排列教学设计-高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

《排列》教学设计一、教学目标通过解决实际的计数问题，得到排列的定义，并能利用定义判断排列问题.二、教学重难点1、教学重点：排列的定义2、教学难点：将实际问题中的具体对象抽象为元素，得到排列的定义.三、教学过程1、知识回顾加法原理：完成一件事有n类不同方案,在第一类方案中有n1种不同的方法，在第二类方案中有n2种不同的方法……在第n类方案中有nn种不同的方法，那么完成这件事共有n1+n2+……+nn种不同的方法。乘法原理：完成一件事情有n个步骤,在第一步中有n1种不同的方法，在第二步中有n2种不同的方法……在第n步中有nn种不同的方法，那么完成这件事共有n1×n2×……×nn种不同的方法。2、情景分析在上节课的学习中我们发现，用分步乘法计数原理解决问题时，因做了一些重复性工作而显得烦琐.能否对这类计数问题给出一种简捷的方法呢？为此，先来分析两个具体的问题.问题1从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有几种不同的选法？此时，要完成的一件事是“选出2名同学参加活动，1名参加上午的活动，另1名参下午的活动”，可以分两个步骤：第1步，确定参加上午活动的同学，从3人中任选1人，有3种选法；第2步，确定参加下午活动的同学，当参加上午活动的同学确定后，参加下午活动的同学只能从剩下的2人中去选，有2种选法.根据分步乘法计数原理，不同的选法种数为3×2=6.这6种不同的选法如图所示.如果把上面问题中被取出的对象叫做元素，那么问题可叙述为：从3个不同的元素a ， b ， c中任意取出2个，并按一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？所有不同的排列是ab ， ac ， ba ， bc ， ca ， cb，不同的排列方法种数为3×2=6.设计意图：通过分步乘法计数的具体问题，即检测与本节课内容有关的计数原理的掌握情况，又引出排列问题，为抽象得到排列的概念作准备.问题2从1，2，3，4这4个数字中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？显然，从4个数字中，每次取出3个，按“百位、十位、个位”的顺序排成一列，就得到一个三位数.因此有多少种不同的排列方法就有多少个不同的三位数.可以分三个步骤来解决这个问题：第1步，确定百位上的数字，从1，2，3，4这4个数字中任取1个，有4种方法；第2步，确定十位上的数字，当百位上的数字确定后，十位上的数字只能从余下的3个数字中去取，有3种方法；第3步，确定个位上的数字，当百位、十位上的数字确定后，个位的数字只能从余下的2个数字中去取，有2种方法.根据分步乘法计数原理，从1，2，3，4这4个不同的数字中，每次取出3个数字按“百位、十位、个位”的顺序排成一列，不同的排法种数为4×3×2=24.因而共可得到24个不同的三位数，如图所示.由此可写出所有的三位数：123，124，132，134，142，143，213，214，231，234，241，243，312，314，321，324，341，342，412，413，421，423，431，432.同样，问题2可以归结为：从4个不同的元素a ， b ， c ， d中任意取出3个，并按照一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？所有不同的排列是abc ， abd ， acb ， acd ， adb ， adc ， bac ， bad ， bca ， bcd ， bda ， bdc ，cab ， cad ， cba ， cbd ， cda ， cdb ， dab ， dac ， dba ， dbc ， dca ， dcb.不同的排列方法种数为4×3×2=24.设计意图：通过分布乘法计数的具体问题，让学生再次经历解决排列问题的全过程，为抽象得到排列的概念作准备.3、概念的形成上述问题1，2的共同特点是什么？你能将它们推广到一般情形吗？问题1和问题2都是研究从一些不同元素中取出部分元素，并按照一定的顺序排成一列的方法数.一般地，从n个不同元素中取出m(m ⩽ n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m根据排列的定义，两个排列相同的充要条件是：两个排列的元素完全相同，且元素的排列顺序也相同.例如，在问题1中，“甲乙”与“甲丙”的元素不完全相同，它们是不同的排列，“甲乙”与“乙甲”虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列.又如，在问题2中，123与134的元素不完全相同，它们是不同的排列；123与132虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列.指出定义中需要注意的信息：（1）元素不能重复.（互异性）（2）“按一定顺序”就是与位置有关，这是判断一个问题是否是排列问题的关键.（有序性）（3）两个排列相同，当且仅当这两个排列中的元素完全相同，而且元素的排列顺序也完全相同.（4）.为了使写出的所有排列情况既不重复也不遗漏，最好采用“树形图”.设计意图：通过分析、比较两个实例，概括他们的共同特点，从特殊到一般得出排列的概念，并辨析概念.加深对定义的理解：判断下列问题是否为排列问题．(1)北京、上海、天津3个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设往返的票价相同)；(2)选2个小组分别去植树和种菜；(3)选2个小组去种菜；(4)选10个人组成一个学习小组；(5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员．解：(1)中票价只有3种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题．(2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题(3)，(4)不存在顺序问题，不属于排列问题(5)中每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．根据以上的判断，得出”判断一个具体问题是否为排列问题的方法”变换元素的位置变换元素的位置结果有无变化有序无序排列问题非排列问题4、例题讲解例1某省中学生足球赛预选赛每组有6支队，每支队都要与同组的其他各队友在主、客场分别比赛1场，那么每组共进行多少场比赛？分析：每组任意2支队之间进行的1场比赛，可以看作是从该组6支队中选取2支，按“主队、客队”的顺序排成的一个排列.解：可以先从这6支队中选1支为主队，然后从剩下的5支队中选1支为客队.按分布乘法计数原理，每组进行的比赛场数为6×5=30.例2一张餐桌上有5盘不同的菜，甲、乙、丙3名同学每人从中各取1盘菜，共有多少种不同的取法？解：可以先从这5盘菜中取1盘给同学甲，然后从剩下的4盘菜中取1盘给同学乙，最后从剩下的3盘菜中取1盘给同学丙.按分步乘法计数原理，不同的取法种数为5×4×3=60.变式：学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种，共有多少种不同的选法？解：可以先让同学甲从5种菜中选1种，有5种选法；再让同学乙从5种菜中选1种，也有5种选法；最后让同学丙从5种菜种选1种，同样有5种选法.按分步乘法计数原理，不同的选法种数为5×5×5=125.变式：学校食堂的一个窗口共卖5种菜，现有3名同学在这个窗口中选菜，只要求每种菜都能被人选上，共有多少种不同的分菜方法？解：第一种菜可以被3名同学挑选，第二种菜也可以被3名同学挑选，第三种菜也可以被3名同学挑选，第四种菜也可以被3名同学挑选，第五种菜也可以被3名同学挑选，根据分步乘法计算原理，不同的分菜种数是3×3×3×3×3=3例3有4名大学生可以到5家单位实习，若每家单位至多招1名实习生，每名大学生至多到1家单位实习，且这4名大学生全部被分配完毕，则分配方案的个数。解法1：可以理解为从5家单位中选出4家单位，分别把4名大学生安排到4家单位，共有5×4×3×2×1＝120(个)分配方案．解法2：理解为每个大学生来挑选单位，即大学生1有5个单位可选，大学生2有4个单位可选，大学生3有3个单位可选，大学生4有2个单位可选。这就是从5个不同的元素中抽取4个元素的排列，所以同样有5×4×3×2×1＝120(个)分配方案例4学校乒乓团体比赛采用5场3胜制（5场单打），每支球队派3名运动员参赛，前3场比赛每名运动员各出场1次，其中第1,2位出场的运动员在后2场比赛中还将各出场1次。（1）从5名运动员中选3名参加比赛，前3场比赛有几种出场情况？（2）甲、乙、丙3名运动员参加比赛，写出所有可能的出场情况。解：（1）依题意可得，是从5个元素中选取3个元素的排列，所以是5×4×3=60（2）解：①比3场结束，有甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲6种情况；②比4场结束，有甲乙丙甲，甲乙丙乙，甲丙乙甲，甲丙乙丙，乙丙甲乙，乙丙甲丙，乙甲丙甲，乙甲丙乙，丙甲乙丙，丙甲乙甲，丙乙甲丙，丙乙甲乙12种情况；③比5场结束，有甲乙丙甲乙，甲乙丙乙甲，甲丙乙甲丙，甲丙乙丙甲，乙甲丙乙甲，乙甲丙甲乙，乙丙甲乙丙，乙丙甲丙乙，丙甲乙丙甲，丙甲乙甲丙，丙乙甲丙乙，丙乙甲乙丙共12种。注意：在列举结果的时候，按题意分类