中考数学圆的综合综合经典题及详细答案

中考数学圆的综合综合经典题及详细答案一、圆的综合1.如图，四边形0ABe是平行四边形，以。为圆心，0A为半径的圆交AB于D,延长A。交。于E,连接CD,CE,若CE是。。的切线，解答下列问题：(1)求证：CD是。0的切线；(2)若BC=4,CD=6,求平行四边形0ABC的面积.【解析】试题分析：(1)连接OD,求出NEOC=N口0^根据SAS推出△EOS△DOC,推出NODC=NOEC=90°,根据切线的判定推出即可；(2)根据切线长定理求出CE=CD=4,根据平行四边形性质求出OA=OD=4,根据平行四边形的面积公式=24COD的面积即可求解.试题解析：(1)证明：连接OD,;OD=OA,「.NODA=NA,丁四边形OABC是平行四边形，OCIIAB,「.NEOC=NA,NCOD=NODA,「.NEOC=NDOC,在^EOC和^DOC中，'OE=OD</EOC=/DOC^OC=OC•.△EOC^△DOC(SAS),「.NODC=NOEC=90°,即OD±DC,•.CD是。O的切线；(2)由(1)知CD是圆O的切线，•.△CDO为直角三角形，1:'△cdo=CD・OD,又丁0A=BC=0D=4,1•SacDo=2X6x4=12,・•・平行四边形OABC的面积S=2S.cdo=24.2.如图，OM交x轴于B、C两点，交y轴于八，点M的纵坐标为2.B(-3<3,0),C(<3,0).(1)求OM的半径；(2)若CE±AB于H,交y轴于F,求证：EH=FH.(3)在(2)的条件下求AF的长.4 也 匕【答案】(1)4；(2)见解析；(3)4.【解析】【分析】(1)过M作MT±BC于T连BM,由垂径定理可求出BT的长，再由勾股定理即可求出BM的长；(2)连接AE,由圆周角定理可得出NAEC=NABC,再由AAS定理得出^AEHM△AFH,进而可得出结论；(3)先由(1)中^BMT的边长确定出NBMT的度数，再由直角三角形的性质可求出CG的长，由平行四边形的判定定理判断出四边形AFCG为平行四边形，进而可求出答案.【详解】(1)如图(一)，过M作MT±BC于T连BM,「BC是O0的一条弦，MT是垂直于BC的直径，BT=TC=1BC=2<3,・•.BM=V12T4=4；(2)如图(二)，连接AE,则NAEC=NABC,;CE±AB,「.NHBC+NBCH=90°在^COF中，ZOFC+ZOCF=90°,ZHBC=ZOFC=ZAFH,在^AEH和^AFH中，ZAFH=/AEH</AHF=/AHE,AH=AH：.△AE也△AFH(AAS),EH=FH；(3)由(1)易知，ZBMT=ZBAC=60°,作直径BG,连CG,则NBGC=NBAC=60°,VOO的半径为4,CG=4,连AG,丁ZBCG=90°,CG_Lx轴，CGIIAF,ZBAG=90°,AG±AB,CE±AB,AGIICE,「•四边形AFCG为平行四边形，AF=CG=4.【点睛】本题考查的是垂径定理、圆周角定理、直角三角形的性质及平行四边形的判定与性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键..（类比概念）三角形的内切圆是以三个内角的平分线的交点为圆心，以这点到三边的距离为半径的圆，则三角形可以称为圆的外切三角形，可以得出三角形的三边与该圆相切.以此类推，如图1,各边都和圆相切的四边形称为圆外切四边形

（性质探究）如图1,试探究圆外切四边形的ABCD两组对边AB,CD与BC,AD之间的数量关系猜想结论：（要求用文字语言叙述）写出证明过程（利用图1,写出已知、求证、证明）（性质应用）①初中学过的下列四边形中哪些是圆外切四边形（填序号）A：平行四边形：B：菱形：C：矩形；D：正方形②如图2，圆外切四边形ABCD，且AB=12,CD=8,则四边形的周长是.③圆外切四边形的周长为48cm,相邻的三条边的比为5：4：7,求四边形各边的长.【答案】见解析.【答案】见解析.【解析】【分析】（1）根据切线长定理即可得出结论；（2）①圆外切四边形是内心到四边的距离相等，即可得出结论；②根据圆外切四边形的对边和相等，即可求出结论；③根据圆外切四边形的性质求出第四边，利用周长建立方程求解即可得出结论.【详解】性质探讨：圆外切四边形的对边和相等，理由：如图1,已知：四边形ABCD的四边AB,BC,CD,DA都于。O相切于G,F,E,H.求证：AD+BC=AB+CD.证明：:AB,AD和。O相切，」.AG=AH,同理：BG=BF,CE=CF,DE=DH,「.AD+BC=AH+DH+BF+CF=AG+BG+CE+DE=AB+CD，即：圆外切四边形的对边和相等.故答案为：圆外切四边形的对边和相等；性质应用：①;根据圆外切四边形的定义得：圆心到四边的距离相等.;平行四边形和矩形不存在一点到四边的距离相等，而菱形和正方形对角线的交点到四边的距离相等.故答案为：B,D；②:圆外切四边形ABCD,「.AB+CD=AD+BC.;AB=12,CD=8,「.AD+BC=12+8=20,「.四边形的周长是AB+CD+AD+BC=20+20=40.故答案为：40；」•设此三边为5x,4x,7x，根据圆外切四边形的性质③;相邻的三条边的比为5：4：7,得：第四边为5」•设此三边为5x,4x,7x，根据圆外切四边形的性质・・•圆外切四边形的周长为48cm,，4x+5x+7x+8x=24x=48,，x=2,••.此四边形的四边为4x=8cm,5x=10cm,7x=14cm,8x=16cm.【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了新定义圆的外切的性质，四边形的周长，平行四边形，矩形，菱形，正方形的性质，切线长定理，理解和掌握圆外切四边形的定义是解答本题的关键..如图，为。。的直径，点。为八B下方。。上一点，点C为弧八BD的中点，连接CD,CA.（1）求证：ZABD=2ABDC；（2）过点C作CHLAB于儿交4）于E,求证：EA=EC；（3）在（2）的条件下，若0H=5,4）=24,求线段DE的长度.9【答案】（1）证明见解析；（2）见解析；（3）DE二万.【解析】【分析】（1）连接AD，如图1,设NBDC=a,NADC=B，根据圆周角定理得到NCAB=NBDC=a，由AB为。。直径，得到NADB=90°，根据余角的性质即可得到结论；（2）根据已知条件得到NACE=NADC，等量代换得到NACE=NCAE，于是得到结论；（3）如图2,连接0C，根据圆周角定理得到NCOB=2NCAB，等量代换得到NCOB=NABD，根据相似三角形的性质得到OH=5,根据勾股定理得到AB=、SD2+BD2=26，由相似三角形的性质即可得到结论.【详解】（1）连接AD.如图1，设NBDC=a，NADC=3，则NCAB=NBDC=a，

•.•点C为弧八BD中点，，AC=•.•点C为弧八BD中点，，AC=CD, D4C=B，.・・•/B为。。直径,Z>408=90°,「.01+0=90°,0=90°-a,(P-a),ZABD=2a,•.NABD=2NBDC；C cZDAB=^>-a,ZABD=90°-ZDAB=90°-(2)CH±AB,ZACE+ZCAB=ZADC+ZBDC=90°,•：ZC4B=ZCDB,：.ZACE=NADC,ZC4E=ZADC,ZACE=ACAE,AE=CE；(3)如图2,连接。C,NC0B=2NC4B,OHOC1-：ZABD=2ABDC,ZBDC=NCAB,/.ZCOB=ZOHOC1;OH=5,「.BD=10■：;OH=5,「.BD=10'AB=VAD2+BD2=26,「.AO=13,「.AH=18,「△AHE-△「△AHE-△ADBAHAEADAB18AE即——=一2426oBUIoBUI【点睛】本题考查了垂径定理，相似三角形的判定和性质等腰三角形的判定和性质，正确的作出本题考查了垂径定理，相似三角形的判定和性质等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键.5.如图1,将长为10的线段OA绕点O旋转90°得到03,点A的运动轨迹为AB，P是半径0B上一动点，Q是AB上的一动点，连接PQ.发现：NPOQ发现：NPOQ=时，PQ有最大值，最大值为.思考：(1)如图2,若P是0B中点，且QP±OB于点P,求BQ的长;(2)如图3,将扇形AOB沿折痕AP折叠，使点B的对应点B'恰好落在OA的延长线上，求阴影部分面积;探究：如图4,将扇形OAB沿PQ折叠，使折叠后的弧QB'恰好与半径OA相切，切点为C,若0P=6,求点。到折痕PQ的距离.【答案】发现：90°,10思考：（1）二~3兀；（2）25n-100+：2+100；（3）点O到折痕PQ的距离为＜30.【解析】分析：发现：先判断出当PQ取最大时，点Q与点A重合，点P与点B重合，即可得出结论；思考：（1）先判断出NPOQ=60°，最后用弧长用弧长公式即可得出结论；（2）先在RSB'OP中，OP2+（10、.'2-10）2=（10-OP）2，解得OP=10%2-10，最后用面积的和差即可得出结论.探究：先找点O关于PQ的对称点O',连接OO‘、O‘B、O’C、O'P,证明四边形OCO'B是矩形，由勾股定理求O'B,从而求出OO′的长，则OM=1OO'=".30.详解：发现：.「P是半径OB上一动点，Q是AB上的一动点,「•当PQ取最大时，点Q与点A重合，点P与点B重合，此时，NPOQ=90°,PQ=、OAA22+OB2=10x.2；思考：（1）如图，连接OQ,()•・・点P是OB的中点，「•OP=1OB=1OQ.2 2;QP±OB,「.NOPQ=90°OP1在RSOPQ中，COSNQOP=7777=2,OQ2「.NQOP=60°,1 60兀义1010'1=18^二T兀；(2)由折叠的性质可得，BP=B'P,AB'=AB=10x2,在RSB'OP中，OP2+(10工2-10)2=(10-OP)2解得op=ioJJ-io,S=S-2Sa=90兀*102-2义-x10*(10*'2-10)阴影扇形AOB△AOP360 2 '=25n-10022+100；探究：如图2,找点O关于PQ的对称点0',连接OO‘、O‘B、O’C、O'P,则OM=O'M,OO'±PQ,O'P=OP=3,点。‘是BQ所在圆的圆心，O'C=OB=10，;折叠后的弧QB′恰好与半径OA相切于C点，「.OSAO，・•・O'CIIOB，「•四边形OCO'B是矩形，在RSO'BP中，O‘B=%；62—42=2x/5，在RSOBO'K，OO'=\：-02-(2v;5)2=2<30，「.OM=5OO'=5X2<30=v30，即O到折痕PQ的距离为、/30.点睛：本题考查了折叠问题和圆的切线的性质、矩形的性质和判定，熟练掌握弧长公式n兀Rl= （n为圆心角度数，R为圆半径），明确过圆的切线垂直于过切点的半径，这是常180考的性质；对称点的连线被对称轴垂直平分..如图，已知在△ABC中，AB=15，AC=20，tanA=1，点P在AB边上，OP的半径为定长.当点P与点B重合时，OP恰好与AC边相切；当点P与点B不重合时，OP与AC边相交于点M和点N.（1）求OP的半径；（2）当AP=6/时，试探究△八「1\/1与4PCN是否相似，并说明理由.【答案】（1）半径为35；（2）相似，理由见解析.【解析】【分析】（1）如图，作BDLAC,垂足为点D,OP与边AC相切，则BD就是OP的半径，利用解直角三角形得出BD与AD的关系，再利用勾股定理可求得BD的长；（2）如图，过点P作PH±AC于点七作BDLAC，垂足为点D，根据垂径定理得出MN=2MH，PM=PN，再利用勾股定理求出PH、AH、MH、MN的长，从而求出AM、NC的长，然后求出AMT、PN的值，得出AM=PN，利用两边对应成比例且夹角相等的两MPNC MPNC三角形相似即可证明.【详解】（1）如图，作BDLAC，垂足为点D，•.・OP与边AC相切，「•BD就是OP的半径，在Rt△ABD中，tanA=万=五设BD=x，则UAD=2x，「♦X2+(2X)2=152,解得：x=3y'5,.•・半径为3A；(2)相似，理由见解析，如图，过点P作PH±AC于点H,作BDLAC,垂足为点D,」.PH垂直平分MN,「.PM=PN,在RSAHP中，tanA=1=PH,2AH设PH=y,AH=2y,y2+(2y)2=(6<5)2解得：y=6(取正数)，ph=6,AH=12,在RSMPH中，MH=—MH=—62=3「.MN=2MH=6,「.AM=AH-MH=12-3=9,NC=AC-MN-AM=20-6-9=5,,AM_9_3<5PN3v5 = -= ・ = MP3t5 5NC5AMPN」. = =MPNC又「PM=PN,「.NPMN=NPNM,「.NAMP=NPNC,「.△AMP-△PNC.【点睛】本题考查了解直角三角形、垂径定理、相似三角形的判定与性质等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线、灵活应用相关的性质与定理是解题的关键..如图，A是以BC为直径的OO上一点，AD±BC于点D,过点B作OO的切线，与CA的延长线相交于点E,G是AD的中点，连结CG并延长与BE相交于点F,延长AF与CB的延长线相交于点P.(1)求证：BF=EF：(2)求证：PA是OO的切线；(3)若FG=BF,且OO的半径长为322，求BD的长度.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)2J2【解析】分析：(1)利用平行线截三角形得相似三角形，得△BFC-△DGC且4FEC-△GAC,得到对应线段成比例，再结合已知条件可得BF=EF；(2)利用直角三角形斜边上的中线的性质和等边对等角，得到NFAO:NEBO,结合BE是圆的切线，得到%_LO4,从而得到力是圆。的切线；(3)点F作FHL\D于点H,根据前两问的结论，利用三角形的相似性质即可以求出BD的长度.详解：证明：(1);BC是圆。的直径，BE是圆。的切线，EB±BC.又.'.ADWBE.△BFd△DGC,△FEC-△GAC,.EFCFEFCF- = , = ,CGCGAGCGBFEF「.一一—DGAG丁G是AD的中点,「.DG—AG,「.BF—EF；⑵连接AO,AB.丁BC是圆O的直径，「.NBAC=90°,由⑴得：在RtABAE中，F是斜边BE的中点,「.AF—FB—EF,可得NFBA—NFAB,又「OA—OB,「.NABO—NBAO,丁BE是圆O的切线，「.NEBO=90°,「.NFBA+NABO—90°,「.NFAB+NBAO—90°,即NFAO—90°,「.PA±OA,「•PA是圆O的切线；(3)过点F作FH±AD于点H,E由(2),知NFBA=NBAF,「.BF=AF.;BF=FG,「.AF=FG,・•.△AFG是等腰三角形.;FH±AD,「.AH=GH,;DG=AG,「.DG=2HG.HGDG「FHHBD,BFHAD,NFBD=90°,••・四边形BDHF是矩形，「.BD=FH,FHHG_1CD-DG―2BD_1——,CD2:。的半径长为3,•=BC=6.、.-'2,一一「.BD=3BC=2、；2.点睛：本题考查了切线的判定、勾股定理、圆周角定理、相似三角形的判定与性质.结合已知条件准确对图形进行分析并应用相应的图形性质是解题的关键.8.如图，△ABC内接于。0,且AB为。O的直径.NACB的平分线交。O于点D,过点D作。。的切线PD交CA的延长线于点P,过点A作AE_LCD于点E,过点B作BF_LCD于点(1)求证：DPIIAB；(2)若AC=6,BC=8,求线段PD的长.【答案】详见解析【解析】【分析】(1)连接0D,由AB为O。的直径，根据圆周角定理得NACB=90。，再由ZACD=ZBCD=45°,则NDAB=ZABD=45°,所以△DAB为等腰直角三角形，所以DO_LAB,根据切线的性质得OD_LPD,于是可得到DPIIAB.(2)先根据勾股定理计算出AB=10,由于△DAB为等腰直角三角形，可得到AD二AB10由4ACE为等腰直角三角形，得到AE=CEAD二AB10由4ACE为等腰直角三角形，得到AE=CE=AC=72"，在RtAAED中利用勾股定理计算出DE=4<2，则易证得「.△PDA-△-PDPCD，得到正PAADPDCD5^，所以PA=5PD,7K2 7PC=5PD，然后利用PC=PA+AC可计算出PD.【详解】解：(【详解】解：(1)证明：如图，连接OD,丁AB为。O的直径，，NACB=90°.「NACB的平分线交。O于点D,「.NACD=NBCD=45°.・•.NDAB=NABD=45°.「.△DAB为等腰直角三角形.「.DO±AB.丁PD为。O的切线，，OD±PD.

DPIIAB.(2)在Rt^ACB中，AB-BC；=DPIIAB.(2)在Rt^ACB中，AB-BC；=1。，・「△DAB为等腰直角三角形，・•.WD=¥=&=5也、，一一,_一一, AC6-CD,…CE为等腰直角三角形.在Rt^AED中，DE=JaD：_AE\=#5#, =40,CD=CE-DE=3应♦"=『也•ABIIPD,ZPDA=ZDAB=45°./.ZPAD=ZPCD.又•「ZDPA=ZCPD,△PDA-△pcd.pc=ro=cn=7^「•PA=ZpD,PC=5PD.7又:PC=PA+AC,「.5PD+6=5PD,解得3S

PD=—.49.对于平面直角坐标系xOy中的线段MN和点R给出如下定义：点A是线段MN上一个动点，过点A作线段MN的垂线l，点P是垂线l上的另外一个动点.如果以点P为旋转中心，将垂线l沿逆时针方向旋转60°后与线段MN有公共点，我们就称点P是线段MN的“关联点”.如图，M(1,2),N(4,2).(1)在点P1(1,3),P2(4,0),P3(3,2)中，线段MN的“关联点”有—；(2)如果点P在直线y=%+1上，且点P是线段MN的“关联点”，求点P的横坐标x的取值范围；(3)如果点P在以。(1,一1)为圆心，,为半径的。。上，且点P是线段MN的“关联点”，直接写出O。半径r的取值范围.【答案】(1)P和P.；(2)K%W入3T；(3)三3WrW3+k3.13 2 2【解析】【分析】（1）先根据题意求出点P的横坐标的范围，再求出P点的纵坐标范围即可得出结果；（2）由直线y=x+l经过点M（1,2）,得出x“，设直线y=x+l与P4N交于点A,过点A作AB_LMN于B,延长AB交x轴于C,则在△AMN中，MN=3,ZAMN=45°,ZANM=30°,设AB=MB=a,tanNANM="，即tan30°=—匕，求出a即可得出结果；BN 3-a（3）圆心O到P4的距离为r的最大值，圆心O到MP5的距离为r的最小值，分别求出两个距离即可得出结果.【详解】（1））如图1所示：图1・•点A是线段MN上一个动点，过点A作线段MN的垂线1，点P是垂线l上的另外一个动点，M（1，2），N（4，2），.•.点P的横坐标1<x<4，:以点P为旋转中心，将垂线1沿逆时针方向旋转60°后与线段MN有公共点，当NMPN=60°时，PM=MN0=卫=<3，tan60。v3同理P'N=<3，••点P的纵坐标为2-、运或2+后，即纵坐标2-；3<y<2+、；3，线段MN的“关联点〃有P1和P3；故答案为：P1和P3；（2）线段MN的“关联点〃P的位置如图所示,直线y=X+1经过点M（1，2），•x>1.设直线y=x+1与匕/v交于点x.过点八作《B_LM/V于B,延长八B交x轴于C.由题意易知，在△AM/V中，MN=3,/AMN=45°,AANM=30°.^AB=MB=a,a「•tanzATW=——，即tan30o=——,3—a3%；3—3TOC\o"1-5"\h\z解得a= .2•••点A的横坐标为x=a+1=3d3—3+1=3"T.\o"CurrentDocument"2 2♦ /3。-1\o"CurrentDocument"-x< .……3<3-1\o"CurrentDocument"综上1<x< .2(3)点P在以O(1,-1)为圆心，r为半径的。O上，且点P是线段MN的“关联点”，如图3所示：:t曰/连接P4O交x轴于点D，P4、M、D、O共线，则圆心O到P4的距离为r的最大值，由(1)知：MP4=NP5=<3，即OD+DM+MP4=1+2+\运=3+<3，圆心O到MP5的距离为r的最小值，作OE，MP5于E，连接OP5,则OE为r的最小值，MP屋MN2+NP;=(32+(73)2=2<3，OM=OD+DM=1+2=3，△OMP的面积=1OE・MP『1OM・MN，即1xOEx2<3=1x3x3,5 2 52 2 2解得：。E=手•苧处3+、,3.【点睛】本题是圆的综合题，考查了旋转、直角三角形的性质、勾股定理、最值等知识，熟练掌握〃关联点〃的含义，作出关于MN的〃关联点〃图是关键.10.解决问题：（1）如图①，半径为4的。。外有一点P,且尸。=7,点A在。。上，则PA的最大值和最小值分别是和.（2）如图②，扇形AOB的半径为4,N495=45。，P为弧AB上一点，分别在OA边找点E,在OB边上找一点F,使得△际周长的最小，请在图②中确定点E、F的位置并直接写出尸周长的最小值；拓展应用G）如图③，正方形ABCD的边长为4J2；E是CD上一点（不与D、C重合）,CF1BE于F,P在BE上，且PF=CF,M、N分别是AB、AC上动点，求好MN周长的最小值.【答案】（1）11,3；（2）图见解析，*EF周长最小值为4V2；（3）4^10—4、；2.【解析】【分析】（D根据圆外一点P到这个圆上所有点的距离中，最远是和最近的点是过圆心和该点的直线与圆的交点，容易求出最大值与最小值分别为11和3；G）作点P关于直线OA的对称点＜，作点P关于直线OB的对称点P2,连接P、P2,与OA、OB分别交于点E、F,点E、F即为所求，此时△PEF周长最小，然后根据等腰直角三角形求解即可；G）类似（2）题作对称点，#MN周长最小=PP2,然后由三角形相似和勾股定理求解.【详解】解：（D如图①，•.•圆外一点P到这个圆上所有点的距离中，最大距离是和最小距离都在过圆心的直线OP上，此直线与圆有两个交点，圆外一点与这两个交点的距离个分别最大距离和最小距离./.PA的最大值=PA2=PO+OA2=7+4=11,PA的最小值=PA1=PO—OA1=7-4=3,故答案为11和3；（2）如图②，以O为圆心，OA为半径，画弧AB和弧BD,作点P关于直线OA的对称点<，作点P关于直线OB的对称点q，连接仆、P2，与OA、OB分别交于点E、F,点E、F即为所求.连接OP、0P2、OP、PE、PF,TOC\o"1-5"\h\z由对称知识可知，NAOP=ZAOP,ZBOP=ZBOP,PE=PE,PF=PF1 2 1 2\o"CurrentDocument"...ZAOP+ZBOP=ZAOP+ZBOP=ZAOB=45,1 2ZPOP=450+45°=90°,1 2・••△P］为等腰直角三角形，・•・PPfOP=4K2,12 1\o"CurrentDocument"PPFF周长=PE+PF+EF=PE+PF+EF=PP4V-2,止匕时△PEF周长最小.1 2 12 故答案为4<2；G）作点P关于直线AB的对称P1,连接AP、BP,作点P关于直线AC的对称P2,连接P1、P2，与AB、AC分别交于点M、k如图③由对称知识可知，PM=PM,PN=PN,aPMN周长TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"2=PM+PN+MN=PM+PN+MN=PP,1 2 12此时，△PMN周长最小=P1P2.由对称性可知，ZBAP=ZBAP,ZEAP=ZEAP,AP=AP=AP,1 2 1 2\o"CurrentDocument"・•・ZBAP+ZEAP=ZBAP+ZEAP=ZBAC=45°1 2ZPAP=45°+45°=90°,1 2AP\为等腰直角三角形，△尸/WN周长最小值PP=2AAP，当AP最短时，周长最小.12连接DF./CF1BE，且PF=CF,PC=:.ZPCF=45。，CF=<2・・ZAC5=45。，:.ZPCF=ZACD,ZPCA=ZFCD,ACCdACPC,在^APC与aDFC中，——= ,ZPCA=ZFCDCDCF.△APC〜aDFC,

・・・丝二任二在，DFCDaAP=&DF.・/BFC=90,取AB中点O..・•点F在以BC为直径的圆上运动，当D、F、O三点在同一直线上时，DF最短.DF=DO-FO=%OC2+CD2-OC=v；(2<2)2+(4<2)2-2；2=2<10-2d2,...AP最小值为AP=2DDF•・此时，MN周长最小值PP=2AAP=■五•%2DF=22•12口口【点睛】本题考查圆以及正方形的性质，运用圆的对称性和正方形的对称性是解答本题的关键.11.如图1,在R3ABC中，NABC=90°,BA=BC,直线MN是过点A的直线CD±MN于点D,连接BD.(1)观察猜想张老师在课堂上提出问题：线段DC,AD,BD之间有什么数量关系.经过观察思考，小明出一种思路：如图1,过点B作BELBD,交MN于点E,进而得出：DC+AD=BD.(2)探究证明将直线MN绕点A顺时针旋转到图2的位置写出此时线段DC,AD,BD之间的数量关系，并证明(3)拓展延伸在直线MN绕点A旋转的过程中，当△ABD面积取得最大值时，若CD长为1,请直接写BD的长.

【答案】(1)<2；(2)AD-DC-.'2BD；(3)BD=AD=%2+1.【解析】【分析】(1)根据全等三角形的性质求出DC,AD,BD之间的数量关系(2)过点B作BELBD,交MN于点E.AD交BC于O,证明ACDB^AAEB，得到CD=AE,EB=BD,根据ABED为等腰直角三角形，得到DE=\；2BD,再根据DE=AD—AE=AD—CD，即可解出答案.(3)根据A、B、C、D四点共圆，得到当点D在线段AB的垂直平分线上且在AB的右侧时，△ABD的面积最大.在DA上截取一点H,使得CD=DH=1,则易证CH=AH=<2,由BD=AD即可得出答案.【详解】解：(1)如图1中，由题意：ABAEZABCD,「.AE=CD,BE=BD,「.CD+AD=AD+AE=DE,•••abde是等腰直角三角形，:DE=t：2BD,・•.DC+AD=QBD,故答案为2.AD-DC=%2BD.证明：如图，过点B作BE_LBD,交MN于点E.AD交BC于0..ZABC=ZDBE=90°,..ZABE+ZEBC=ZCBD+ZEBC,..ZABE=ZCBD.ZBAEZAOB=90°,/BCD+NCOD=90。,ZAOB=ZCOD,..ZBAE=ZBCD,..ZABE=ZDBC.又.AB=CB,..ACDB^AAEB,..CD=AE,EB=BD,・•.ABD为等腰直角三角形，DE=、①BD.DE=AD-AE=AD-CD,「•AD-DC=v-'2BD.(3)如图3中，易知A、B、C、D四点共圆，当点D在线段AB的垂直平分线上且在AB的右侧时，△ABD的面积最大.图3此时DG^AB,DB=DA,在DA上截取一点H,使得CD=DH=1,则易证CH=AH=<2,「•BD=AD=<2+1.【点睛】本题主要考查全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质以及图形的应用，正确作辅助线和熟悉图形特性是解题的关键.12.如图，已知：AB是。O的直径，点C在。O上，CD是。O的切线，AD±CD于点D,E是AB延长线上一点，CE交。O于点F,连接OC、AC.（1）求证：AC平分NDAO.（2）若NDAO=105°,ZE=30°①求NOCE的度数；②若。。的半径为2J2，求线段EF的长.【答案】（1）证明见解析；（2）①NOCE=45°；②EF=2<3-2.【解析】【试题分析】（1）根据直线与OO相切的性质，得OCLCD.又因为ADLCD，根据同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线也平行，得：AD//OC.NDAC=NOCA.又因为OC=OA，根据等边对等角，得NOAC=NOCA.等量代换得：NDAC=NOAC.根据角平分线的定义得：AC平分NDAO.（2）①因为AD//OC，NDAO=105°，根据两直线平行，同位角相等得，NEOC=NDAO=105°，在AOCE中，nE=30°，利用内角和定理，得：NOCE=45°.②作OGLCE于点G，根据垂径定理可得FG=CG，因为OC=2<2，NOCE=45°.等腰直角三角形的斜边是腰长的22倍，得CG=OG=2.FG=2在RtAOGE中，NE=30°，得GE=2<3，则EF=GE-FG=2<3-2.【试题解析】（1）:直线与OO相切，「.OC±CD.又;AD±CD，「.AD//OC.「.NDAC=NOCA.又「OC=OA，「.NOAC=NOCA.「.NDAC=NOAC.」.AC平分/DAO.（2）解:①:AD//OC，NDAO=105°，」.NEOC=NDAO=105°;NE=30°，」.NOCE=45°.②作OG^CE于点G，可得FG=CG;OC=2d2，NOCE=45°.「.CG=OG=2.「.FG=2.「在RtAOGE中，NE=30°，「.GE=2、/3.「.EF=GE-FG=2/-2.

【方法点睛】本题目是一道圆的综合题目，涉及到圆的切线的性质，平行线的性质及判定，三角形内角和，垂径定理，难度为中等.13.如图，已知AB是。。的直径，P是BA延长线上一点，PC切。。于点C,CD±AB,垂足为D.S阴影部分【详解】S阴影部分【详解】，(1)求证：ZPCA=NABC；(2)过点A作AEIIPC交。。于点E,交CD于点F,交BC于点M,若NCAB=2NB,CF=耳，求阴影部分的面积.【答案】(1)详见解析；(2).一【解析】【分析】(1)如图，连接OC,利用圆的切线的性质和直径对应的圆周角是直角可得ZPCA=NOCB，利用等量代换可得NPCA=NABC.(2)先求出△OCA是等边三角形，在利用三角形的等边对等角定理求出FA=FC和CF=FM,然后分别求出AM、AC、MO、CD的值，分别求出Snaoe、S扇形boe、S的值，利用二SAA0e+S扇形BOE-SAABM，然后通过计算即可解答.「PC切。O于点C，cOC±PC,・•・ZPCA+ZACO=90°,44AB是。0的直径，ZACB=ZACO+OCB=905/.ZPCA=ZOCB,OC=OB,/.ZOBC=ZOCB,ZPCA=ZABC；••••••△ACB中，ZACB=905ZCAB=2ZB,ZB=30:NCAB=605/.△OCA是等边三角形，CD±AB,/.ZACD+ZCAD=ZCAD+zABC=90^ZACD=ZB=305PCIIAE/.ZPCA=ZCAE=305/.FC=FA,同理，CF=FM,「.AM=2CF=2召，RtAACM中，易得AC=2<3x三=3=OC,;NB=ZCAE=30°,「.NAOC=NCOE=60°,「.NEOB=60°,「.NEAB=NABC=30°,「.MA=MB,连接OM,EG，AB交AB于G点，如图所示，;OA=OB,;OA=OB,「.MO±AB,AMO=OAxtan30°=常3「△CDOK△EDO(AAS),「.EG=CD=ACxsin60°=333,2一 1 .一丁「.S=AB义MO=3%.3AABM 2 '同样，易求SAAOE9<3 ,4同样，易求SAAOE9<3 ,4S扇形BOE60兀义32_3兀360 2S阴影部分=S+S—SAA0E 扇形BOE AABM_9y/3+3兀-3<3【点睛】本题考查了切线的性质、解直角三角形、扇形面积和识图的能力，综合性较强，有一定难度，熟练掌握定理并准确识图是解题的关键.14.已知八C=DC,AC±DC,直线M/V经过点4作DB_LMN,垂足为B,连结CB.撼知］如图①，点人B在8同侧，且点B在八C右侧，在射线八M上截取4E=BD,连结CE,可证从而得出EC=BC,ZECB=90°,进而得出NABC=度；［探究］如图②，当点4B在8异侧时，［感知］得出的NABC的大小是否改变？若不改变，给出证明；若改变，请求出NABC的大小.［应用］在直线M/V绕点八旋转的过程中，当NBCD=30。，8。