宁夏回族自治区银川市2021届高三数学下学期5月普通高等学校招生全国统一考试理

PAGEPAGE12绝密★启用前宁夏回族自治区银川市2021届高三数学下学期5月普通高等学校招生全国统一考试理注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合，，则A．{0，1，2} B．{1，2}C．{-1,0，1，2} D．{﹣1，0，1}2．欧拉公式（e是自然对数的底数，i是虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，当时，就有，根据上述背景知识试判断表示的复数在复平面对应的点位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成．（清）陆以湉《冷庐杂识》卷中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余，体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为A． B．C．D．4．已知等比数列的各项均为正数，且成等差数列，则数列的公比是A． B．2 C． D．或5．已知圆截轴所得的弦长为，过点且斜率为的直线与圆交于两点，若，则的值为A． B． C． D．6．下列正确命题的序号有①若随机变量，且，则．②在一次随机试验中，彼此互斥的事件，，，的概率分别为，，，，则与是互斥事件，也是对立事件．③一只袋内装有个白球，个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了个白球，.④由一组样本数据，，得到回归直线方程，那么直线至少经过，，中的一个点．A．②③ B．①② C．③④ D．①④7．已知实数，满足，，则A． B．C． D．8．已知为上的的奇函数，为偶函数，若当，，则A． B． C． D．9．将函数的图象向左平移个单位后得到的图象关于直线对称，则的最大值为A． B． C． D．10．圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面半径分别为4和5，则该圆台的体积为A．B．C．D．11．设双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与双曲线的右支交于两点，若，且是的一个四等分点，则双曲线C的离心率是A． B． C． D．512．平行于轴的直线与函数的图像交于，两点，则线段长度的最小值为A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知的展开式中的系数为5，则________. 14．若为所在平面内任意一点，且满足，则的形状为__________.（填：等腰三角形、等边三角形、直角三角形、等腰直角三角形）15．已知数列满足，数列的前项和为，则__________.16．如图，在的方格中，移动规则如下：每行均可左右移动，每列均可上下移动，每次仅能对某一行或某一列进行移动，其他行或列不变化．221213331例如：若想移动成每行的数字相同，则最少需要移动次_________.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分)17．(12分)某地开发一片荒地，如图，荒地的边界是以C为圆心，半径为1千米的圆周.已有两条互相垂直的道路OE，OF，分别与荒地的边界有且仅有一个接触点A，B.现规划修建一条新路（由线段MP，，线段QN三段组成），其中点M，N分别在OE，OF上，且使得MP，QN所在直线分别与荒地的边界有且仅有一个接触点P，Q，所对的圆心角为.记∠PCA＝（道路宽度均忽略不计）.（1）若，求QN的长度；（2）求新路总长度的最小值.18．（12分）2021年3月底，我国新冠肺炎疫情得到有效防控，但海外确诊病例却持续暴增，防疫物资供不应求.某医疗器械厂开足马力，日夜生产防疫所需物品.质量检验员为了检测生产线上零件的质量情况，从生产线上随机抽取了50个零件进行测量，根据所测量的零件质量（单位：克），得到如图的频率分布直方图：（1）根据频率分布直方图，求这50个零件质量的中位数（结果精确到0.01)；（2）若从这50个零件中质量位于之外的零件中随机抽取2个，求这两个零件中恰好有1个是质量在上的概率；（3）以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，以频率代表概率，已知这批零件有10000个，某采购商提出两种收购方案：A．所有零件均以50元/百克收购；B．质量位于的零件以40元/个收购，其他零件以30元/个收购.请你通过计算为该厂选择收益最好的方案.19．(12分)如图1，在直角梯形中，，，，.将沿折起，折起后点的位置为点，得到三棱锥如图2所示，平面平面，直线与平面所成角的正切值为.（1）求线段的长度；（2）试判断在线段上是否存在点，使二面角的平面角的余弦值为？若存在，请确定其位置；若不存在，请说明理由.20．（12分）在平面直角坐标系中，已知椭圆的焦距为4，且过点．（1）求椭圆的方程（2）设椭圆的上顶点为，右焦点为，直线与椭圆交于、两点，问是否存在直线，使得为的垂心，若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．21．(12分)已知函数在定义域内有两个不同的极值点．（1）求的取值范围；（2）设两个极值点分别为，（<），证明：．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.22．[选修4－4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数，且，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．（1）写出曲线和直线的直角坐标方程；（2）若直线与轴交点记为，与曲线交于，两点，求．23．[选修4-5：不等式选讲]已知是正实数，且．（1）求的最小值；（2）求证：．2021年数学(理科)参考答案选择题123456789101112CDDCDACCABAD二、填空题：13.-114.等腰三角形15.16.317.【答案】（1）QN的长度为1千米（2）【分析】（1）连接，通过切线的几何性质，证得四边形是正方形，由此求得的长度.（2）用表示出线段，，线段的长，由此求得新路总长度的表达式，利用基本不等式求得新路总长度的最小值.【详解】（1）连接CB，CN，CM，OM⊥ON，OM，ON，PM，QN均与圆C相切∴CB⊥ON，CA⊥OM，CP⊥MP，CQ⊥NQ，∴CB⊥CA∵∠PCA＝，∠PCQ＝，∴∠QCB＝，此时四边形BCQN是正方形，∴QN＝CQ＝1，答：QN的长度为1千米；（2）∵∠PCA＝，可得∠MCP＝，∠NCQ＝，则MP＝，，NQ＝设新路长为，其中(，)，即∴，，当时取“＝”，18.【答案】（1）中位数为71.47；（2）；（3）该厂选择方案B；答案见解析.【详解】（1）零件质量位于的频率为，零件质量位于的频率为，2分，这50个零件质量的中位数位于区间，设为，则，解得，故这50个零件质量的中位数为71.474分（2）质量位于的零件个数为个，质量位于的零件个数为个，6分故这两个零件中恰好有1个是质量在上的概率为.8分（3）这组数据的平均数为，9分方案A：收益为元；10分质量位于的零件个数为个，质量位于之外的零件个数为个，方案B：收益为元.11分，该厂选择方案B.12分19.【答案】（1）2；（2）存在；为的四等分点，且.【详解】（1）因为平面平面，平面平面又面，所以面，所以与面所成角为，又所以，因为在直角梯形中，，所以所以，令那么，所以所以，即（2）以的中点为坐标原点，为轴，过点平行于的直线为轴，为轴，建立如图空间直角坐标系，，，，，设，，.设二面角的平面角为设平面的一个法向量为.则，即取，得.取面的一个法向量则，所以化简整理得：或（舍去）当时，所以为的四等分点，且20.【解析】（1）由已知可得，2分解得，，所以椭圆的方程为．4分（2）由已知可得，，，，，可设直线的方程为，代入椭圆方程整理，得．6分设，，，，则，，，，即．8分，，，即．，或．10分由△，得．又时，直线过点，不合要求，，故存在直线满足题设条件．12分21．解：（1）由题意得，的定义域是，，令，函数在定义域内有两个不同的极值点等价于在上2个零点，，当时，在上，，递减，不满足题意，当时，在上，，递增，在，上，，递减，要使在上2个零点，只需，即，解得：，故的范围是；（2）由（1）可知，，，两式相减可得①，，要证明，只需证明，即证明，②，把①代入②整理得：，令，即证明，令，则，当时，，函数在递减，故（1），故，命题得证．22．解：（1）曲线的参数方程为为参数，且，转换为直角坐标方程为．3分直线的极坐标方程为，转换为直角坐标方程为．5分（2）直线与轴交点记为