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文档简介
2021-2022高考数学模拟试卷注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.洛书,古称龟书,是阴阳五行术数之源,在古代传说中有神龟出于洛水,其甲壳上心有此图象,结构是戴九履一,左三右七,二四为肩,六八为足,以五居中,五方白圈皆阳数,四角黑点为阴数.如图,若从四个阴数和五个阳数中分别随机选取1个数,则其和等于11的概率是().A. B. C. D.2.陀螺是中国民间最早的娱乐工具,也称陀罗.如图,网格纸上小正方形的边长为,粗线画出的是某个陀螺的三视图,则该陀螺的表面积为()A. B.C. D.3.已知直线:过双曲线的一个焦点且与其中一条渐近线平行,则双曲线的方程为()A. B. C. D.4.已知函数在上单调递增,则的取值范围()A. B. C. D.5.一个几何体的三视图及尺寸如下图所示,其中正视图是直角三角形,侧视图是半圆,俯视图是等腰三角形,该几何体的表面积是()A.B.C.D.6.已知复数,若,则的值为()A.1 B. C. D.7.盒子中有编号为1,2,3,4,5,6,7的7个相同的球,从中任取3个编号不同的球,则取的3个球的编号的中位数恰好为5的概率是()A. B. C. D.8.如图在直角坐标系中,过原点作曲线的切线,切点为,过点分别作、轴的垂线,垂足分别为、,在矩形中随机选取一点,则它在阴影部分的概率为()A. B. C. D.9.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为A. B. C.2 D.10.《易经》包含着很多哲理,在信息学、天文学中都有广泛的应用,《易经》的博大精深,对今天的几何学和其它学科仍有深刻的影响.下图就是易经中记载的几何图形——八卦田,图中正八边形代表八卦,中间的圆代表阴阳太极图,八块面积相等的曲边梯形代表八卦田.已知正八边形的边长为,阴阳太极图的半径为,则每块八卦田的面积约为()A. B.C. D.11.已知函数的值域为,函数,则的图象的对称中心为()A. B.C. D.12.在中,角所对的边分别为,已知,.当变化时,若存在最大值,则正数的取值范围为A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.点到直线的距离为________14.如图,养殖公司欲在某湖边依托互相垂直的湖岸线、围成一个三角形养殖区.为了便于管理,在线段之间有一观察站点,到直线,的距离分别为8百米、1百米,则观察点到点、距离之和的最小值为______________百米.15.袋中有形状、大小都相同的4只球,其中1只白球,1只红球,2只黄球,从中一次随机摸出2只球,则这2只球颜色不同的概率为__________.16.在矩形中,,为的中点,将和分别沿,翻折,使点与重合于点.若,则三棱锥的外接球的表面积为_____.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)金秋九月,丹桂飘香,某高校迎来了一大批优秀的学生.新生接待其实也是和社会沟通的一个平台.校团委、学生会从在校学生中随机抽取了160名学生,对是否愿意投入到新生接待工作进行了问卷调查,统计数据如下:愿意不愿意男生6020女士4040(1)根据上表说明,能否有99%把握认为愿意参加新生接待工作与性别有关;(2)现从参与问卷调查且愿意参加新生接待工作的学生中,采用按性别分层抽样的方法,选取10人.若从这10人中随机选取3人到火车站迎接新生,设选取的3人中女生人数为,写出的分布列,并求.附:,其中.0.050.010.0013.8416.63510.82818.(12分)如图,四棱锥中,底面,,点在线段上,且.(1)求证:平面;(2)若,,,,求二面角的正弦值.19.(12分)如图,已知在三棱锥中,平面,分别为的中点,且.(1)求证:;(2)设平面与交于点,求证:为的中点.20.(12分)的内角、、所对的边长分别为、、,已知.(1)求的值;(2)若,点是线段的中点,,求的面积.21.(12分)在平面直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1)求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程;(2)若直线与曲线交于、两点,求的面积.22.(10分)已知函数.(1)若函数的图象与轴有且只有一个公共点,求实数的取值范围;(2)若对任意成立,求实数的取值范围.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.A【解析】
基本事件总数,利用列举法求出其和等于11包含的基本事件有4个,由此能求出其和等于11的概率.【详解】解:从四个阴数和五个阳数中分别随机选取1个数,基本事件总数,其和等于11包含的基本事件有:,,,,共4个,其和等于的概率.故选:.【点睛】本题考查概率的求法,考查古典概型等基础知识,考查运算求解能力,属于基础题.2.C【解析】
画出几何体的直观图,利用三视图的数据求解几何体的表面积即可,【详解】由题意可知几何体的直观图如图:上部是底面半径为1,高为3的圆柱,下部是底面半径为2,高为2的圆锥,几何体的表面积为:,故选:C【点睛】本题考查三视图求解几何体的表面积,判断几何体的形状是解题的关键.3.A【解析】
根据直线:过双曲线的一个焦点,得,又和其中一条渐近线平行,得到,再求双曲线方程.【详解】因为直线:过双曲线的一个焦点,所以,所以,又和其中一条渐近线平行,所以,所以,,所以双曲线方程为.故选:A.【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质,还考查了运算求解的能力,属于基础题.4.B【解析】
由,可得,结合在上单调递增,易得,即可求出的范围.【详解】由,可得,时,,而,又在上单调递增,且,所以,则,即,故.故选:B.【点睛】本题考查了三角函数的单调性的应用,考查了学生的逻辑推理能力,属于基础题.5.D【解析】
由三视图可知该几何体的直观图是轴截面在水平面上的半个圆锥,表面积为,故选D.6.D【解析】由复数模的定义可得:,求解关于实数的方程可得:.本题选择D选项.7.B【解析】
由题意,取的3个球的编号的中位数恰好为5的情况有,所有的情况有种,由古典概型的概率公式即得解.【详解】由题意,取的3个球的编号的中位数恰好为5的情况有,所有的情况有种由古典概型,取的3个球的编号的中位数恰好为5的概率为:故选:B【点睛】本题考查了排列组合在古典概型中的应用,考查了学生综合分析,概念理解,数学运算的能力,属于中档题.8.A【解析】
设所求切线的方程为,联立,消去得出关于的方程,可得出,求出的值,进而求得切点的坐标,利用定积分求出阴影部分区域的面积,然后利用几何概型概率公式可求得所求事件的概率.【详解】设所求切线的方程为,则,联立,消去得①,由,解得,方程①为,解得,则点,所以,阴影部分区域的面积为,矩形的面积为,因此,所求概率为.故选:A.【点睛】本题考查定积分的计算以及几何概型,同时也涉及了二次函数的切线方程的求解,考查计算能力,属于中等题.9.A【解析】由给定的三视图可知,该几何体表示一个底面为一个直角三角形,且两直角边分别为和,所以底面面积为高为的三棱锥,所以三棱锥的体积为,故选A.10.B【解析】
由图利用三角形的面积公式可得正八边形中每个三角形的面积,再计算出圆面积的,两面积作差即可求解.【详解】由图,正八边形分割成个等腰三角形,顶角为,设三角形的腰为,由正弦定理可得,解得,所以三角形的面积为:,所以每块八卦田的面积约为:.故选:B【点睛】本题考查了正弦定理解三角形、三角形的面积公式,需熟记定理与面积公式,属于基础题.11.B【解析】
由值域为确定的值,得,利用对称中心列方程求解即可【详解】因为,又依题意知的值域为,所以得,,所以,令,得,则的图象的对称中心为.故选:B【点睛】本题考查三角函数的图像及性质,考查函数的对称中心,重点考查值域的求解,易错点是对称中心纵坐标错写为012.C【解析】
因为,,所以根据正弦定理可得,所以,,所以,其中,,因为存在最大值,所以由,可得,所以,所以,解得,所以正数的取值范围为,故选C.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.2【解析】
直接根据点到直线的距离公式即可求出。【详解】依据点到直线的距离公式,点到直线的距离为。【点睛】本题主要考查点到直线的距离公式的应用。14.【解析】
建系,将直线用方程表示出来,再用参数表示出线段的长度,最后利用导数来求函数最小值.【详解】以为原点,所在直线分别作为轴,建立平面直角坐标系,则.设直线,即,则,所以,所以,,则,则,当时,,则单调递减,当时,,则单调递增,所以当时,最短,此时.故答案为:【点睛】本题考查导数的实际应用,属于中档题.15.【解析】试题分析:根据题意,记白球为A,红球为B,黄球为,则一次取出2只球,基本事件为、、、、、共6种,其中2只球的颜色不同的是、、、、共5种;所以所求的概率是.考点:古典概型概率16..【解析】
计算外接圆的半径,并假设外接球的半径为R,可得球心在过外接圆圆心且垂直圆面的垂线上,然后根据面,即可得解.【详解】由题意可知,,所以可得面,设外接圆的半径为,由正弦定理可得,即,,设三棱锥外接球的半径,因为外接球的球心为过底面圆心垂直于底面的直线与中截面的交点,则,所以外接球的表面积为.故答案为:.【点睛】本题考查三棱锥的外接球的应用,属于中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)有99%把握认为愿意参加新生接待工作与性别有关;(2)详见解析.【解析】
(1)计算得到,由此可得结论;(2)根据分层抽样原则可得男生和女生人数,由超几何分布概率公式可求得的所有可能取值所对应的概率,由此得到分布列;根据数学期望计算公式计算可得期望.【详解】(1)∵的观测值,有的把握认为愿意参加新生接待工作与性别有关.(2)根据分层抽样方法得:男生有人,女生有人,选取的人中,男生有人,女生有人.则的可能取值有,,,,,的分布列为:.【点睛】本题考查独立性检验、分层抽样、超几何分布的分布列和数学期望的求解;关键是能够明确随机变量服从于超几何分布,进而利用超几何分布概率公式求得随机变量每个取值所对应的概率.18.(1)证明见解析(2)【解析】
(1)要证明平面,只需证明,,即可求得答案;(2)先根据已知证明四边形为矩形,以为原点,为轴,为轴,为轴,建立坐标系,求得平面的法向量为,平面的法向量,设二面角的平面角为,,即可求得答案.【详解】(1)平面,平面,.,,.又,平面.(2)由(1)可知.在中,,..又,,四边形为矩形.以为原点,为轴,为轴,为轴,建立坐标系,如图:则:,,,,:,设平面的法向量为,即,令,则,由题平面,即平面的法向量为由二面角的平面角为锐角,设二面角的平面角为即二面角的正弦值为:.【点睛】本题主要考查了求证线面垂直和向量法求二面角,解题关键是掌握线面垂直判断定理和向量法求二面角的方法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.19.(1)证明见解析;(2)证明见解析.【解析】
(1)要做证明,只需证明平面即可;(2)易得∥平面,平面,利用线面平行的性质定理即可得到∥,从而获得证明【详解】证明:(1)因为平面,平面,所以.因为,所以.又因为,平面,平面,所以平面.又因为平面,所以.(2)因为平面与交于点,所以平面.因为分别为的中点,所以∥.又因为平面,平面,所以∥平面.又因为平面,平面平面,所以∥,又因为是的中点,所以为的中点.【点睛】本题考查线面垂直的判定定理以及线面平行的性质定理,考查学生的逻辑推理能力,是一道容易题.20.(1)(2)【解析】
(1)利用正弦定理的边化角公式,结合两角和的正弦公式,即可得出的值;(2)由题意得出,两边平方,化简得出,根据三角形面积公式,即可得出结论.【详解】(1)由正弦定理得即即在中,,所以(2)因为点是线段的中点,所以两边平方得由得整理得,解得或(舍)所以的面积【点睛】本题主要考查了正弦定理的边化角公式,三角形的面积公式,属于中档题.21.(1),;(2).【解析】
(1)在直线的参数方程中消去参数可得出直线的普通方程,在曲线的极坐标方程两边同时乘以,结合可将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)计算出直线截圆所得弦长,并计算出原点到直线的距离,利用三角形的面积公式可求得的面积.【详解】(1)由得,故直线的普通方程是.由,得,代入公式得,得,故曲线的直角坐标方程是;(2)因为曲线的圆心为,半径为,圆心到直线的距离为,则弦长.又到直线的距离为,所以.【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与普通方程之间的转化,同时也考查了直线与圆中三角形面积的计算,考查计算能力,属于中等题.22.(1)(2)【解析】
(1)求出及其导函数,利用研究的单调性和最值,根据零点存在定理和零点定义可得的范围.(2)令,题意说明时,恒成立.同样求出导函数,由研究的单调性,通过分类讨论可得的单调性得出结论.【详解】解(1)函数所以讨论:①当时,无零点;②当时,,所以在上单调递增.取,则又,所以,此时函数有且只有一个零点;③当时,令,解得(舍)或当时,,所以在上单
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