第五章相似矩阵及二次型

第五章相似矩阵及二次二内容分析与重要定义、性质、定理、注释与实例第一讲— y1 x2定义 设有n维向量

yy y n n令xyx1y1x2y2xnyn,称x,y]xy的内积联系前面向量的运算易知,xyxTy（1）x,yy, （2）x,yx,y（3）xyzxzyz；（4）xx0x0时xxx，y，z为实数[x,x2x2[x,x2x2 n

nx的长度（范数

0;

x

x;

xyxy长为1的向量称为单位向量.x

,则

x是单位向量，称为把向量x化。比如，欲将向量x

T

5

2 2

455 x0y0时，arccosxynx与yxxy0，那么称向量xy正交，正交向量组：一组两两正交的非零向量 x1x2x3解设所求的向量

xx2那么它应满足

2xxx

311

x1A

~

得 21

x2 x0即为所求1 定理1 证设向量组a1,a2,……,ar是正交向量组,以aT左乘上式两边aTa 11因为a0，所以aTaa20因此必有

1 类似的可证23ra1a2ar线性无关11例3向量组0，1线性无关但不为正交向量组0规范正交向量组向量组e1,e2,……, [e,e]

当ij

当i设向量组a1a2are1e2era1a2ar等价

ba;b

[b,b]b

1[b1,a3]b[b2,a3]b [b,b] [b,b]1 b

[b1,ar]b[b2,ar]

[br1,ar] [b,b]

[b,b]

,

]r1

r r

b1,e2

b2,,er

于是，e1,e2,……, 是规范正交向量组，且与a1,a2,……,ar等价 例 把向量组a11,a21规范正交化 1

11

解正交化：取ba;

a[a2,b1]

11 2

[b,b]

3

311 1

1 1 1再单位化

e1

33

e2

b2

1616 e1e2即为所求1 例5已知a11求向量1

解因为向量a2a3都与向量a1x1x2x31 1 取它的一个基础解系b21b30 1 再把b2 b3正交化即为所求a2,a3.也就是1

1 1a

1,

b[a2,b3]

0111

[a,a]

2

21

1

2 a1a2a3是所求正交向量组.定义3 设n维向量e1,e2,……,er是向量空间V的一个基,如果向量组e1,e2,……,er为规范正交向量组，则称e1,e2,…..., er是V的一个规范正交基.定义 如果n阶矩阵A满足ATA=E,那么称A为正交矩阵

1sin

01212 01212 6

,

2,

1都是正交矩阵0 0

020注意：nAA的列（行）向量组是规范正交向量组 n阶矩阵A为正交矩阵的充分必要条件是A的列（行）向量组构成向量空间Rn的设n阶矩阵A=(a1,a2,……,an),其中a1,a2,……, 是A的列向量组AaT

aT aT

aTa1

1 1

1n22122 aT 22122

aT

aTa

aT

aT aT aTan

n n

nnij亦即aTij

ij

ijAA的列（行）向量组是规范正交向量组变量x1x2,xn与变y1,y2,,yn之间的关系x1p11y1p12y2p1nxpypyp 21 22

2n

xnpn1y1pn2y2pnn叫做从变量y1y2,yn到变量x1x2,xn的线性变换Pp

ij

x1 y1 x=

其中xx2

y2,

xn

yn定义5 若P为正交矩阵，则线性变换x=Py称为正交变换.x112121212x1y1cos12121212 7xysin

x2xx3

y2 y2 若线性变换xPy为正交变换，ab为任意两个向量.那么PaPba这是因为PaPbPaTPbaTPTPbaTbab

a定义 设A是n阶矩阵，如果存在一个特殊的数与一个特殊的非零向量x，使Ax

那么数称为方阵A的特征值x称为A的对于特征值的特征向量a11 a11 a22 ann

是的n次多项式称为方阵AAE0n阶矩阵A的特征方程(1)式也可写成AEx

求n阶方阵A的特征值与特征向量的方法A特征多项式

AEAE0的解根12,n就是A的特征值解齐次线性方程组AiEx0，它的非零解都是特征值i的特征向量 例 求矩阵A

0的特征值和特征向量210 210 A的特征多项式1 AE 1

30

2

21所以，A

12231。当12时，解方程组A2Ex0.

0

A2E 0~ 000 00001

k为任意非零数当231时解方程组(AE)x0.

0

1AE 0~ 100100 100100 1 p22所以特征值231的全部特征向量为kp2k是任意非零数1 1 0 例 求矩阵A A的特征多项式

2的特征值和特征向量1AE

1

54

1

所以，A

13231当13解方程组(A3E)x0.

01 0 A3E

2~ 00 000

4 得基础解系p11,所以特征值13的全部特征向量为 ,其中k为任意非零数1当231时解方程组(AE)x0.

0

AE

2~ 00 2 00 p21p30,所以特征值231kp2+lp3, 1 kl不同时为零 例3求矩阵A 0的特征值与特征向量3 3 EA 4

(1)(2)2得特征值1 23

1当1时,解方程(E 0,得基础解系全部特征向量为

1

当2时,解方程(2E

0

1 p211

p30全部特征向量为k2p2k3p3(k2k3不全为零 例 如果矩阵A满足A2A,则称A是幂等矩阵.试证幂等矩阵的特征值只能是0或 A

A,

所以有20得

或若A的特征值,则2A2的特征值，进而kAk的特征值，而且()是A)特征值，其中()

a1

m是的多项式，A)

EaAaAm是10阵A的多项式；但Am的特征向量不一定是A的特征向1012na11a22anntrA)，其中trAA12n|A|证对特征值的个数m用数学归纳法，由于特征向量是非零向量，所以，m=1时定理成立.m1p1p2,pmm

p1,p2,,

线性无关设有一组数x1,x2xm

x1p1x2p2xmpm

成立

x1mp1xm1mpm1xmmpm

以矩阵 左乘式(1)两端,x11p1xm1m1pm1xmmpm

p1,p2,,pm1x1(1m)xm1(m1m)但1m0,m1m0,x10,xm10这时（1）xmpm0pm0xm0p1,p2,,pm线性无关.归纳法完成，定理得证例 设1,2,是A的特征值

p1, 依次是与之对应的特征向量，若12p1p2线性无关证设有一组数x1, 使得x1p1+x2p2= 成立

以矩阵A左乘式(1)两端,x11p1x22p2（3）式减（2）x1(21p1

.所以只有x2=0.这就证明了p1, 证因为是A的特征值，p0Ap(App.所以是A的特征值第二讲定义7 设A,B都是n阶矩阵若有可逆矩阵P使P-1AP=B,则称矩阵A与B相似，可逆矩阵P称为把A变成B的相似变换矩阵.定理3 若n阶矩阵A与B相似，则A与B的特征多项式相同,从而A与B的特征值也相同. 因为A与B相似，所以有可逆矩阵P，使P-1AP=B, B

P1AP

P1(A

AE

AE推 若n阶矩阵A与对角矩阵

n定理4 n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是:A有n个线性无关的特征向量.推论如果n阶矩阵A的特征值互不相等，则A与对角矩阵相似．4的证明如果可逆矩阵P,P1AP为对角矩阵AP若记矩阵P=(p1,p2,,pn)

p1,p2,,pn是P的列向量组,A(p1,p2,,pn)=(p1,

,,pn)

即为(Ap1Ap2

n2p2

Apiipi

再由Pp1p2,pn就是A的n个线性无关的特征向量反之，如果n阶矩阵Anp1p2,pn,

i1,2,,以向量组p1,p2,,pn构成矩阵P=(p1,p2,,pn) 则P为可逆矩阵13

A 0只有2210 210 0

对角矩阵相似，例2中的矩阵A 2，p11是A的特征值3的线性无关

1

1

p21p30是A的特征值1 1 3A3个线性无关的特征向量p1p2p3，所以它能与对角矩阵相似

3 令P=(p1,p2,p3)= 0，则P为可逆矩阵，且P-1AP= 1110 1110 1 A的特征多项式

A22

1|AE

322

1

0

21(

(A的特征值为10231。当10时，解方程组A0Ex0.

0 A

2～ 200 200

1 p1当231时解方程组(AE)x0.

1 1/

00AE 2～ 0002 2

1/ 1 p21,p30 1 于是，3A3个线性无关的特征向量，所以它能与对角矩阵相似P11

1/ 1010P为所求相似变换矩阵, P1AP 01 01例2 设2阶矩阵A的特征值为1,−5,与特征值对应的特征向量分别为1,求A.

解因为2A24的推论，A能与对角矩阵相似 2 1 0P

1

AP

1 0

2

01/

2/3

4A0

51/

1/3 例 ,B例 ,BAEBE1

1 0ABAB不相似.

0 例已知A 1与B

0相似,0x01 0x01

,故A、B2,y12,y1，根据特征方程根与系数的关系,有20x2y A 定理 p.

Ap

pTAppTAppTp,

pTAppTATpApTppT得(

pTp0因为

pTp0故，即为实数定理

p1,

则p1p2正交证由已知有以

Ap22左乘（2）pTAp

pT

A

2 pT(Ap)(Ap)T

(p)T

pT

1

1 于是pTp0因为pT

0即p1与p2正交 定理7 设A为n阶对称矩阵，则必有正交矩阵P,使P1AP，其中是以A的n个定理 设A为n阶对称矩阵

r重根，则矩阵AERAEnr从而特征值恰有r个线性无关的特征向量A的互不相等的特征值

1，2，，m它们的重数依次为r1,r2,……,rm 是r1r2rmn.57对应特征值

ri征向量,把它们正交单位化，即得ri个单位正交的特征向量,i=1,2，…,m.由r1+r2+……+rm=n.知这样的特征向量恰有n个.又实对称矩阵不等的特征值对应的特征向量正交(根据6n个特征向量构成规范正交向量组.P,PP1AP其中对角矩阵的对角元素含r1个1,rm个mAn个特征值5例4A00 0

22

P，使P1AP

AE

00

21

12

(1)(3)(5 0x1

1x2

1x 3 0

单位化得 2

1 2x1 x13

2 2 0x1

1x2

1x

3

x

p 2

2x1 x13

2 2

0x1

1x2 3x 3 1

1

x20单位化得p3x

3 012101212 1

P=(p,p,p

，且使得PAPPAP 2 251 512 2 1例 设A11 1

11

A的特征多项式A

1 1

11

11

(3故得特征值1203

b11,b20,将其规范正交化. q1b110

1

0 [b,b q2b2 2b1b2 [b,b p1

2 2161 ,p216

6

1 31

p

3 3Pp

AP

AP 3 3 第五讲二次型定义 n个变量x1,x2,,xn的二次齐次函f(x,

,,

)=

x2

x2a

11

22

nn

2a12x1x22a13x1x32an1,n

若取ajiaij,2aijxixjaijxixjajixjxi于是（1）式可写f(x1,x2,,xn

nnaijxixji,j1

x1 a2n x2对二次型(1)，记A

,x

ann

xn则二次型(1)又表示为f(x1

,,xn

xTAxA为对称矩阵，叫做二次型(x1x2,xn)fx1x2,

)AA叫做二次型fx1x2,xn)=xTAx例

x22xx4xx2x2 1 2 110110110 0f x2 0x2 2

2x 3二次型f(x1 x2,……,xn)经过可逆的线性变x1c11y1c12y2c1nxcycyc 21

22

2n

xncn1y1cn2y2cnn即用(3)(1).A(3),x=Cy,

其中矩阵Ccij

x=Cy型 =xTAx,得二次型f=xTAx=(Cy)TA(Cy)=yT(CTAC)ACTAC,C是所用可逆线性变f(x1,x2,,xn

x=C

g(y1,y2,……,yn(AT=)

CTAC=B(=BT定理9 设有可逆矩阵C,使B=CTAC ,如果A为对称矩阵，则B也为对称矩阵，且R(A)=R(B). 因为A是对称矩阵,即AT=A，所BT=(CTAC)T=CTAT(CT)T=CTATC=BB为对称矩阵因为B=CTAC，所以R(B)≤R(AC)≤R(A). 因为A=(CT)–1BC–1，所以R(A)≤R(BC-1)≤R(B),故得R(A)=R(B).x1c11y1c12y2c1nxcycyc 21

22

2n

xncn1y1cn2y2cnn(1)化为只含平方项，即用(3)(1)f(x,x,,x)ky2ky2k

1 2 nAC使CTAC为对角矩阵n定理n

faijxixji,j1

(aijaji总有正交变换x=Py，使ffy2y2y2其中fA

)的特征值1 2 n 例 求一个正交变换x=Py，把二次型

5x22x22xx2x2化为标准形

2

A 1 5 AE

2

(1)(3)(5 2当11时，解方程组(AE)x 0

单位化得 2

1 2x1 x13

2 2

x

p 2

2x1 x13

2 2当35时，解方程组（A5E)x

1

1

x20单位化得p3x

3 012101212 1y1 于是正交变换为

2

0y2x x

y3y

y23y25y2 3xPyf1x2x

2xx1x22x

x2化为标准形2 1

1 2

2

1/1A1/1

1/ 11/ 112

2

AE21

121

1

(1)2(2故得特征值1213

b11,b20,正交化： q1b110

1

0 [b,b bTq2b2 2q1b2 [b,b p

2 ,

31 31 3 2 3

3当32时，解方程A2E)x11611666

x

单位化得p2

1 x x3 33636 于是正交变换为 x x

y2y22y2 4已知在直角坐标系ox1x2中,x23x

2x2111313

1

3/2fx1

3x1x22x2化为标准形．二次型fA

/ 1AAE2354于是A的特征值为1

5/

1/可求得对应的特征向量为q1

.将它们单位3 1/

3/p1

,p23/

1/

1/

3/2y1令

3/

1/

y2 2

5y21y2.2 2oy1y25y21y22 21 150例

x24x

2xxx22x

2x2为标准形,并求所用的变换矩阵 1

1

2 解f（x24x

2xx）x22x

1

1

2 （(x2xx)24x2x24xx)x22x

2

2 (x2xx)23x26xx 2

x)2

x332y1x12x2 x1y12y2332y令xy令x

x3即

y2xy x x f

y23y2 1所用线性变换矩阵为C00

211 1例

x1y12 令x2

y fy23yyy2y 1 2(y3y)29y2y2y 2 4 2(y3y)2((

1y)21y2)9y 2

2 4 4(y3y)2(

1y)22y 2 zy 3

2 2y 322 2

令z2 y22 即y2 z22zyy zyy fz2z22z2

31

2 2

C1 0

1

2 1

1 第四讲定理 设实二次型f=xTAx的秩为r,若有实可逆变换x 及x= fky2ky2k (k1 2 r fz2z2 (1 2 r k1,k2kr

12,r定义 实二次型f=xTAx称为正定二次型如果对任何x≠0,都有xTAx＞0.正定二次定理 n二次型f=xTAx为正定的充分必要条件是：它的标准形的n个系数全为正 设可逆变换x=Cy使f(x)f(Cy)ky2ky2k先证充分性

1 2 n设ki0,i1,2n.x0,因为C是可逆矩阵

yC1xf(xf(Cyky2

y2ky20即二次型为正定的再证必要性

1 2 n用反证法.假设有ks≤0,则当y= 时，f(Ces)ks0,其中es是第s个分量为1其0的n维向量

显然Ces0,这与f为正定相．因而ki>0 i=1,2,…,n推 对称矩阵A为正定的充分必要条件是:A的特征值全为正定理 对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是：A的各阶主子式都为正.

0,

A

1

5x26y24z24xy4xz的正定性 2 f的矩阵为A 0,各阶顺序主子20 20a11

a12

2526

A80f是负定二次型例 设U为可逆矩阵

AUTU

XTAX是正定二次型证显然ATAA实对称XU1YfXTAXXTUTUXUX)T(UXYTYX0因U可逆,所以YfYTYy2y2y2 fXTAX是正定二次型1矩阵的特征值与特征向量—般可由特征方程|AE|0直接解出特征值i(i1,n),再由线性方程组AiE)x0阵中的待定参数,再按上述步骤求出特征值和特征向量. 例1求n阶方阵A

aa（a0）aaa aaaa aa aaaf()|AE|1111 naanaanaa(na)1a1a1a a a(na)

()n1(na)A12n10n2解题思路:Axxx0,满足该定义式的值A的特征值,满足该x即为属于特征值的特征向量,由此求解或证明有关抽象矩阵特征值和特征向量题.AE0满足该特征方程的值A2A

3E＝０，A＝９，A*A2A1A

3E(1)4

3EA03所以A的一个特征值为0 3 * * *Ax00 AAx00A Ax00AAA93* AA933Ax0 x00 3

1

21Ax00 AAAx00AAA2

xx

21A13其特征值13

333Axxx0得到关于待求参数的方程组,解出所求参数;若题设条件中仅给出了矩阵的特征值,则可用特征方程AE0求解.已知矩阵的全部特征值、特征向量反求矩阵本身,可通过特征值的定义表达式Axxx0此类问题主要针对实对称矩阵来讨论,涉及到的结论是:实对称矩阵属于不同特征值的特征向量相互正交.利用此结论可得到关于所求特征向量满足的方程组,解得特征向量,进而确定 0 ，例3设A 0，1 1 （1）已知A有特3，求y（2）求P，使得APTAP为对角形.3EA

0

03

8(2y0y2，其次AP)TAPPTA2P111设 2 2Ax0x0Ax0Ax0A2A2 又A1

01 A122 EA

0

0

1,21,31,4A之特征向量，当1,2

1

03131,11 310

1

0

03,

0101,0101

1

)T)T(AP)PTA2010121000(P

11

P4AAnP的列向量,PP1AP为对角矩阵.A~B,则这两个矩阵的特征多项式、行列式、秩及迹等均相等,其逆命题常用来判断两矩阵不相似.ABAEBE4A 1

1 (１)．Ａ＝ （２．Ａ＝ 0000300 000300 (1) EA 0

0

0(1)(3),(2)121,3

0 1(1E

0

0

01

1

0T，故不能相似对角x

0000 00000000 5A P1AP

P A的特征多项式|AE

5725

422

2(1)(1)2A

0，

1，

12对于

0，解方程组(A

0060010 0060010 00

0001A0E 0

3~00

022 220050000 0050000

对于1，解方程组(A

，31