高中数学 112量词 新人教B选修1

..1．知识与技能理解全称量词、存在量词以及全称命题、存在性命题，并能判断命题的真假．2．过程与方法通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义．3．情感态度与价值观通过本节的学习认识到两种命题在刻画现实问题、数学问题中的作用，从而激发学生的创新精神．..本节重点：理解全称量词与存在量词的概念．本节难点：判断全称命题与存在性命题的真假．..1．用集合的观点看，全称命题就是陈述某集合所有元素都具有某种性质的命题，是全体都具有的性质．而存在性命题是陈述在某集合中一些元素具有某种性质的命题，是指个体具有的性质．2．全称命题、存在性命题就是含有全称量词、存在量词的命题，学会自然语言与符号语言的转化．3．同一个全称命题、存在性命题，由于自然语言的不同，可以有不同的表述方法．..1．短语“所有”在陈述句中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做

，并用符号“

”表示，含有全称量词的命题，叫做 ．2．短语“有一个”或“有些”或“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，逻辑中通常叫做

，并用符号“

”表示，含有存在量词的命题，叫做 ．3．要判定一个全称命题为真，必须限定集合M中的每一个x验证p(x)成立，一般用代数推理的方法加以证明，要判定一个全称命题为假，只须

即可．全称量词∀全称命题存在量词∃存在性命题举一个反例.4．要判定一个存在性命题为真，只要在限定集合M中，能够找一个x＝x0，使

成立即可．否则，这一存在性命题为假．p(x0)..[例1]判断下列全称命题的真假：(1)所有的质数是奇数．(2)∀x∈R，x2＋1≥0.(3)对任何一个无理数x，x2也是无理数．.[说明]要判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；如果在集合M中找到一个元素x0，使得p(x0)不成立，那么这个全称命题为假命题．.(2010·湖南文，2)下列命题中的假命题是()A．∃x∈R，lgx＝0B．∃x∈R，tanx＝1C．∀x∈R，x3＞0 D．∀x∈R,2x＞0[答案]C[解析]本题主要考查全称命题和存在性命题真假的判断．对于选项C，∀x∈R，x3≥0，故C是假命题..[例2]判定下列存在性命题的真假：(1)存在一个实数x，使x2＋x＋1＝0.(2)存在两条相交直线垂直于同一平面．(3)存在相似三角形对应边相等．.(2)假．因为垂直于同一平面的两直线平行，所以不存在两条相交直线垂直于同一平面．(3)真．因为全等三角形一定是相似三角形，所以当两个相似三角形是全等三角形时对应边相等．[说明]要判定一个存在性命题“∃x∈M，p(x)”是真命题，只需在集合M中找一个元素x0，使p(x0)成立即可，如果在集合M中，使p(x)成立的元素x不存在，那么这个存在性命题为假命题．.判断下列存在性命题的真假．(1)∃x∈Z，x3<1；(2)∃x∈Q，x2＝5.[解析](1)由于－1∈Z，当x＝－1时，能使x3<1成立．所以命题“∃x∈Z，x3<1”是真命题．..[例3]试用不同的表述写出全称命题“矩形都是平行四边形．”[解析]对所有的矩形x，x都是平行四边形；对一切矩形x，x都是平行四边形；每一个矩形x都是平行四边形；任一个矩形x都是平行四边形；凡是矩形x都是平行四边形．设集合S＝{矩形}，p(x)：“x是平行四边形”．则命题为“∀x∈S，p(x)”．.[规律方法]同一个全称命题或存在性命题，由于自然语言的不同，可以有不同的表述方法．现列表总结于下，在实际应用中可以灵活地选择.命题全称命题“∀x∈A，p(x)”存在性命题“∃x∈A，p(x)”表述方法①所有的x∈A，p(x)成立；②对一切x∈A，p(x)成立；③对每一个x∈A，p(x)成立；④任选一个x∈A，p(x)成立；⑤凡x∈A，都有p(x)成立.①存在x∈A，使p(x)成立；②至少有一个x∈A，使p(x)成立；③对有些x∈A，使p(x)成立；④对某个x∈A，使p(x)成立；⑤有一个x∈A，使p(x)成立..设集合S＝{三角形}，p(x)：“内角和为180°”．试用不同的表述写出全称命题“∀x∈S，p(x)”．[解析]对所有的三角形x，x的内角和为180°；对一切三角形x，x的内角和为180°；每一个三角形x的内角和为180°；任一个三角形x的内角和为180°；凡是三角形，它的内角和为180°...一、选择题1．下列命题中是存在性命题的是 ()A．∀x∈R，x2≥0B．∃x∈R，x2<0C．平行四边形的对边不平行D．矩形的任一组对边都不相等[答案]B.2．下列全称命题中真命题的个数为 ()①末位是0的整数，可以被2整除．②角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．③正四面体中两侧面的夹角相等．A．1 B．2C．3 D．0[答案]C.3．在下列存在性命题中假命题的个数是()①有的实数是无限不循环小数②有些三角形不是等腰三角形③有的菱形是正方形A．0 B．1C．2 D．3[答案]A[解析]因为三个命题都是真命题，所以假命题的个数为0..4．下列命题中是真命题的是 ()A．∃x∈R，x2＋1<0B．∃x∈Z,3x＋1是整数C．∀x∈R，|x|>3D．∀x∈Q，x2∈Z[答案]B[解析]当x＝1时，3x＋1＝4是整数，故选B.

.二、填空题5．给出下列命题：①所有的单位向量都相等；②对任意实数x，均有x2＋2>x；③不存在实数x，使x2＋2x＋3<0.其中所有正确命题的序号为________．[答案]

②③..三、解答题6．用符号“∀”与“∃”表示下列命题，并判断真假．(1)不论m取