初高中数学衔接知识点专题一数及式的运算

jz*jz*初高中数学衔接知识点专题〔一〕★专题一数与式的运算【要点回忆】1．绝对值绝对值的代数意义:.即Ia1=.绝对值的几何意义：的距离．两个数的差的绝对值的几何意义：|a-b表示的距离.两个绝对值不等式：丨xI<a(a>0)o；Ixl>a(a>0)o2．乘法公式我们在初中已经学习过了以下一些乘法公式平方差公式:；完全平方和公式:；完全平方差公式:．我们还可以通过证明得到以下一些乘法公式:[^^式1](a+b+c)[公式3]=a[公式3]=a3-b3(立方差公式)说明:上述公式均称为“乘法公式"•根式式子「万(a>0)叫做二次根式，其性质如下：ba=•平方根与算术平方根的概念：叫做a的平方根，记作x=±冷万(a>0)，其中、'万(a>0)叫做a的算术平方根.[公式2]⑴(讨‘a)2=;(2)va2=[公式2]⑴(讨‘a)2=;(2)va2=;(3)\ab=;(4)2〕．BB2mn+p说明：繁分式的化简常用以下两种方法：(1)利用除法法那么；(2)利用分式的根本性质.有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化那么是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程【例题选讲】例1解以下不等式：〔例1解以下不等式：〔1〕X-2<1〔2〕x—1+X—3>4.例2计算：例2计算：〔1〕(x2—2x+—)2⑵(-m—-n)(丄m2+—mn+-n2)5225104〔3〔3〕(a+2)(a—2)(a4+4a2+16)4〕(x2+2xy+y2)(x2一xy+y2)21求x3+的值.x3例4a+b+c=0，求a(—+)+b(—+)+c(—+)的值.bccaab例5计算(没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数)：1〕〔2〕\：'(1—x例5计算(没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数)：1〕〔2〕\：'(1—x)2+£(2—x)2(x>1)3〕4〕x3+例62+石_2-羽2-府y~2+爲，求x3+y3的值．例7化简：〔1例62+石_2-羽2-府y~2+爲，求x3+y3的值．例7化简：〔1〕x2+3x+96x2x2—27+9x—x26+2x1〕解法一：原式=x(x+1)x+12〕1—xx+x2—1解法二：原式=解：原式=x+(1—x)•x(x+1)(x—1)x+(1—x)-x(x—丄)-xxx+x2—1x2+3x+96xxx—

x+1xx—x+1x2x+1x(x+1)x2+x-x+(x—3)(x2+3x+9)x(9—x2)2(3+x)x—3(x+3)(x—3)2(x—3)_2(x+3)—12—(x—1)(x—3)_—(x—3)2_3—x-2(x+3)(x—3)-2(x+3)(x—3)一2(x+3)说明：(1)分式的乘除运算一般化为乘法进展，当分子、分母为多项式时，应先因式分解再进展约分化简(2)分式的计算结果应是最简分式或整式稳固练习】1.解不等式x+3+x—2<711x2+xy+y22．设x二K'y=73正，求代数式2．3.当3a2+ab—2b2=0(a丰0,b丰0)aba2+b2求b—a的值.4．求x4+x2+2x—1的值.5.计算(x+y+z)(—x+y+z)(x—y+z)(x+y—z)6.化简或计算：⑴皿—胡J)¥(3)xw'x+xjyx+\：'xy+yxy—y2xx—yy(4)Qa+b—'.'ab、：a+、；'bax.ab+ba+b)<ab•各专题参考答案•专题一数与式的运算参考答案例1〔1〕解法1:由x—2—0，得x=2;①假设x>2,不等式可变为X-2<1，即x<3；②假设x<2,不等式可变为-(X-2)<1,即—x+2<1,解得：x>1•综上所述，原不等式的解为1<x<3.解法2：为x轴上坐标为x的点到坐标为2的点之间的距离小于1，观察数轴可知坐标为x的点在坐标为3的点的左侧，在坐标为1的点的右侧．所以原不等式的解为解法2：为x轴上坐标为x的点到坐标为2的点之间的距离小于1，观察数轴可知坐标为x的点在坐标为3的点的左侧，在坐标为1的点的右侧．所以原不等式的解为1<x<3．解法3x—2<1o—1<x—2<1o1<x<3，所以原不等式的解为1<x<3.〔2]解法一：由x一1—0，得x二1；由x一3二0，得x二3；①假设x<1，不等式可变为一(x-1)一(x-3)>4，即一2x+4>4,解得xVO,又xV1,「.xV0;②假设1Wx<2，不等式可变为(x一1)-(x-3)>4，即1>4,二不存在满足条件的x;③假设x>3，不等式可变为(x-1)+(x-3)>4，即2x-4>4,解得x>4.又x》3,「.x>4.综上所述，原不等式的解为xVO,或x>4.lx；31解法二：如图，x—1表示x轴上坐标为x的点P到坐标为1的点A之间的距离|PA|,即|PA|=|x—1|;|x—3|表示x轴上点P到坐标为2的点B之间的距离|PB|，即|PBlx；31所以，不等式|x-1|+|x->4的几何意义即为|PA|+|PB|>4.由|AB|=2PCA可知点P在点C(坐标为0)的左侧、或点P在点D(坐标为4)的右侧.x_0_1所以原不等式的解为xVO,或x>4.lx-1l例2〔1〕解:原式=[x2+(—2x)+3〕2=(x2)2+(—、:2x)2+(3)2+2x2(—\;2)x+2x2x3+2x3x(—--J2x)

TOC\o"1-5"\h\z82迈1=x4―2\：2x3+x2―x+—339说明：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列．〔2〕原式=(丄m)3一(丄n)3=—m3一1n521258〔3〕原式=(a2一4)(a4+4a2+42)=(a2)3一43=a6一64〔4〕原式二(x+y)2(x2一xy+y2)2=[(x+y)(x2一xy+y2)]2=(x3+y3)2=x6+2x3y3+y6例3解：x2一3x=1=0x丰0x+—=3x原式二(x+—)(x2—1+丄)=(x+—)[(x+—)2—3]=3(32—3)=18TOC\o"1-5"\h\zxx2xx例4解:a+b+c=0,.a+b=一c,b+c=—a,c+a=—bb+c7a+ca+ba(—a)b(-b)c(—c)a2+b2+c2•••原式=a-+b-+c•=++=-①bcacabbcacababca3+b3=(a+b)[(a+b)2一3ab]=—c(c2一3ab)=—c3+3abc3abcca3+b3+c3=3abc②，把②代入①得原式=—=—3abc例5解：〔1〕原式=3(2一同=竺二③=6—3爲(2+73)(2-73)22—3〔2〕原式=Ix—II+1x—21=(x—1)+〔2〕原式=Ix—II+1x—21=(x—1)—(x—2)=1(1<x<2)说明：注意性质、.；a2=IaI的使用：当化去绝对值符号但字母的X围未知时，要对字母的取值分类讨论.,a+bJa2,a+bJa2b+ab2原式二-ab-一2x原式二2x-x2+x22x二—xjx+2jSx=3J2T—xjx2x2x=2+'3=(2+"3"=7+4；3,y=7—4、.：3—x+y=14,xy=12一梟22—3原式二(x+y)(x2一xy+y2)=(x+y)[(x+y)2一3xy]=14(142一3)=2702说明：有关代数式的求值问题：(1)先化简后求值；(2)当直接代入运算较复杂时，可根据结论的构造特点倒推几步，再代入条件，有时整体代入可简化计算量．【稳固练习】ab4〕例6解：4.34.3-、再1.一4VxV32.一33.一3或265.—x4一y4一z4+2x2y2+2x2z2+2y2z263y[3]立方根的概念：叫做a的