二次函数与商品利润

第二十二章二次函数22.3实际问题与二次函数第2课时二次函数与商品利润1．能根据商品利润问题建立二次函数的解析式，并探求出在何时刻，实际问题能取得理想值，增强学生解决具体问题的能力．(重点)2．经历探索实际问题与二次函数的关系的过程，深刻理解二次函数是刻画现实世界的一个有效的数学模型．(难点)某市某中学要印制本校高中招生的录取通知书，有两个印刷厂前来联系制作业务．甲厂的优惠条件是：按每份定价1.5元的八折收费，另收900元制版费；乙厂的优惠条件是：每份定价1.5元的价格不变，而制版费900元六折优惠．且甲、乙两厂都规定：一次印刷数至少是500份．(1)分别求两个印刷厂收费y(元)与印刷数量x(份)的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；(2)如何根据印刷的数量选择比较合算的方案？解：(1)y甲＝1.5×80%·x＋900＝1.2x＋900(x≥500)；y乙＝1.5x＋900×60%＝1.5x＋540(x≥500)；(2)由题意得1.2x＋900＝1.5x＋540，∴x＝1200.∴当印刷1200份时，两个印刷厂费用一样；当印刷数量大于1200份时，甲印刷厂费用少；当印刷数量大于500小于1200份时，乙印刷厂费用少．正如一次函数能解决经济问题一样，二次函数在商品利润问题中的应用也十分广泛，让我们一起进入今天的学习吧．阅读教材P50“探究2”，解决下面的问题．某商品的进价为每件50元．当售价为每件70元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．在确保盈利的前提下，解答下列问题：(1)若设每件降价x元、每星期售出商品的利润为y元，请写出y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；(2)当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？利用二次函数求价格调整中的最大利润

老师点拨：(1)根据数量关系列出函数解析式；(2)先建立二次函数模型，将二次函数解析式转化为顶点式，再求最值．注意自变量需符合实际意义．☞某种商品每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间满足关系：y＝ax2＋bx－75.其图象如图所示．(1)销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润为多少元？(2)销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？其他类型的利润问题最值解：(1)y＝ax2＋bx－75图象过点(5,0)，(7,16)．y＝－x2＋20x－75的顶点坐标是(10,25)．当x＝10时，y最大＝25.答：销售单价为10元时，该种商品每天的销售利润最大，最大利润为25元．(2)∵函数y＝－x2＋20x－75图象的对称轴为直线x＝10，可知点(7,16)关于对称轴的对称点是(13,16)．又∵函数y＝－x2＋20x－75图象开口向下，∴当7≤x≤13时，y≥16.答：销售单价不少于7元且不超过13元时，该种商品每天的销售利润不低于16元．【例】

某经销店为某工厂代销一种工程材料，当每吨售价为240元时，月销售量为40吨，该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销，经市场调查发现：当每吨售价下降10元时，月销售量就会增加5吨，综合考虑各种因素，每售出1吨工程材料共需支付厂家及其他费用100元，设每吨材料售价为x(元)，该经销店的月利润为y(元)．(1)当每吨售价是220元时，计算此时的月销售量；(2)求出y与x的函数解析式(不要求写出x的取值范围)；(3)该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？(4)小明说：“当月利润最大时，月销售额也最大．”你认为对吗？请说明理由．

老师点拨：要分清利润、销售量与售价的关系；分清最大利润与最大销售额之间的区别．☞1．出售某种手工艺品，若每个获利x元，一天可售出(8－x)个，则当x＝_________时，一天出售该种手工艺品的总利润最大．4

2．某网店以每件60元的价格购进一批商品，若以单价80元销售，每月可售出300件，调查表明：单价每上涨1元，该商品每月的销量就减少10件．(1)请写出每月销售该商品的利润y(元)与单价上涨x(元)间的函数关系式；(2)单价定为多少时，每月销售该商品的利润最大？最大利润为多少？解：(1)由题意，可得y＝(80－60＋x)(300－10x)＝－10x2＋100x＋6000.即利润y(元)与单价上涨x(元)间的函数关系式为y＝－10x2＋100x＋6000.(2)由(1)得：y＝－10x2＋100x＋6000＝－10(x－5)2＋6250.∵a＝－10