上海民办交大南洋中学2023年高三数学文联考试卷含解析

上海民办交大南洋中学2023年高三数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在△ABC中，若角A，B，C成公差大于0的等差数列，则cos2A＋cos2C的最大值为A．

B．

C．2

D．不存在参考答案：D∵角A，B，C成等差数列，∴A＋C＝2B，又A＋B＋C＝180°，∴B＝60°，A＋C＝120°．cos2A＋cos2C＝＋＝1＋(cos2A＋cos2C)＝1＋[cos(240°－2C)＋cos2C]＝1＋cos(2C＋60°)．∵60°<C<120°，∴180°<2C＋60°<300°，∴<1＋cos(2C＋60°)<，即cos2A＋cos2C的最大值不存在故选D2.设是空间中不同的直线，是不同的平面，则下列说法正确的是（

）A．，则

B．，则

C．，则

D．，则参考答案：D3.已知（其中为正数），若，则的最小值是

A．2

B．

C．

D．8参考答案：C4.已知△ABC为等边三角形，AB=2，设点P，Q满足，，，若，，则=(

)A. B. C. D.参考答案：A试题分析：∵，，∴，∴.考点：向量的运算.5.设满足约束条件若目标函数的最大值为8，则的最小值为

A．2 B．4 C．6 D．8参考答案：B6.已知集合M={x|y=ln（x2﹣3x﹣4）}，N={y|y=2x﹣1}，则M∩N等于（）A．{x|x＞4} B．{x|x＞0} C．{x|x＜﹣1} D．{x|x＞4或x＜﹣1}参考答案：A【考点】交集及其运算．【分析】求出M中x的范围确定出M，求出N中y的范围确定出N，找出两集合的交集即可．【解答】解：由M中x2﹣3x﹣4＞0，即M={x|x＞4或x＜﹣1}，N={y|y=2x﹣1}={y|y＞0}，则M∩N={x|x＞4}，故选：A．7.在△ABC中，三内角A、B、C对应的边分别为a、b、c，且，，BC边上的高为h，则h的最大值为（

）A. B.1 C. D.2参考答案：C【分析】先化简已知得，再求出，再利用三角函数求h最大值得解.【详解】因为，所以所以.所以所以,所以当B=时，h取最大值.故选：C【点睛】本题主要考查正弦定理解三角形，考查三角函数和三角恒等变换，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.8.设，把的图象按向量平移后，图象恰好为函数的图象，则的值可以为

A．

B．

C．

D.参考答案：D9.已知、是两个单位向量，那么下列命题中的真命题是（

）．A．

B．

C．

D．

参考答案：D10.若三棱锥的三视图如右图所示,则该三棱锥的体积为【

】.A.

B.

C.

D.参考答案：D由三视图知：三棱锥的底面为直角三角形，两直角边分别为5和4，三棱锥的高为4，所以三棱锥的体积为。二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若三角方程有解，则实数的取值范围是

．参考答案：12.在△ABC中，B（10，0），直线BC与圆Γ：x2+（y﹣5）2=25相切，切点为线段BC的中点．若△ABC的重心恰好为圆Γ的圆心，则点A的坐标为．参考答案：（0，15）或（﹣8，﹣1）考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：设BC的中点为D，设点A和C的坐标，根据圆心Γ（0，5）到直线AB的距离等于半径5求出AB的斜率k的值．再由斜率公式以及ΓD⊥BC，求出C的坐标，再利用三角形的重心公式求得A的坐标．解答：解：设BC的中点为D，设点A（x1，y1）、C（x2，y2），则由题意可得ΓD⊥BC，且D（，）．故有圆心Γ（0，5）到直线AB的距离ΓD=r=5．设BC的方程为y﹣0=k（x﹣10），即kx﹣y﹣10k=0．则有=5，解得k=0或k=﹣．当k=0时，有，当k=﹣时，有．解得，或．再由三角形的重心公式可得，由此求得或，故点A的坐标为（0，15）或（﹣8，﹣1），故答案为（0，15）或（﹣8，﹣1）．点评：本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，点到直线的距离公式、斜率公式、三角形的重心公式，属于中档题．13.双曲线的焦点到渐近线的距离等于

．参考答案：314.如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体外接球的表面积为

．参考答案：15.已知的三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为_________参考答案：16.若实数，满足，则的最大值为___________.参考答案：3如图4，画出可行域，可知目标函数的最大值是当直线过时取得，即．17.方程的全体实数解组成的集合为______参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数.（Ⅰ）若曲线在点处的切线经过点（0,1），求实数a的值；（Ⅱ）求证：当时，函数至多有一个极值点；参考答案：（Ⅰ）（Ⅱ）见证明【分析】（Ⅰ）利用导数的几何意义求实数a的值；（Ⅱ）对a分两种情况讨论，利用导数证明函数至多有一个极值点.【详解】解：（Ⅰ）由，得所以，.所以由得.（Ⅱ）证明：当时，当时，，函数在上单调递增，无极值；当时，令，则.由得，则①当，即时，，在上单调递减，所以在上至多有一个零点，即在上至多有一个零点.所以函数在上至多有一个极值点.②当，即时，及随的变化情况如下表：x+0-↗极大值↘

因为，所以在上至多有一个零点，即在上至多有一个零点.所以函数在上至多有一个极值点.综上，当时，函数在定义域上至多有一个极值点【点睛】本题主要考查导数的几何意义，考查利用导数研究函数的极值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.19.

在一个月内分批购入每张价值为20元的书桌共36台，每批都购入x台（x是正整数），且每批均需付运费4元，储存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购入书桌的总价值（不含运费）成正比，若每批购入4台，则该月需用去运费和保管费共52元，现在全月只有48元资金可以用于支付运费和保管费.(1）求该月需用去的运费和保管费的总费用(2）能否恰当地安排每批进货的数量，使资金够用？写出你的结论，并说明理由.参考答案：20.几何证明选讲如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是AC的中点，BD交AC于点E．

（I）求证：CD2=DE2=AE×EC;

（II）若CD的长等于⊙O的半径，求∠ACD的大小．参考答案：略21.（本小题满分12分）某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（km/t）分成六段：后得到如图4的频率分布直方图．问：（1）求这40辆小型车辆车速的众数和中位数的估计值.（2）若从车速在的车辆中任抽取2辆，求抽出的2辆车中车速在的车辆数的分布列及其均值（即数学期望）．参考答案：（1）众数的估计值为最高的矩形的中点，即众数的估计值等于（2分）设图中虚线所对应的车速为，则中位数的估计值为：，解得即中位数的估计值为

(5分)（2）从图中可知，车速在的车辆数为：（辆），车速在的车辆数为：（辆）

(7分)∴，，，，的分布列为012

(10分)均值.

(12分)22.（本小题满分14分）已知函数.（Ⅰ）若在处取得极大值，求实数a的值；（Ⅱ）若，直线都不是曲线的切线，求的取值范围；（Ⅲ）若，求在区间［0，1］上的最大值。参考答案：解：（Ⅰ）因为………………2分令，所以随的变化情况如下表：+0-0+Z极大值］极小值Z

……4分所以

…………5分（由得出，或，在有单调性验证也可以（标准略））（Ⅱ）因为

……6分因为，直线都不是曲线的切线，所以无实数解……7分只要的最小值大于所以

……8分（Ⅲ）因为，所以，当时，对成立所以当时，取得最大值

……9分当时，在时