初高中数学衔接知识

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数学

学高中数学的几点建议：

1、记数学笔录，特别是对看法理解的不一样样角度和数学规律，老师为备战高考而加的课外知识。

记录下来本章最有价值的思想方法和例题，以及还存在的未解决的问题，以便今后将其补上。

、建立数学纠错本。把平常简单出现错误的知识或推理记录下来，以防再犯。争取做到：找错、析错、改错、防错。解答问题圆满、推理严实。

、熟记一些数学规律和数学结论，使自己平常的运算技术达到了自动化熟练程度。

、常常对知识结构进行梳理，形成板块结构，实行“整体集装”，如表格化，使知识结构如数家珍；常常对习题进行类化，由一例到一类，由一类到多类，由多类到一致；使几类问题

归纳于同一知识方法。

、及时复习，增强对基本看法知识系统的理解与记忆，进行合适的频频牢固，消灭前学后忘。

、学会从多角度、多层次地进行总结归类。如：①从数学思想分类②从解题方法归类③从知识应用上分类等，使所学的知识系统化、条理化、专题化

、常常在做题后进行必然的“反思”，思虑一下本题所用的基础知识，数学思想方法是什么，为何要这样想，能否还有其余想法和解法，本题的解析方法与解法，在解其余问题时，能否也用到过。

初高中数学连结教材

1.1数与式的运算

．绝对值

一、看法：绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的自己，负数的绝对值是它的相反数，零的

a,a0,

绝对值还是零．即|a|0,a0,

a,a0.

绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．

两个数的差的绝对值的几何意义：ab表示在数轴上，数a和数b之间的距离．二、典型例题：例1解不等式：|x1|4解法一：由x10，得x1；①若x1，不等式可变为(x1)4，即1x4，得x3，又x＜1，∴x＜-3；②若1x，不等式可变为(x1)4，即x5又x1∴x5综上所述，原不等式的解为x3或x5。解法二：如图1．1－1，x1表示x轴上坐标为x现有初高中数学知识存在以下“脱节”

1．立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用。

2．因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解，对系数不为“1”的涉及不多,

并且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求，但高中教材好多化简求值都要用到,如解方

程、不等式等。

的点P到坐标为1的点A之间的距离|PA|，即|PA|＝|x－1|；所以|x1|4的几何意义即为：|PA|＞4．可知点P在点C(坐标为-3)的左边、或点P在点(坐标5)的右边．D∴x3或x5。

PCADx-315x|x－1|

图1．1－1

3．二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧。

4．初中教材对二次函数要求较低，学生处于认识水平，但二次函数倒是高中贯穿向来的重

要内容。配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值，研究闭区间上函数最值等等是高中数学必然掌握的基本题型与常用方法。

5．二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系（韦达定理）在初中不作要

求，此类题目仅限于简单常例运算和难度不大的应用题型，而在高中二次函数、二次不等式与二次方程互相转变被视为重要内容，

6．图像的对称、平移变换，初中只作简单介绍，而在高中解说函数后，对其图像的上、下；左、右平移，两个函数关于原点，轴、直线的对称问题必然掌握。

7．含有参数的函数、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研究,而高中这部分内容视

为重难点。方程、不等式、函数的综合观察常成为高考综合题。

8．几何部分好多看法（如重心、垂心等）和定理（如平行线分线段比率定理，射影定理，

订交弦定理等）初中生多半没有学习，而高中都要涉及。

其余，像配方法、换元法、待定系数法初中讲课大大弱化，不利于高中知识的解说。

1．填空：（1）若x5，则x=_________；若x4，则x=_________.（2）假如ab5，且a11c2，则c＝________.，则b＝________；若2．选择题：以下表达正确的选项是（）（A）若ab，则ab（B）若ab，则ab（C）若ab，则ab（D）若ab，则ab3．解不等式：|x2|34、化简：|x－5|－|2x－13|（x＞5）．文案大全适用文档

1.1.2.乘法公式一、复习：我们在初中已经学习过了以下一些乘法公式：（1）平方差公式(ab)(ab)a2b2；（2）圆满平方公式(ab)2a22abb2．我们还可以够经过证明获得以下一些乘法公式：（1）立方和公式(ab)(a2abb2)a3b3；必（2）立方差公式(ab)(a2abb2)a3b3；须（3）三数和平方公式(abc)2a2b2c22(abbcac)；记住（4）两数和立方公式(ab)3a33a2b3ab23；b（5）两数差立方公式(ab)3a33a2b3ab2b3．二、典型例题例1计算：(x1)(x1)(x2x1)(x2x1)．解法一：原式=(x21)(x21)2x2=(x21)(x4x21)=x61．解法二：原式=(x1)(x2x1)(x1)(x2x1)=(x31)(x31)=x61．例2已知abc4，abbcac4，求a2b2c2的值．解：a2b2c2(abc)22(abbcac)8．练习

x22xyy2，a2等是有理式．

1．分母有理化

把分母中的根号化去，叫做分母有理化．为了进行分母有理化，需要引入有理化因式的看法．两个含有二次根式的代数式相乘，假如它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式

互为有理化因式，比方2与2，3a与a，36与36，2332与2332，等等．一般地，ax与x，axby与axby，axb与axb互为有理化因式．分母有理化的方法：是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程2．二次根式a2的意义a2aa,a0,a,a0.二、典型例题

例1将以下式子化为最简二次根式：

（1）12b；（2）a2b(a0)；（3）4x6y(x0)．解：（1）12b23b；（2）a2babab(a0)；（3）4x6y2x3y2x3y(x0)．例2计算：3(33)．1．填空：（1）

（2）

(3)

选择题：

a2

(4m(a

b2

2b

(1b1a)（）；23)216m24m()；c)2a24b2c2()．

解一：3(33)＝3＝3(33)＝333＝3(31)＝31．33(33)(33)9362解二：3(33)＝3＝3＝1＝31＝333(31)31(31)(31)（1）若x21mxk是一个圆满平方式，则k等于（）2（B）1m2（C）1m2（D）1m2（A）m24316（2）不论a，b为何实数，a2b22a4b8的值（）（A）老是正数（B）老是负数（C）能够是零（D）能够是正数也能够是负数

．二次根式一、看法：一般地，形如a(a0)的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够以开得尽方的式子称为无理式.比方3aa2b2b，a2b2等是无理式，而2x22x1，2

31．

2

例3化简：(32)2004(32)2005．解：原式＝(32)2004(32)2004(32)2004＝(32)(32)(32)＝12004(32)＝32．例4化简：（1）945；（2）x212(0x1)．x2文案大全

解：（1）原式=5454=(5)222522(25)22552．（2）原式=(x1)2x1，xx∵0x1，∴11x，所以，原式＝1x．xx练习1．填空：（1）13＝_____；（2）若(5x)(x3)2(x3)5x，则x的取值范围是__13（3）4246543962150_____；2．选择题：等式xx建立的条件是（）x2x2（A）x2（B）x0（C）x2（D）0x23．若ba211a2，求ab的值．a14．比较大小：2－35－4（填“＞”，或“＜”）．．分式一、看法：分式的意义

形如A的式子，若B中含有字母，且B0，则称A为分式．当M≠0时，分式A拥有下BBB列性质：AAM；AAM．上述性质被称为分式的基天性质．BBMBBM二、典型例题：例1若5x4AB，求常数A,B的值．x(x2)xx2解：∵ABA(x2)Bx(AB)x2A5x4，xx2x(x2)x(x2)x(x2)∴AB5,解得A2,B3．2A4,例2（1）试证：11)11（此中n是正整数）；n(nnn1

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（2）计算：111；2239101解：（1）证明：∵111(n1)n1，nnn(n1)n(n1)∴111（此中n是正整数）建立．n(n1)nn1（2）由（1）可知111111111223910(1)()()2239101＝9．

1010

例3设ec＞，2－5＋22＝0，求e的值．2cae1解：在2c2－5ac＋2a2＝0两边同除以a2，得2e2－5e＋2＝0，(2e－1)(e－2)＝0，

∴＝1＜1，舍去；或＝2．∴＝2．e2ee练习1．填空题：对任意的正整数111n，()；n(n2)nn22．选择题：若2xy2，则x＝（）xy3y（A）１（B）5（C）4（D）64553．正数x,y满足x2y22xy，求xy的值．xy

习题1．1A组．解不等式：x13２．已知xy1，求x3y33xy的值．1

3．（1）(23)18(23)19＝________；

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（2）11111________．12233445564．a1b13a2ab________；，，则3a25ab2b2235．已知：x1,y1，求xyy的值．23yxy

组

1．选择题：

（1）若ab2abba，则（）（A）ab（B）ab（C）ab0（D）ba0（2）计算a1（）等于a（A）a（B）a（C）a（D）a

1．2分解因式

一、复习引申：因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，其余还应认识求根法及待定系数法．

1．十字相乘法例1分解因式：（1）x2－3x＋2；（2）x2＋4x－12；（3）x2(ab)xyaby2；解：（1）如图1．2－1，将二次项x2分解成图中的两个x的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x，就是2－3＋2中的一次项，所以，xx有x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)．

x－11－11－2x－ayx－21－216x－by图1．2－1图1．2－2图1．2－4图1．2－3说明：今后在分解与本例近似的二次三项式时，能够直接将图1．2－1中的两个x用1来表示（如图1．2－2所示）．

2）由图1．2－3，得x2＋4x－12＝(x－2)(x＋6)．

（3）由图1．2－4，得x2(ab)xyaby2＝(xay)(xby)

2．提取公因式法与分组分解法

例2分解因式：

（1）x393x23x；解：x393x23x=(x33x2)(3x9)=x2(x3)3(x3)=(x3)(x23)．3．关于x的二次三项式ax2+bx+c(a≠0)的因式分解．若关于x的方程ax2bxc0(a0)的两个实数根是x1、x2，则二次三项式ax2bxc(a0)即可分解为a(xx1)(xx2).例3把以下关于x的二次多项式分解因式：

1）x22x1

解：令x22x1=0，则解得x112，x212，∴x22x1=x(12)x(12)=(x12)(x12)．练习1．选择题：多项式2x2xy15y2的一个因式为（）（A）2x5y（B）x3y（C）x3y（D）x5y2．分解因式：（1）x2＋6x＋8；（2）8a3－b3；（3）x2－2x－1；

3．分解因式：（1）a31；（2）4x413x29；（3）b2c22ab2ac2bc；文案大全适用文档

4．在实数范围内因式分解：（1）x25x3；（2）x222x3；（3）3x24xyy2；

2.1一元二次方程

根的鉴识式

一、看法：我们知道，关于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），用配方法能够将其变形为

b2b24ac(x2a)2＋4a2．①2－42－4一元二次方程axbx＋＝0（≠0）的根的情况能够由b来判断，我们把baccaac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的鉴识式，平常用符号“Δ”来表示．综上所述，关于一元二次方程ax2＋＋＝0（≠0），有bxca（1）当＞0时，方程有两个不相等的实数根x1，2＝bb24ac；x1＝x2＝－b2a（2）当＝0时，方程有两个相等的实数根；2a

3）当＜0时，方程没有实数根．二、典型例题：

例1判断以下关于x的方程的根的情况（此中a为常数），假如方程有实数根，写出方程的实数根．2－3＋3＝0；（2）2－2－（1）xxax－1＝0；（3）xax＋(a－1)＝0；x解：（1）∵Δ＝32－4×1×3＝－3＜0，∴方程没有实数根．（2）该方程的根的鉴识式＝a2－4×1×(－1)＝a2＋4＞0，所以方程必然有两个不等的实数根x1aa24x2aa242，2．（3）因为该方程的根的鉴识式为＝a2－4×1×(a－1)＝a2－4a＋4＝(a－2)2，所以，x＝x＝1；①当a＝2时，＝0，所以方程有两个相等的实数根12②当a≠2时，＞0，所以方程有两个不相等的实数根x1＝1，x2＝a－1．说明：在第3小题中，方程的根的鉴识式的符号跟着a的取值的变化而变化，于是，在解题过程中，需要对a的取值情况进行议论，这一方法叫做分类议论．分类议论这一思想方法是高中数学中一个特别重要的方法，在今后的解题中会常常地运用这一方法来解决问题．

根与系数的关系（韦达定理）

一、看法：

1、若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个实数根

x1bb24ac，x2bb24ac，则有2a2abb24acbb24ac2bbx1x22a2a2a；abb24acbb24acb2(b24ac)4accx1x22a2a4a24a2．a所以，一元二次方程的根与系数之间存在以下关系：假如ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根分别是x1，x2，那么x1＋x2＝b，x1·x2＝c．这一关系也被称为韦达定理．aa二、典型例题：例2已知方程5x2kx60的一个根是2，求它的另一个根及k的值．解析：因为已知了方程的一个根，能够直接将这一根代入，求出k的值，再由方程解出另一个根．但因为我们学习了韦达定理，又能够利用韦达定理来解题，即因为已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是能够利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出k的值．

解法一：∵2是方程的一个根，

5×22＋k×2－6＝0，

k＝－7．所以，方程就为52－7－6＝0，解得x1＝2，2＝－3．xxx53，k的值为－7．所以，方程的另一个根为－5解法二：设方程的另一个根为x1，则2x1＝－6，∴x1＝－3．55由（－3）＋2＝－k，得k＝－7．553，k的值为－7．所以，方程的另一个根为－5例3已知关于x22有两个实数根，并且这两个实数根的平方和的方程x＋2(m－2)x＋m＋4＝0比两个根的积大21，求m的值．21获得关于m的方程，解析：本题能够利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大从而解得m的值．但在解题中需要特别注意的是，因为所给的方程有两个实数根，所以，其根的鉴识式应大于零．2＝2＋4．解：设x1，2是方程的两根，由韦达定理，得x1＋2＝－2(m－2)，1·222∵x1＋x2－x1·x2＝21，∴(x1＋x2)－3x1·x2＝21，即[－2(m－2)]2－3(2＋4)＝21，化简，得2m－16m－17＝0，解得m＝－1，或m＝17．当m＝－1时，方程为x2＋6x＋5＝0，＞0，满足题意；文案大全适用文档

当m＝17时，方程为x2＋30x＋293＝0，＝302－4×1×293＜0，不合题意，舍去．综上，m＝-1．

说明：（1）在本题的解题过程中，也能够先研究满足方程有两个实数根所对应的m的范围，

此后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大21”求出m的值，取满足条件的m的值即可．

（★）在今后的解题过程中，假如用由韦达定理解题时，还要考虑到根的鉴识式能否大于或大于等于零．因为，韦达定理建立的前提是一元二次方程有实数根．

例4已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数．解法一：设这两个数分别是x，y，

则x＋y＝4，①

xy＝－12．②

由①，得y＝4－x，

代入②，得x(4－x)＝－12，

即x2－4x－12＝0，

∴x1＝－2，x2＝6．

∴x12,或x26,y16,y22.所以，这两个数是－2和6．x2－4x－12＝0的两个根．解法二：由韦达定理可知，这两个数是方程解这个方程，得x1＝－2，x2＝6．所以，这两个数是－2和6．例5若x1和x2分别是一元二次方程2x2＋5x－3＝0的两根．（1）求|x1－x2|的值；33．（3）x1＋x2解：∵x和x分别是一元二次方程2x2531222（1）∵|x1－x2|2＝x12+x22－2x1x2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(5)24(3)＝25＋6＝49，∴|x1－x2|＝7．22442（3）x33)(x2x＋x2＋x)[(x＋x)2－3xx]21121122121212＝(－5)×[(－5)2－3×(3)]＝－215．2228例6若关于x的一元二次方程x2－x＋a－4＝0的一根大于零、另一根小于零，务实数a的取值范围．解：设x，x是方程的两根，则xx＝a－4＜0，①1212且＝(－1)2－4(a－4)＞0．②由①得a＜4，由②得＜17．a4∴a的取值范围是a＜4．练习1．选择题：（1）方程x223kx3k20的根的情况是（）

（A）有一个实数根（B）有两个不相等的实数根（C）有两个相等的实数根（D）没有实数根（2）若关于x的方程mx2＋(2m＋1)x＋m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（）（A）m＜1（B）m＞－1（C）m＜1，且m≠0（D）m＞－1，且m≠04444（3）已知关于x的方程x2＋kx－2＝0的一个根是1，则它的另一个根是（）（A）－3（B）3（C）－2（D）2（4）以下四个说法：①方程x2＋2x－7＝0的两根之和为－2，两根之积为－7；②方程x2－2x＋7＝0的两根之和为－2，两根之积为7；③方程3x2－7＝0的两根之和为0，两根之积为7；x2＋2x＝0的两根之和为－3④方程32，两根之积为0．此中正确说法的个数是（）（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个（5）关于x的一元二次方程ax2－5x＋a2＋a＝0的一个根是0，则a的值是（）（A）0（B）1（C）－1（D）0，或－1（6）若关于x的方程x2＋(k2－1)x＋k＋1＝0的两实根互为相反数，则k的值为（）（A）1，或－1（B）1（C）－1（D）02．填空:2－3x－1＝0的两根分别是1211．x1（2）方程mx2＋x－2m＝0（m≠0）的根的情况是x2．（3）以－3和1为根的一元二次方程是．（4）方程kx2＋4x－1＝0的两根之和为－2，则k＝．（5）方程2x2－x－4＝0的两根为α，β，则α2＋β2＝．（6）已知关于x的方程x2－ax－3a＝0的一个根是－2，则它的另一个根是．（7）若，是方程2＋2005x－1＝0的两个实数根，则2＋2－的值等于．3．求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x2－7x－1＝0各根的相反数．

4．已知方程x2－3x－1＝0的两根为x1和x2，求(x1－3)(x2－3)的值．

2．2二次函数

二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质

一、复习引申：

问题1函数y＝ax2与y＝x2的图象之间存在如何的关系？

文案大全1、二次函数y＝2(≠0)的图象能够由y＝x2的图象各点的纵坐标变为本来的a倍获得．在二axa次函数y＝ax2(a≠0)中，二次项系数a决定了图象的张口方向和在同一个坐标系中的张口的大小．问题2函数y＝a(x＋h)2＋k与y＝ax2的图象之间存在如何的关系？2、二次函数y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)中，a决定了二次函数图象的张口大小及方向；h决定了二次函数图象的左右平移，并且“h正左移，h负右移”；k决定了二次函数图象的上下平移，而且“k正上移，k负下移”．由上边的结论，我们能够获得研究二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的方法：因为y＝ax2＋bx＋c＝a(x2＋bx)＋c＝a(x2＋bx＋b2)＋c－b2b2aa4a24aa(xb24ac，)4a2a所以，y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象能够看作是将函数y＝ax2的图象作左右平移、上下平移获得的，于是，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)拥有以下性质：3、（1）当＞0时，函数y＝ax2＋bx＋c图象张口向上；a极点坐标为(b,4acb2)，对称轴为直线x＝－b；2a4a2a当x＜b时，y跟着x的增大而减小；当x＞b时，y跟着x的增大而增大；2a2a当x＝b时，函数取最小值y＝4acb2．2a4a（2）当＜0时，函数y＝ax2＋bx＋c图象张口向下；a极点坐标为(b,4acb2)，对称轴为直线x＝－b2a4a；bb2a当x＜时，y跟着x的增大而增大；当x＞时，y跟着x的增大而减小；2a2a当x＝b时，函数取最大值y＝4acb2．2a4a

上述二次函数的性质能够分别经过图2．2－3和图2．2－4直观地表示出来．所以，在今后解决二次函数问题时，能够借助于函数图像、利用数形联合的思想方法来解决问题．

y2yA(b,4acb)bx＝－2a4a2a

文案大全OxOxA(b4acb2b,)x＝－2a4a2a

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二、典型例题：例1求二次函数y＝－3x2－6x＋1图象的张口方向、对称轴、极点坐标、最大值（或最小值），并指出当x取何值时，y随x的增大而增大（或减小）？解：∵y＝－3x2－6x＋1＝－3(x＋1)2＋4，∴函数图象的张口向下；对称轴是直线x＝－1；A(－1,4)y极点坐标为(－1，4)；当x＝－1时，函数y取最大值y＝4；当x＜－1时，y跟着x的增大而增大；当x＞－1时，y跟着x的增大而减小；

说明：从这个例题能够看出，依据配方后获得的性质画函数的图象，能够直接选出要点点，减少了选点的盲目性，使画D(0,1)图更简单、图象更精确．

例2把二次函数y＝x2＋bx＋c的图像向上平移2个单位，再COBx向左平移4个单位，获得函数y＝x2的图像，求b，c的值．解法一：y＝x2b2b2＋bx＋c＝(x+)c，把它的图像向上平x＝－124图2.2－5移2个单位，再向左平移4个单位，获得y(xb4)2cb22的图像，也就是函数y＝x2的图像，24b40,2所以，解得b＝－8，c＝14．b2c20,4y＝x2＋bx＋c的图像向上平移2个单位，再向左平移解法二：把二次函数4个单位，获得函数y＝x2的图像，等价于把二次函数y＝x2的图像向下平移2个单位，再向右平移4个单位，获得函数y＝x2＋bx＋c的图像．因为把二次函数y＝x2的图像向下平移2个单位，再向右平移4个单位，获得函数y＝(x－4)2＋2的图像，即为y＝x2－8x＋14的图像，∴函数y＝x2－8x＋14与函数y＝x2＋bx＋c表示同一个函数，∴b＝－8，c＝14．说明：本例的两种解法都是利用二次函数图像的平移规律来解决问题，所以，同学们要牢

固掌握二次函数图像的变换规律．

练习适用文档

1．选择题：

（1）以下函数图象中，极点不在座标轴上的是（）

（A）y＝2x2（B）y＝2x2－4x＋2

（C）y＝2x2－1（D）y＝2x2－4x

（2）函数y＝2(x－1)2＋2是将函数y＝2x2（）

A）向左平移1个单位、再向上平移2个单位获得的

B）向右平移2个单位、再向上平移1个单位获得的

C）向下平移2个单位、再向右平移1个单位获得的

D）向上平移2个单位、再向右平移1个单位获得的

2．填空题

（1）二次函数y＝2x2－mx＋n图象的极点坐标为(1，－2)，则m＝，n＝．

（2）已知二次函数y＝x2+(m－2)x－2m，当m＝时，函数图象的极点在y轴上；当m

＝时，函数图象的极点在x轴上；当m＝时，函数图象经过原点．

3．求以下抛物线的张口方向、对称轴、极点坐标、最大（小）值及y随x的变化情况，并画出

其图象．

（1）y＝x2－2x－3；（2）y＝1＋6x－x2．

与x轴的交点坐标，于是能够将函数的表达式设成交点式．解法一：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，∴可设二次函数为y＝a(x＋3)(x－1)(a≠0)，张开，得y＝ax2＋2ax－3a，极点的纵坐标为12a24a24a，4a1因为二次函数图象的极点到x轴的距离2，∴|－4a|＝2，即a＝．2解法二：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，∴对称轴为直线x＝－1．又极点到x轴的距离为2，∴极点的纵坐标为2，或－2．于是可设二次函数为y＝a(x＋1)2＋2，或y＝a(x＋1)2－2，因为函数图象过点(1，0)，∴0＝a(1＋1)2＋2，或0＝a(1＋1)2－2．∴a＝－1，或a＝1．22所以，所求的二次函数为y＝－1(x＋1)2＋2，或y＝1(x＋1)2－2．22例3已知二次函数的图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，求此二次函数的表达式．解：设该二次函数为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．二次函数的三种表示方式

一、复习引申：经过上一小节的学习，我们知道，二次函数能够表示成以下两种形式：

1．一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；2．极点式：y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)，此中极点坐标是(－h，k)．3．交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，此中x1，x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标．

由函数图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，可得

解得a＝－2，b＝12，c＝－8．2所以，所求的二次函数为y＝－2＋12x－8．x练习

1．选择题:

22abc,

8c,

84a2bc,

今后，在求二次函数的表达式时，我们能够依据题目所供给的条件，采纳一般式、极点式、

交点式这三种表达形式中的某一形式来解题．

二、典型例题：

例1已知某二次函数的最大值为2，图像的极点在直线y＝x＋1上，并且图象经过点（3，－1），求二次函数的解析式．

解析：在解本例时，要充分利用题目中所给出的条件——最大值、极点地点，从而能够将

二次函数设成极点式，再由函数图象过定点来求解出系数a．解：∵二次函数的最大值为2，而最大值必然是其极点的纵坐标，∴极点的纵坐标为2．又极点在直线y＝x＋1上，所以，2＝x＋1，∴x＝1．∴极点坐标是（1，2）．设该二次函数的解析式为ya(x1)22(a0)，∵二次函数的图像经过点（3，－1），∴1a(31)22，解得a＝3．3(x1)23x23x54∴二次函数的解析式为y2，即y=4424例2已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且极点到x轴的距离等于2，求此二次函数的表达式．解析一：因为题目所给的条件中，二次函数的图象所过的两点实质上就是二次函数的图象

（1）函数y＝－x2＋x－1图象与x轴的交点个数是（）

（A）0个（B）1个（C）2个（D）没法确立

（2）函数y＝－12(x＋1)2＋2的极点坐标是（）

（A）(1，2)（B）(1，－2)（C）(－1，2)（D）(－1，－2)

2．填空：已知二次函数的图象经过与x轴交于点(－1，0)和(2，0)，则该二次函数的解析式可

设为y＝a(a≠0)．

二次函数的简单应用

一、函数图象的平移变换与对称变换

1．平移变换

在对二次函数的图象进行平移时，拥有这样的特色——只改变函数图象的地点、不改变其形状，所以，在研究二次函数的图象平移问题时，只需利用二次函数图象的极点式研究其极点的地点即可．

例1求把二次函数y＝x2－4x＋3的图象经过以下平移变换后获得的图象所对应的函数解析式：

（1）向右平移2个单位，向下平移1个单位；（2）向上平移3个单位，向左平移2个单位．

解：二次函数y＝2x2－4x－3的解析式可变为y＝2(x－1)2－1，其极点坐标为(1，－1)．

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（1）把函数y＝2(x－1)2－1的图象向右平移2个单位，向下平移1个单位后，其函数图象的极点坐标是(3，-2)，所以，平移后所获得的函数图象对应的函数表达式就为y＝2(x－3)2－2．（2）把函数y＝2(x－1)2－1的图象向上平移3个单位，向左平移2个单位后，其函数图象的极点坐标是(－1，2)，所以，平移后所获得的函数图象对应的函数表达式就为y＝2(x＋1)2＋2．2．对称变换在把二次函数的图象关于与坐标轴平行y的直线进行对称变换时，拥有这样的特色——x＝－1只改变函数图象的地点或张口方向、不改变其形状。所以，在研究二次函数图象的对称变换问题时，要点是要抓住二次函数的极点地点和张口方向来解决问题．例2求把二次函数y＝2x2－4x＋1的图象关OxA1(－3,－1)A(1,－1)于以下直线对称后所获得图象对应的函数解析式：（1）直线x＝－1；（2）直线y＝1．图2.2－7解：（1）如图2．2－7，把二次函数yy＝2x2－4x＋1的图象关于直线B(1，3)x＝－1作对称变换后，只改变图象的极点地点，不改变其形状．y＝1因为y＝22－4x＋1＝2(x－1)2－1，可知，函数y＝2x2－4x＋1图象的顶点为A(1,－1)，所以，对称后所获得Ox图象的极点为1(－3，-1)，所以，A(1,－1)A二次函数y＝2x2－4x＋1的图象关

于图2.2－8直线x＝－1对称后所获得图象的函2

即y＝2x2＋12x＋17．

（2）如图2．2－8，把二次函数y＝2x2－4x＋1的图象关于直线y＝－1作对称变换后，只改变图象的极点地点和张口方向，不改变其形状．因为y＝2x2－4x＋1＝2(x－1)2－1，可知，函数y＝2x2－4x＋1图象的极点为A(1,－1)，所以，对称后所获得图象的极点为(1，3)，且张口向下，B所以，二次函数y＝2x2－4x＋1的图象关于直线y＝1对称后所获得图象的函数解析式为y＝－2(x－1)2＋3，即y＝－2x2＋4x＋1．三、配方法及其应用1、在求二次函数yax2bxc(a0)的图象的极点坐标或求最大（小）值时需用到变形：yax2bxca(xb)24acb2，这类变形的过程就叫配方。2a4a

详尽过程为yax2bxca(x2bx)ca[x2bx(b)2]cb2aa2a4aa(xb)24acb22a4a用配方来解决最大（小）值等问题的方法叫作配方法，这是高中数学最重要的方法之一例1、将以下二次函数式配方：

（1）yx22x3（2）2x25x1（3）y3x26x1解：（1）y(x22x1)2(x1)22（2）y2(x25x)12(x25x25)1252(x5)2172216848（3）y3(22)13(22x1)133(x1)22xxx例2、求以下二次函数的最大（或最小）值：（1）y2x23x（2）y16xx2（3）y1x2x44解：（1）y2(x23x)2(x23x9)92(x3)292216848∴当x3时y取最小值948（2）y(x26x)1(x26x9)19(x3)210∴当x=3时，y取最大值10（3）y1(x24x)41(x24x4)141(x2)23444∴当x=-2时，y取最大值-3练习将以下二次函数配方（1）yx