上海德州中学2023年高二数学理期末试题含解析

上海德州中学2023年高二数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知命题p：对任意x∈[1，2]，x2﹣a≥0，命题q：存在x∈R，x2+2ax+2﹣a=0，若命题p且q是真命题，则实数a的取值范围为（）A．a≤﹣2或1≤a≤2 B．a≤﹣2或a=1 C．a≥1 D．﹣2≤a≤1参考答案：B【考点】复合命题的真假．【分析】先分别求出命题p，q下的a的取值范围，再根据p∧q为真命题，得到p，q都为真命题，所以对求得的p，q下的a的取值范围求交集即可．【解答】解：命题p：a≤x2，x2在[1，2]上的最小值为1，∴a≤1；命题q：△=4a2﹣4（2﹣a）≥0，解得a≤﹣2，或a≥1；∵p∧q是真命题，∴p，q都是真命题；∴a≤1，且a≤﹣2，或a≥1；∴a≤﹣2；或a=1故选：B2.“a＞0”是“|a|＞0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A【考点】必要条件．【分析】本题主要是命题关系的理解，结合|a|＞0就是{a|a≠0}，利用充要条件的概念与集合的关系即可判断．【解答】解：∵a＞0?|a|＞0，|a|＞0?a＞0或a＜0即|a|＞0不能推出a＞0，∴a＞0”是“|a|＞0”的充分不必要条件故选A3.“a=1”是“a2=1”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：由a2=1得a=1或﹣1，则“a=1”是“a2=1”的充分不必要条件，故选：A4.设三条不同直线，两个不同平面，,下列命题不成立的是

（

）A．若，则

B．“若，则”的逆命题C．若是在的射影，，则

D．“若，则”的逆否命题参考答案：B5.已知△的顶点、分别为双曲线的左右焦点，顶点在双曲线上，则的值等于（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D6.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是(

) A．棱锥 B．棱台 C．圆锥 D．棱柱参考答案：D考点：简单空间图形的三视图．专题：空间位置关系与距离．分析：直接利用三视图判断直观图即可．解答： 解：由题意不难判断几何体是三棱柱，故选：D．点评：本题考查空间几何体的三视图与直观图的关系，基本知识的考查．7.随机变量X的分布列为X1234P0.20.30.4则（

）A．4.8

B．5

C．6

D．8.4参考答案：B8.如图，一个底面半径为的圆柱被与其底面所成角为的平面所截，截面是一个椭圆，当为时，这个椭圆的离心率为(

)A．

B．C．

D．参考答案：A9.设椭圆（a>b>0）的两焦点为F1、F2，若椭圆上存在一点Q，使∠F1QF2=120o，椭圆离心率e的取值范围为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A10.椭圆的长轴为2，离心率为，则其短半轴为（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】椭圆的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由已知可得：a=1，=，再利用b2=a2﹣c2即可得出．【解答】解：由已知可得：a=1，=，∴c=．∴b2=a2﹣c2=，∴b=，故选：C．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质，属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.，若在R上可导，则＝

，参考答案：略12.等轴双曲线的渐近线方程为

．

参考答案：略13.设函数f（x）=，则f（﹣2）+f（log212）=

．参考答案：9考点：函数的值．专题：三角函数的求值．分析：由条件利用指数函数、对数函数的运算性质，求得f（﹣2）+f（log212）的值．解答： 解：由函数f（x）=，可得f（﹣2）+f（log212）=（1+log24）+=（1+2）+=3+6=9，故答案为：9．点评：本题主要考查分段函数的应用，指数函数、对数函数的运算性质，求函数的值，属于基础题．14.圆C1：与圆C2：的公切线有_______条．参考答案：3略15.若直线：和：将圆分成长度相同的四段弧，则ab=

．参考答案：－7两条直线：和：平行，把直线方程化为一般式：和，圆的直径为，半径，直线被圆所截的弦所对的圆心角为直角，只需两条平行线间的距离为4，圆心到直线的距离为2，圆心到则的距离为，若，则，同样，则，则.

16.若都是正实数，且，则的最小值是。参考答案：

17.已知P，Q分别为直线和上的动点，则PQ的最小值为

．参考答案：由于两条直线平行，所以两点的最小值为两条平行线间的距离.

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分12分）已知动点与两定点连线的斜率之积等于常数.(I)求动点P的轨迹C的方程；(II)试根据的取值情况讨论轨迹C的形状.参考答案：（Ⅰ）由题设知直线PM与PN的斜率存在且均不为零

所以

整理得（λ≠0，x≠±1）

（4分）（Ⅱ）①当时，轨迹C为中心在原点，焦点在x轴上的双曲线（除去顶点）②当时，轨迹C为中心在原点，焦点在x轴上的椭圆（除去长轴两个端点）③当时，轨迹C为以原点为圆心，1的半径的圆除去点(－1，0)，(1，0)④当时，轨迹C为中心在原点，焦点在y轴上的椭圆（除去短轴的两个端点）

………….12分略19.(本小题满分12分)如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，E、F分别为PC、BD的中点，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝AD．(1)求证：EF∥平面PAD；(2)求证：平面PAB⊥平面PCD．参考答案：证明：(1)连结AC，则F是AC的中点，E为PC的中点，故在△CPA中，EF∥PA，

……3分又∵PA?平面PAD，EF?平面PAD，∴EF∥平面PAD．

……6分(2)∵平面PAD⊥平面ABCD，

20.已知函数f（x）=ax3+bx2﹣3x在x=±1处取得极值．（1）求实数a，b的值；（2）过点A（0，16）作曲线y=f（x）的切线，求此切线方程．参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；导数的运算．【分析】（1）利用极值的意义，建立方程，即可求a，b；（2）设切点坐标．利用导数的几何意义求切线方程，然后利用切线过原点，确定切点坐标即可【解答】解：（1）f′（x）=3ax2+2bx﹣3，依题意，f′（1）=f′（﹣1）=0，即，解得a=1，b=0．（2）曲线方程为y=x3﹣3x，点A（0，16）不在曲线上．设切点为M（x0，y0），则点M的坐标满足y0=x03﹣3x0．因f′（x0）=3（x02﹣1），故切线的方程为y﹣y0=3（x02﹣1）（x﹣x0）注意到点A（0，16）在切线上，有16﹣（x03﹣3x0）=3（x02﹣1）（0﹣x0），化简得：x03=﹣8，解得x0=﹣2．所以，切点为M（﹣2，﹣2），切线方程为9x﹣y+16=0．21.（本题满分12分）如图，已知正四棱柱ABCD-的底面边长为3，侧棱长为4，连结，过A作

,垂足为F，且AF的延长线交于E.

（1）求证：平面AEC；（2）求二面角B-AE-C的的余弦值。参考答案：证明：根据题意，建立空间直角坐标系如图所示，则A(3，0，0),B(3，3，0),C(0，3，0),,（1），

（2）由（1）知，，是平面AEC的一个法向量。又是平面ABE的一个法向量.即二面角B-AE-C的余弦值为22.已知向量,，设函数（1）若函数的零点组成公差为的等差数列，求函数的单调递增区间；（2）若函数的图象的一条对称轴是，当时，求函数的