第三章单自由度系统线性振动分析

机械振动第三章单自由度系统线性振动授课人:张立 博士、教 位 同济大学汽车学智能型新能源汽车协同创新中心新能源汽车及动力系统国家工程实验室国家燃料电池汽车及动力系统工程技术研究中心 月讲授内概等效单自由度系统振动模型的建单自由度系统的固有振动单自由度系统的自由振动单自由度系统的强迫振动：简谐单自由度系统的强迫振动：一般本章小结与作2014-10- 本章讲述思对象抽

2014-10- 振动系统简化与自由度数目确1/4车单自由度振动 半车多自由度振动模 1/4车二自由度振动模2014-10- 单自由度振动系

单自由度振动

2014-10- 单自由度振动系 1

2 2 2014-10- 单自由度振动系 2014-10- 单自由度振动系统的基本元 惯性定律：FM弹性元件：系 M 定律：M符合粘性阻尼定律：FcxM外界激励：t

t

et2014-10- 讲授内概等效单自由度系统振动模型的建单自由度系统的固有振动单自由度系统的自由振动单自由度系统的强迫振动：简谐单自由度系统的强迫振动：一般本章小结与作2014-10- 振动系统动力学模型的建立方法——定义

等效质

mcxkxF mcxkxF(t)k

等效质量：mcxkxF(tc

2014-10- 振动系统动力学模型的建立方法——定义2014-10- 振动系统动力学模型的建立方法——定义

m

MPlml

l2 l1 l1

2 1k1 1

Px

me

lll2Pm2 lll2llMPl1k2l1k13l3l1l l k2x

llkPkkllx3

12014-10- 振动系统动力学模型的建立方法——能量T1m

U1kx2

D1c

m、k、

和

2014-10- 振动系统动力学模型的建立方法——能量

l 1 T m1

2

kekek2k1ll1

1m222

l2mem2mem2m1ll1l21 1

l21U kx2 k3x 1

kk3

12 1l12014-10- 振动系统动力学模型的建立方法——直接力学分析

kex

xeme

以静平衡位置为坐标原点，并假设质量

me

ce

mmgkxcx meg

cekexe(t2014-10- 振动系统动力学模型的建立方法——直接力学分析 xm

l1l

lk 1l 2l ll2cec1l24FeF42014-10- 振动系统动力学模型的建立方法——直接力学分析例题3x 23MFl l3x 23444cl2xlkl1xl44 1 1

l2

l l2 kl1

k23

mx cl

k1

l2ll

xFl1 1

4 4 2014-10- 本节小结、课后作业与选作作分析流程：物理模型→数学模型→解析求解/数值求解→按照3种坐标系建立微分方

x x2k探究三个方程之间的关联关k1

k22014-10- 讲授内概等效单自由度系统振动模型的建单自由度系统的固有振动单自由度系统的自由振动单自由度系统的强迫振动：简谐单自由度系统的强迫振动：一般本章小结与作2014-10- 单自由度振动系统的力学方

2014-10- 单自由度振动系统的固有振t

kx

2xn2014-10- n单自由度振动系统固有频率的求

nkmnkm

kkm

mg/mgkmg mg/mgkmgg g

T fn

2014-10- 单自由度振动系统固有频率的求：杆kABalkABal ka2ml

2xkmkm n

2014-10- 单自由度振动系统固有频率的求法——能量法 W的质量m＝0.0856kg，Asin(nt

则

1I 1IA22 2014-10- 单自由度振动系统固有频率的求法——能量法 当摆杆摆到最大角位移θmax 的弹性势能为：U 2

1ka2 ka22 U

mgl(1

)mgl 〔注：sin21cos1cos

22()22

1IA2 2

ka2

12

2ka2mglI02014-10- 讲授内概等效单自由度系统振动模型的建单自由度系统的固有振动单自由度系统的自由振动单自由度系统的强迫振动：简谐单自由度系统的强迫振动：一般本章小结与作2014-10- 无阻尼单自由度系统自由振

2xn微分方程通解：xtAsinntn

sint2

2x kmn km

？

t

t2014-10- 无阻尼单自由度系统自由振 x0x0Asinn0Asin

0

t

x2x2 0nxA tan1 x nx20x20 nkm xtAsinnt

t n0 2014-10- 无阻尼单自由度系统自由振

2xn x s2estns2est

2est

estn s22n

s1,2xtA

Aes2t

A

Aeint

i x0AA

ixx0AiAi

A

n2014-10- 无阻尼单自由度系统自由振xtAe

A

AeintA

ejcosj

costisint

costisint

sinnt

sin

t

2014-10- 有阻尼单自由度系统自由振cxkx

c

22x x s2ests2est

2

2s2est

est 2014-10- 有阻尼单自由度系统自由振

22

xtA

Aes2t

12A12

s2x0A1A2

sss

A1s1A2s2

212A212

0xtAes1tA

s1 s

ss1

e es12014-10- 有阻尼单自由度系统自由振动2 02

12d 12d1 2014-10- 有阻尼单自由度系统自由振动xt

s2

s1x0

es2t

s s 1 1x2x2 20d0

x20x20 012 nx0

112014-10- 有阻尼单自由度系统自由振动xt

s2

s1x0

es2ts10 0

s1i

0 0d

x0

eidttn

sindtx0cosdt

sindt2014-10- 有阻尼单自由度系统自由振动2014-10- 有阻尼单自由度系统自由振动初始位移的10％。试求缓冲器的相对阻尼系数。

xt0xtxe

sin

tcost0n0

t

n

cosdt

sindt

n sindtcosdt

2 x

sint0t 2014-10- 有阻尼单自由度系统自由振动

xe

sin

tcost

x

n x1x 1

d 11e

1 11

ln10

21

ln102

2

22014-10- 有阻尼单自由度系统自由2

s 0

s1x0x

s1 s122

1n

2 22n 22n

2

21nt 2222n

0 2222 0 0

1x

n

1tx 1t2n 2n 2014-10- 有阻尼单自由度系统自由振动——临界阻 s1,2 tn

limxt n 1ntx0 1nt2n 2n entxxt 2014-10- 有阻尼单自由度系统自由振动2014-10- 有阻尼单自由度系统自由振

xxt欠阻尼Underdamped

2014-10- 讲授内概等效单自由度系统振动模型的建单自由度系统的固有振动单自由度系统的自由振动单自由度系统的强迫振动：简谐单自由度系统的强迫振动：一般本章小结与作2014-10- 强迫振动基本概2014-10- 强迫振动基本概

F1X1F2X

FFXX无阻有阻简谐无阻有阻简谐任意2014-10- 线性叠加原x, x

kx

kxF

xtetn

sin

t

cos

tn n

2014-10- t强迫振动的线性叠加原txfFmxm

xpxp(t)xftt2014-10- tt简谐力激励下的强迫振动响P

22x 0sin

A2sint

sint

t n P0sintP0sintP0sintcoscost A 22n22n22nnm

A20 m m2An0

2014-10- 简谐力激励下的强迫振动响定义：22n222n22nm

22 22nnn2n n

2ntan1n2 12n2014-10- 简谐力激励下的强迫振动响xtP0 k 1 xt sink1kkHAx1 HAx1 1tan112014-10- 简谐力激励下的强迫振动响Q2221k 1

Q

Q

2014-10- 简谐力激励下的强迫振动响H

tan11HkH1 2H m22014-10- 简谐力激励下的强迫振动响111k12014-10- 传递函数确定方法——单位谐函数HP120n1HP120n1x x0 PP0

xA

xiAx

xAx

2Axx2Axx

2iA

A

P 02i22 0 H H1 0 n 0 n2014-10- 传递函数确定方法——拉氏变22x PP xX xsXs

s2Xs2Xs2sXs2XsPs HsXs P

2s2

i222n

s2014-10- 简谐力激励下的强迫振动响例题8：试求粘性阻尼系统在激振力P（t）=P0cost作用下的过渡阶段的响应。 2 cxkxPcostPsin 2 稳态振动响应：xtAsintA

kk

2

12

xtAsint

2

2014-10- 简谐力激励下的强迫振动响初始振动响应：xtAentsintdx20x20010d1A 1

dxtAsint

2014-10- 隔振分析与设

tXet mF

cXeem

Host ctFejt

2014-10- 主动隔振系统设eFeem

cxkxfe-2mjckXFFtkjcXe cTFTFFt k ek2mtFejt

2014-10- 主动隔振系统设

k k2m

c

TF

1 2e0

TF

1n

2TF2TF

2014-10- 主动隔振系统设210-10-

TF11211

频率n2014-10- 隔振系统设mtXejmt

cxtkxtkxetem2jckXkte Host

eXee

X

kXT Xe

km22014-10- 旋转机械不平衡质量引起的振动分析 t t

Xme2 memtxcxmex

mesin

km

k kXme2

mtme

k mX

122

10- 12

10-10-

2014-10- 讲授内概等效单自由度系统振动模型的建单自由度系统的固有振动单自由度系统的自由振动单自由度系统的强迫振动：简谐单自由度系统的强迫振动：一般本章小结与作2014-10- 周期力激励下的强迫振

FetFetT22

a cosnt sinnt

F0