(3-2)2+1,解得a=-2.・二次函数的解析式为y=-2(x一2)2+1，即y=-2x2+8x-7.说明：在解题时,由最大值确定出顶点的纵坐标,再利用顶点的位置求出顶点坐标,然后设出二次函数的顶点式,最终解决了问题.因此,在解题时,要充分挖掘题目所给的条件,并巧妙地利用条件简捷地解决问题.(2)分析一：由于题目所给的条件中，二次函数的图象所过的两点实际上就是二次函数的图象与x轴的交点坐标,于是可以将函数的表达式设成交点式.解法一：•・•二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),・••可设二次函数为y二a(x+3)(x-l)(a細，展开，-12a2-4a2得y二ax2+2ax-3a,顶点的纵坐标为=-4a，由于二次函数图象的顶点到x轴的距离4a2,・・・|-4a|=2,即a二+1•所以，二次函数的表达式为y二jx2+x-1，或y二-|x2-x+12,分析二：由于二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),所以，对称轴为直线x=-1，又由顶点到x轴的距离为2,可知顶点的纵坐标为2,或-2,于是,又可以将二次函数的表达式设成顶点式来解,然后再利用图象过点(-3,0),或(1,0),就可以求得函数的表达式.解法二：••二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),・•・对称轴为直线x=-1•又顶点到x轴的距离为或y二a(x+1)2-2,由于函数图象12•所以，所求的二次函数为y二・••顶点的纵坐标为或y二a(x+1)2-2,由于函数图象12•所以，所求的二次函数为y二1过点(1,0),・・・0二a(1+1)2+2，或0二a(1+1)2-2.・・・a二-㊁，或a二112(x+1)2+2，或y二㊁(x+1)2-2•说明：上述两种解法分别从与x轴的交点坐标及顶点的坐标这两个不同角度，利用交点式和顶点式来解题，在今后的解题过程中，要善于利用条件，选择恰当的方法来解决问题.解：设该二次函数为y二ax2+bx+c(a主0).由函数图象过点(-1,-22),(0,-8),(2,8),可得—22=a—b+c—8—c8—4a+2b+c解得a=-2,b=12,c=-8.所以，所求的二次函数为y=-2x2+12x-8.巩固练习】1•(1)D(2)C(3)D2•(1)y=x2+x-2(2)y=-x2+2x+3•(1)y—2x2—2x—1•(2)y=4(x—l)2—3=4x2—8x+1•(3)y—|(x+3)(x—5)—1x2—|x—3.(4)y=|(x—3》—2=|x2—3x+14•当长为6m,宽为3m时，矩形的面积最大.x,0<x<2,—x,2<x<4,5.(1)函数f(x)的解析式为y=^x—44<x<68—x,6<x<8.函数y的图像如图所示由函数图像可知，函数y的取值围是0<y^2.专题六二次函数的最值问题参考答案例1分析：由于函数y—2x2—3x—5和y——x2—3x+4的自变量x的取值围是全体实数，所以只要确

定它们的图象有最高点或最低点，就可以确定函数有最大值或最小值.解:(1)因为二次函数y=2x2-3x-5中的二次项系数2>0,所以抛物线y=2x2-3x-5有最低点，即函TOC\o"1-5"\h\z