《导数在研究函数中的应用》试卷 全市一等奖

《导数在研究函数中的应用》试卷题号12345答案1.曲线y＝x3－2x2在点(1，－1)处的切线方程为()A．y＝x－2B．y＝－3x＋2C．y＝2x－3D．y＝－x解析：因为k＝y′|x＝1＝(3x2－4x)|x＝1＝－1，所以切线的方程为y＋1＝－(x－1)，即y＝－x，故选D.答案：D2．已知函数f(x)＝eq\f(1,x－ln（x＋1）)，则y＝f(x)的图象大致为()解析：令g(x)＝x－ln(x＋1)，则g′(x)＝1－eq\f(1,x＋1)＝eq\f(x,x＋1)，由g′(x)＞0，得x＞0，即函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增，由g′(x)＜0得－1＜x＜0，即函数g(x)在(－1，0)上单调递减，所以当x＝0时，函数g(x)有最小值，g(x)min＝g(0)＝0，于是对任意的x∈(－1，0)∪(0，＋∞)，有g(x)≥0，故排除B、D，因函数g(x)在(－1，0)上单调递减，则函数f(x)在(－1，0)上递增，故排除C，故选A.答案：A3．已知a≤eq\f(1－x,x)＋lnx对任意x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))恒成立，则a的最大值为()A．0B．1C．2D．3解析：设f(x)＝eq\f(1－x,x)＋lnx，则f′(x)＝eq\f(－x＋x－1,x2)＋eq\f(1,x)＝eq\f(x－1,x2).当x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))时，f′(x)＜0，故函数f(x)在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))上单调递减；当x∈(1，2]时，f′(x)＞0，故函数f(x)在(1，2]上单调递增，∴f(x)min＝f(1)＝0，∴a≤0，即a的最大值为0.答案：A4．函数f(x)满足f(0)＝0，其导函数f′(x)的图象如下图所示，则f(x)在[－2，1]上的最小值为()A．－1B．0C．2D．3解析：易知f(x)为二次函数，且常数项为0，设f(x)＝ax2＋bx，则f′(x)＝2ax＋b，由图得导函数的表达式为f′(x)＝eq\a\vs4\al(2x＋)2，所以f(x)＝x2＋2x，当x＝－1时，f(x)在[－2，1]有最小值－1.故选A.答案：A5．已知函数y＝x3－3x＋c的图象与x轴恰有两个公共点，则c＝()A．－2或2B．－9或3C．－1或1D．－3或1解析：因为三次函数的图象与x轴恰有两个公共点，结合该函数的图象，可得极大值或者极小值为零即可满足要求．而f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，当x＝±1时取得极值.由f(1)＝0或f(－1)＝0可得c－2＝0或c＋2＝0，即c＝±2.故选A.答案：A6．曲线f(x)＝eq\f(ex,x－1)在x＝0处的切线方程为________．解析：由题意得f(0)＝eq\f(e0,0－1)＝－1，f′(x)＝eq\f(ex（x－2）,（x－1）2)，故f′(0)＝eq\f(e0（0－2）,（0－1）2)＝－2，所以曲线f(x)＝eq\f(ex,x－1)在x＝0处的切线方程为y＋1＝－2x，即2x＋y＋1＝0.答案：2x＋y＋1＝07．已知f(x)＝－x2＋mx＋1在区间[－2，－1]上的最大值就是函数f(x)的极大值，则m的取值范围是______．解析：f′(x)＝m－2x，令f′(x)＝0，则x＝eq\f(m,2)，由题设得eq\f(m,2)∈[－2，－1]，故m∈[－4，－2]．答案：[－4，－2]8．已知函数g(x)＝eq\f(1,3)ax3＋2x2－2x，函数f(x)是函数g(x)的导函数．(1)若a＝1，求g(x)的单调减区间；(2)若对任意x1，x2∈R且x1≠x2，都有feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))＜eq\f(f（x1）＋f（x2）,2)，求实数a的取值范围．解析：(1)当a＝1时，g(x)＝eq\f(1,3)x3＋2x2－2x，g′(x)＝x2＋4x－2，由g′(x)＜0解得－2－eq\r(6)＜x＜－2＋eq\r(6)，∴当a＝1时函数g(x)的单调减区间为(－2－eq\r(6)，－2＋eq\r(6))．(2)易知f(x)＝g′(x)＝ax2＋4x－2，依题意知feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))－eq\f(f（x1）＋f（x2）,2)＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))eq\s\up12(2)＋4×eq\f(x1＋x2,2)－2－eq\f(axeq\o\al(2,1)＋4x1－2＋axeq\o\al(2,2)＋4x2－2,2)＝－eq\f(a,4)(x1－x2)2＜0.因为x1≠x2，所以a＞0，即实数a的取值范围是(0，＋∞)．9．(2022·北京海淀区检测)已知函数f(x)＝x2＋eq\f(2a3,x)＋1，其中a＞0.(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线y＝1平行，求a的值；(2)求函数f(x)在区间[1，2]上的最小值．解析：f′(x)＝2x－eq\f(2a3,x2)＝eq\f(2（x3－a3）,x2)，x≠0.(1)由题意可得f′(1)＝2(1－a3)＝0，解得a＝1，此时f(1)＝4，在点(1，f(1))处的切线为y＝4，与直线y＝1平行．故所求的a的值为1.(2)由f′(x)＝0可得x＝a，a＞0，①当0＜a≤1时，f′(x)＞0在[1，2]上恒成立，所以y＝f(x)在[1，2]上递增，所以f(x)在[1，2]上的最小值为f(1)＝2a3＋2.②当1＜a＜2时，x(1，a)a(a，2)f′(x)－0＋f(x)极小值由上表可得y＝f(x)在[1，2]上的最小值为f(a)＝3a2＋1.③由a≥2时，f′(x)＜0在[1，2]上恒成立，所以y＝f(x)在[1，2]上递减．所以f(x)在[1