学习-磁性材料与器件

Institut o Advance Material an Informatio Technolog磁性材料与主讲先进材料磁性材料的磁特Institut o Advance Material an Informatio Technolog在Mn-Zn和Mg-Zn铁氧体的石榴石型铁氧体

离子分磁矩取

16Fe3+磁铅石型铁氧体的饱

磁场交换作 , 磁矩取磁性材料的磁特Institut o Advance Material an Informatio原子间的

Technolog两个两个原处于稳定状E最小能最小能两个独氢原子组成分系统能发生变E2E0C为为基态E需用量E需用量知各原子交换能原子磁性材料的磁特作用和交换近邻原子的电子相互作用和交换近邻原子的电子相互原子之原子间的交

TechnolEE2E

2E0C知磁性材料的磁特作用和交换近邻原子的电子相互作用和交换近邻原子的电子相互原子之原子间的交

Technol两两个独氢原子组成分系统能发生变E2E0E2E0C交换能子模型需用量子力知磁性材料的磁特作用和交换近邻原子的电子相互作用和交换近邻原子的电子相互原子之原子间的交

Technol两两个独氢原子组成分系统能发生变E2E0E2E0交换能子模型需用量子力知磁性材料的磁特E2ASaSbcosSa、Sb为a、b两个电子的自旋E2E0E2E0C考虑电E2ASaSbcosSa、Sb为a、b两个电子的自旋E2E0E2E0C考虑电原子之原子间的交换作用和

Technolog两两个原处于稳定状最小能两个独氢原子组成分系统能发生变 不相排产生自磁性材料的磁特E2ASaSbcosSa、Sb为a、b两个电子的自旋E2E0E2E0C考虑电原子之E2ASaSbcosSa、Sb为a、b两个电子的自旋E2E0E2E0C考虑电原子之原子间的交两个原处于两个原处于稳定状最小能两个独氢原子组成分系统能发生变2A两两个相邻的原子交换作用很弱交换能很小，物质是顺磁磁性材料的磁特Institut o Advance Material an Informatio Technolog原子间的交换作用和交

矩方向的夹角磁矩相对磁性（最大值铁磁1（最小值-φ1（最小值反铁磁-（最大值-φA很小-很φ磁性材料的磁特Institut o Advance Ma

an Informatio Technolog磁晶各向异磁晶各向异产生的

原子中

电轨道运

相互规律

在晶

对于立EKK 2222K 原子的取向原子的取向具有倾向电子

易 一些方

2晶体容 磁磁化在 化

对于六弱磁场 方达到饱 向

EKusin2Kusin4 磁性材料的磁特电轨道运相互对称性磁晶各向异性常数K1晶体结构的对称性有Institut o Advance电轨道运相互对称性磁晶各向异性常数K1晶体结构的对称性有磁磁晶各向异产生的对称K1K1

对于立EKK222222

六角晶

>>立方晶系的磁

各向异性常数K

各向异性常数

K 1硬磁材

软磁软磁材EKusin2Kusin4 磁性材料的磁特Institut o Advance Material an Informatio Technolog晶体结构对电子运动的相互作用和磁晶各向铁氧体名称化学成K1[尔格/厘米xyz34--0(--+25×103(--131×103(--100×103(-0--------28×103,--磁性材料的磁特Institut o Advance Material an Informatio Technolog晶体结构对电子运动的相互作用和磁晶各向铁氧体名称化学成K1[尔格/厘米xyz-----229×103(-0--(-185下同-----67×103,--03--(-185下同-磁性材料的磁特Institut o Advance Material an Informatio Technolog晶体结构对电子运动的相互作用和磁晶各向铁氧体名称化学成K1[尔格/厘米xyz----39×103,--229×103(---------0--(-185下同0磁性材料的磁特Institut o Advance Material an Informatio晶体结构对电子运动的相互作用和磁晶各向

Technolog铁氧铁氧体名称化学成K1[尔格/厘米xyz×103(--12-60×103,-×103(-----LixFe3++Fe3+ --127×103(---167×103(--+10×103(-)磁性材料的磁特Institut o Advance Material an Informatio晶体结构对电子运动的相互作用和磁晶各向

Technolog铁氧铁氧体名称化学成K1[尔格/厘米xyz---105.3×103(--+198.0×103(---46.8×103(--+112.2×103(-+210×103(--+407.5×103(-+172.9×103(---))磁性材料的磁特Institut o Advance Material an Informatio晶体结构对电子运动的相互作用和磁晶各向

Technolog铁氧铁氧体名称化学成K1[尔格/厘米xyz+328.8×103(-0-17.2×103(------------磁性材料的磁特Institut o Advance Material an Informatio Technolog晶体结构对电子运动的相互作用和磁晶各向铁氧体名称化学成K1[尔格/厘米xyz----------260×103(-------磁性材料的磁特Institut o Advance Material an Informatio Technolog晶体结构对电子运动的相互作用和磁晶各向铁氧体名称化学成K1[尔格/厘米xyz----------260×103(-------磁性材料的磁特Institut o Advance Material an Informatio晶体结构对电子运动的相互作用和磁晶各向

Technolog铁氧铁氧体名称化学成K1[尔格/厘米xyz--160×103(----------35~--11×103(-×103(-)磁性材料的磁特Institut o Advance Material an Informatio Technolog晶体结构对电子运动的相互作用和向异铁氧体名称化学组K1+2K2[尔格/厘米xyz1-2-3-1、磁晶各向异性和晶体结构对称性结构对称性高的（如立方晶系）晶各向异性小，结构对称性（如六角晶系）磁晶各向异（相差两个数量级磁性材料的磁特Institut o Advance Material an Informatio Technolog晶体结构对电子运动的相互作用和向异铁氧体名称化学组K1+2K2[尔格/厘米xyz1-2-3-1、磁晶各向异性和晶体结构对称性2、各种单组分铁氧体，除Co130K以下时的Fe3O4的K1值是正值外其余大多铁氧体的K1值都是Fe3+和Mn3+的K1值却是负值磁性材料的磁特Institut o Advance Material an Informatio Technolog晶体结构对电子运动的相互作用和向异铁氧体名称化学组K1+2K2[尔格/厘米xyz1-2-3-1、磁晶各向异性和晶体结构对称性2、各种单组分铁氧体，除Co130K以下时的Fe3O4的K1值是正值外其余大多铁氧体的K1值都是不论尖晶石型还是磁铅石型的含铁氧体的K1都有特别大的绝磁性材料的磁特Institut o Advance Material an Informatio Technolog晶体结构对电子运动的相互作用和向异铁氧体名称化学组K1+2K2[尔格/厘米xyz1-2-3-1、磁晶各向异性和晶体结构对称性2、各种单组分铁氧体，除Co130K以下时的Fe3O4的K1值是正值外其余大多铁氧体的K1值都是4、磁晶各向异性常数与温度有很大关但是磁铁矿Fe3O4K1随温度的变化却与130K时发磁性材料的磁特Institut o Advance Material an Informatio Technolog磁铁矿晶体各向异性常数K1、K2与温度52K2K1、K2尔格/厘米

K1+2K2[尔格/厘米---一般K1、K2值随一般K1、K2值随温度升高而下降，但是磁铁矿Fe3O4K1随温度的变化却与130K时发

4、磁晶各向异性常数与温度有很大关磁性材料的磁特晶体形变和磁致伸缩能、磁弹性左下图是几种磁性材料的伸缩 即伸长或缩短数Δl和原长之比）和磁场强度H的关系Institut o Advance Material a晶体形变和磁致伸缩能、磁弹性左下图是几种磁性材料的伸缩 即伸长或缩短数Δl和原长之比）和磁场强度H的关系正磁致负磁致磁化方向所发生的伸长或缩短磁性磁性材磁性材在磁化在磁化向伸向缩在垂直在垂直磁化方存在一磁化方缩饱和伸0

磁性材料的磁特Institut o Advance Material an Informatio

Technolog外磁场晶体形变和磁致外磁场

方向不方向作用伸长，一些缩对晶格发生一集合

饱和磁磁性材料的磁特Institut o Advance Material an Informatio晶体形变和磁致伸缩能、磁弹性

Technolog可逆的弹性形可逆的弹性形

22222

1 100 自发外磁场中磁由于磁各向异31111212自发外磁场中磁由于磁各向异αi磁化方向相对三个晶轴的方βi测量方向相对三个晶轴的方向多晶磁性多晶磁性材料磁致伸缩系

测量方0

2100

31115

磁化方Ya1X

cosa2,

cosb2,

cosc2cosa, cosb, cos 1磁性材料的磁特Institut o Advance Material an Informatio晶体形变和磁致伸缩能、磁弹性

Technolog在有些晶体中，磁化方改在有些晶体中，磁化方改变不影响伸缩的数

22222

1 100 3111121223233131αi磁化方向相对三个晶轴的方磁致伸各向同βi测量方向相对三磁致伸各向同100右上式

111s

测量方磁化方l 3

1 伸缩值只随测量（相对磁化方向）发生变伸缩值只随测量（相对磁化方向）发生变X

a1

cosa2,

cosb2,

cosc2cosa, cosb, cos 1磁性材料的磁特Institut o Advance Material an Informatio不避磁性材料发磁致伸晶不避磁性材料发磁致伸

Technolog 100右上式

111s

通常用

3

cos2

13伸缩值只随测量（相伸缩值只随测量（相对磁化方向）发生变磁致伸缩能Ems很小，一般并磁晶各磁性材料的磁特Institut o Advance Material an Informatio Technolog材料

内部由磁致伸缩产生的应力示材料内产生内材料内产生内不能伸内应力张应不能缩内部有也就具弹性位磁性材料的磁特Institut o Advance Material an Informatio Technolog伸缩方向所作伸缩方向所作

l 3

cos2 l 磁致磁致伸磁晶磁弹性综合平稳定状Φ是磁化方向与内σ方向之间的夹单向内应力σ所造成的磁化各向方向有各向异100111

3

cos213 s 3磁性材料的磁特磁化能是外磁磁性 1NMd2sInstitut o Advance Material a磁化能是外磁磁性 1NMd2s外磁场的直接作用和外磁场能、退外外磁作用磁磁化相互作用能相互作磁性材料的磁特Institut o Advance Material an Informatio各种能量在磁畴的形成过程

Technolog交换原交换原能量能量形成复磁化过稳定于能量最低的状磁畴形成的理论基取取向最近易磁化轴之确保确保交最原子反平磁性材料的磁特Institut o Advance Material an Informatio各种能量在磁畴的形成过程

Technolog原子磁要原子磁要之能量取向最近易磁化轴原子反平确保交最交换原 NSNSNSfff能量最 能量最NSNSNSfffterterial an Informatio稳定状Institut o Advance M各种能量在磁畴的形成过程

Technolog

NSNSNSfff能量最 能量最NSNSNSfff磁性材料的磁特各种能量在磁畴的形成过程中磁畴结能最小原铁磁性各向同铁磁性不受铁磁性不受磁Institut o Advan各种能量在磁畴的形成过程中磁畴结能最小原铁磁性各向同铁磁性不受铁磁性不受磁-------磁畴结-磁畴结L -+ -++

++ 简称磁性材料的磁特Institut o Advance Material an Informatio---各种能量在磁畴的形成过程中关 ----一定能形成一定厚一定能形成一定厚畴壁能量最磁畴结

TechnologL------+ --++ 简称磁性材料的磁特Institut o Advance Material an Informatio---各种能量在磁畴的形成过程中关 ----磁畴结-磁畴结

TechnologLaaaaN---+ --+---+ --++ 磁畴简称磁a畴壁能密度

磁性材料的磁特畴越磁过渡消耗交换能磁晶各增平增大畴厚减少畴厚交换畴壁的厚度取决于交换能磁晶各向异性能平Institut o Advance畴越磁过渡消耗交换能磁晶各增平增大畴厚减少畴厚交换畴壁的厚度取决于交换能磁晶各向异性能平各种能量在磁畴的形成过程aaaaNa畴壁厚度 Na畴壁能

Ew磁性材料磁化的物理的共外作Institut o Advance Material an Informatio Technol的共外作显进显进一步磁性材的不响应方 程磁场强究外畴壁畴壁移新磁畴构产磁性材料磁化的物理本部Institut o Advance Material an Informatio Technolog本部一、基受外磁作磁中性变到受外磁作磁中性变到位剩余磁化强度等静态磁参二、基本理磁畴转模畴壁模InstitutInstitut o Ad技术磁动态磁静态磁受外磁作磁中性变到位正磁化反磁化磁场动ance Material an Info磁受外磁作磁中性变到位正磁化反磁化磁场动实现宏观磁化的磁化InstituInstitut o Ad内禀磁静态磁场动态磁受外磁作磁中性变到位正磁化反磁化动ance Material an磁场动态磁受外磁作磁中性变到位正磁化反磁化动InstitInstitut o Advance 满足最小值条一个易磁体内的总自由能满足最小值条一个易磁体内的总自由能假设假设磁体无外场和力受外磁作磁中性变到位磁性材料磁化的物理自发磁Institut o Advance Material an Informatio Tec自发磁假设假设磁体无外场和力为降低只有改自发磁化矢量分布在磁体分成在磁体分成许多大小和方向一致的自发磁化区满足

一个易磁体内的总自由能磁性材料磁化的物理Institut o Advance Material an Informatio Technolog整个晶体内自发磁化矢量均匀一取单

的相互平磁畴形NNNNSSS Ms N磁性材料磁化的物理Institut o Advance Material an Informatio Technolog假设晶体的长度和比其厚度L大很假设晶体的长度和比其厚度L大很的退磁场能（总能量）EF(L1)1.8104JLNNLNNN单位面积s s

Eds20.8521107M2Ds0

1.7107M2D表面的形成片设磁畴宽度为

Fd Ms上式表明：退磁场能与磁畴宽度DLL 磁性材料磁化的物理假设晶体的长度和比其厚度L大很并有1/D个磁畴壁总面积为Institut o Advance Mat假设晶体的长度和比其厚度L大很并有1/D个磁畴壁总面积为LNNN假设单位LNNN因此晶体单位面积中的磁畴 表面的

Fd

0M

EwLDL要使得片状畴稳定必须总能量取极1.7 1.7 72sD104 Msw17形成片设磁畴宽度为N

LL

w

LwD2 磁性材料磁化的物理Institut o Advance Material an Informatio Technolog 假设晶体的长度和比其厚度L大很平行反向，下端无假设晶体的长度和比其厚度L大很表面磁极密度

- - + + + σ=-Ms，m为整数NNN

设静磁势为φ(x,z)。在 ≠0的区域φ(x,z)满足 斯方LL

M0Fd M0D

2z设磁畴宽度为

1.7107M2s 104 s 2D2

w

M 17磁性材料磁化的物理Institut o Advance Material an Informatio Technolog 假设晶体的长度和比其厚度L大很平行反向，下端无假设晶体的长度和比其厚度L大很表面磁极密度

- - + + + σ=-Ms，m为整数NNN

设静磁势为φ(x,z)。在 ≠0的区域φ(x,z)满足 斯方表面的

M0Fd M0

2z形成片设磁畴宽度为

L依据L

z

斯的解

d

8M Ansin

xe

n2ns s

d n磁性材料磁化的物理Institut o Advance Material an Informatio Technolog 在z=0处，静磁势假设晶体的长度和假设晶体的长度和比其厚度L大很

- - + + + Ansin 8M

d 2 2

sin NNN

n1

d 在xy平面的每单位面积下的静

18M2

Fd

sin xdx表面的

Fd

0M

n1n2

L形成片 0.8525Ms 8L形成片 0.8525Ms设磁畴宽度为

n1n

斯的解

d

8M Ansin

xe

n2ns s

d n磁性材料磁化的物理Institut o Advance Material an Informat并有1/D个磁畴壁总面积为Ms1.71106w1.59103Jm2,L102

Ed2Ed20.8521107M2s1.7107M2s因此晶体单位面积中的磁畴LEwLEwLD

EwDE 5.6Jm2

要使得片状畴稳定必须总能量取极

(Ed

Ew)分畴和未分畴时其能变化比

L Ls1.7107MsD104 D

wD2 1.8104

2 Ms 17磁性材料磁化的物理Institut o Advance M以铁为Ms1.71106w1.59103Jm2,L102

Ed2Ed20.8521107M2s1.7107M2s因此晶体单位面积中的磁畴LEwLEwLD

EwDE 5.6Jm2

要使得片状畴稳定必须总能量取极

(Ed

Ew)分畴和未分畴时其能变化比

L Ls1.7107MsD104 D

wD2 1.8104

2 Ms 17磁性材料磁化的物理Institut o Advance Material an Informatio Technolog对于铁<100>方向为易磁化轴，相邻磁畴的自发（b）是180畴壁，也有许多方向、磁化强度之间的夹角分别为90、180[100]、[010]等，在（001）面因此可用角度和方向表示畴壁的右图是几种不同角度的铁型（a）是90畴壁，有许多方向，[110][111]、[112]、[113][11L]，L是任整数，在（11-0）面

（11-Ms2

1）磁性材料磁化的物理Institut o Advance Material an Informatio Technolog（-<111>方向为易磁化<111>方向为易磁化109.4770.53、

（（在（11-0）面

（11-

（e）是180畴壁，有许多方在（111）

Ms2

1）畴壁内的每一个原子磁矩，在畴法线畴壁内的每一个原子磁矩，在畴法线方向的分量都必须相所有原子磁矩都考虑在畴壁内，垂直畴壁面某一直线上原子磁矩的在某一磁矩排假定畴壁的表面和不出现磁荷，减小退磁Institut o Advance Material an Informatio Technolog畴壁内原子磁畴壁内原子磁矩不是突变而是以某种规律的增加退a磁性材料磁化的物理Institut o Advance Material an Informatio Technolog几种典型理想晶体的畴壁Fe型晶体两种划三易磁化轴[100]Fe型晶体两种划6种磁相，有3种180Ni型晶体Ni型晶体Co共有2种磁相有1Co180NNNNMNNNNM两种划Institut o Advance Material an In两种划畴畴壁磁矩过渡方不同划磁性材料磁化的物理畴壁逐存在于薄膜薄膜表面而逐步两种划Institut o Advance Material an Inf畴壁逐存在于薄膜薄膜表面而逐步两种划畴壁磁矩过渡方不同划SSSSNMs2SNNNNMNNNNM磁性材料磁化的物理Institut o Advance Material an Informatio Technolog 当90畴壁位于AB取向 相邻两磁相邻两磁畴中的自发磁化矢量畴壁法线方向的投影分量相（1）畴壁取向规MS1nMS2n畴壁AB面荷密度0(MS1

n

MS n) 以90磁畴①和②中的自发磁化矢量相互 ②θMs2 ①

0(MS1MS2)n)n为畴壁AB的法线单当90畴壁位于A´B´位置表面能密度20MssinAB、A´B´是相邻两磁畴之间磁性材料磁化的物理Institut o Advance Material an Informatio Technolog相邻两磁畴中的自发磁相邻两磁畴中的自发磁化矢量畴壁法线方向的投影分量相畴壁表面不出现不产生退磁场的条所以，180畴壁取向所以，180畴壁取向磁磁畴①和②中的自发磁化矢量相互 ②θMs2 ①AB、A´B´是相邻两磁畴之间磁性材料磁化的物理y 0zInstitut o Advance Material an Informatio Technoy 0z（1）畴壁取向规相邻两相邻两磁畴中的自发磁化矢畴壁法线方向的投影分量相（2）畴壁内磁矩取向规这样，畴壁内部的每一个的磁矩的取向分布只与z轴方向上的距而与x、y轴方向上的无

磁矩过渡时满足不出现磁荷的条的取向分布有 0与畴壁法线n

(J

J

Jzxoy平面为畴

J

磁性材料磁化的物理（1）畴壁取向规得到Jz=常数，Jn常数畴壁应该遵从以下(MS1MS2)nJn（1）畴壁取向规得到Jz=常数，Jn常数畴壁应该遵从以下(MS1MS2)nJn相邻两磁畴中的自发磁化矢畴壁法线方向的投影分量相y 0z（2（2）畴壁内磁矩取向规这样，畴壁内部的每一个的磁矩的取向分布只与z轴方向上的距而与x、y轴方向上的无磁矩过渡时满足不出现磁荷的条只有体磁荷等于 0 0( Jx

J

Jz

J

磁性材料磁化的物理y 0zInstitut o Advance Material an Informatio Technoy 0z（1）畴壁取向规相邻两相邻两磁畴中的自发磁化矢畴壁法线方向的投影分量相（2）畴壁内磁矩取向规得到Jz=常数，即Jn常数这样，畴壁内部的每一个的磁矩的取向这样，畴壁内部的每一个的磁矩的取向分布只与z轴方向上的距而与x、y轴方向上的无((MS1MS2)nJnInstiInstitut oAdvanc Material an Informatio Technolog易磁化轴在x轴，磁矩的1、计算一180布洛赫壁中磁矩的过渡模设坐标的原点为畴壁的中畴壁的法线方向为z轴方畴壁的一个平面z轴的-位置，磁矩处于-根据布洛赫畴壁结构磁矩应该在

假设在z轴任意处平面的磁矩与易磁化轴假设在z轴任意处平面的磁矩与易磁化轴ijijaa是立方晶体的点阵x平面内旋转，而且保持与z畴壁的另一个平面处在z位置，磁矩处于

-0

zInstiInstitut oAdvanc Material an Informatio Technolog易磁化轴在x轴，磁矩的1、计算一畴畴壁中相邻原子层两个原子间的交换能E AS22AS2a2(

假设在z轴任意处平面的磁矩与易磁化轴假设在z轴任意处平面的磁矩与易磁化轴原子磁矩转过一个角ij ij a单位体积中的交换能11 AS

()2

a是立方晶体的点阵

x单位面积的畴壁中的交换x2ex

ASa

()2dzA1(

)2dz

-0

zInstiInstitut oAdvanc Material an Informatio Technolog易磁化轴在x轴，磁矩的1、计算一畴畴壁中相邻原子层两个原子间的交换能E AS22AS2a2(

假设在z轴任意处平面的磁矩与易磁化轴假设在z轴任意处平面的磁矩与易磁化轴原子磁矩转过一个角ij ij a单位体积中的交换能11 AS

()2

a是立方晶体的点阵

在畴壁两表面,磁矩在易磁化轴方2单位面积的畴壁中的交换2

在畴壁内磁矩过渡过ex

AS (

)2dz

磁晶各向异性能随变dzg(单位体积中的磁晶各向异性dzg(单位体积中的磁晶各向异性

(

)2dz

InstiInstitut oAdvanc Material an Informatio Technolog易磁化轴在x轴，磁矩的转动1、计算一畴畴壁中相邻原子层两个原子间的交换能E AS22AS2a2( 单位体积中的交换能

假设在z轴任意处平面上假设在z轴任意处平面上 11

AS2()2

a是立方晶体的点阵[A()2g([A()2g()]dz单位面积畴壁的总能 2ex

AS (

)2dz

1单位面积畴壁中的磁晶各向异性1 (1

)2dz

g()dz 单位体积中的磁晶各向异性InstiInstitut oAdvanc Material an Informatio Technolog易磁化轴在x轴，磁矩的1、计算一

假设在假设在z轴任意处平面的磁矩与易磁化轴在畴壁内部，相邻两原子层之间ijija2 g()]dz2 g()]dzz1[Akexw单位面积畴壁的总能w[A g()]dz210A21 dz 2 ()dz1 2A()1 ()dz 2A()12 dz21z22A12)dz总畴壁能极小要求满足某种条件，通过变分法可以单位面积畴壁中的磁晶各向异性能dzgdzg(单位体积中的磁晶各向异性 InstiInstitut oAdvanc Material an Informatio Technolog易磁化轴在x轴，磁矩的转动ww[A1)2g()]dzg()dzg()dz总畴壁能极小要求满足某种条件，通过变分法可以

假设在z假设在z轴任意处平面上 [A()[A()2g()]dz单位面积畴壁的总能 1单位面积畴壁中的磁晶各向异性 g()dz 单位体积中的磁晶各向异性InstiInstitut oAdvanc Material an Informatio Technologg()Az)g()Az)211、计算一总畴壁能极小要求总畴壁能极小要求w

[A()

g()]dz所以，总畴壁w

[g()g(g()2A1z20

2

2z2 dz

a是立方晶体的点阵

2 g()]2 g()]dzz1[Akexw单位面积畴壁的总能

单位面积畴壁中的磁晶各向异性能dzgdzg(单位体积中的磁晶各向异性 g()

2

dz2

z

zInstiInstitut oAdvanc Material an Informatio Technologg()Az)g()Az)211、计算一总畴壁能极小要求总畴壁能极小要求w

[A()

g()]dz所以，总畴壁w

[g()g(g()2A1z20

2

2z2 dz用 同乘并对z从z=-到z=z积 g()

dz

2A2

1z InstiInstitut oAdvanc Material an Informatio Technologg()Az)g()Az)21 d 1、计算一总畴壁能极小要求总畴壁能极小要求w

[A()

g()]dz

g(g(所以，总畴壁w

[g()g(g()2A1z20

2

2z2 dz

磁壁zA1zA1 0g(用 同乘并对z从z=-到z=z积 g()

dz

2A2

1z InstiInstitut oAdvanc因为z=-时g()A1z)2dz d 磁壁zA1 d g(畴壁因为z=-时g()