上海市控江中学2022年高三数学文联考试卷含解析

上海市控江中学2022年高三数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝1相交于P、Q两点，且∠POQ＝120°(其中O为坐标原点)，则k的值为()A. B.

C.或－ D.和－参考答案：C【分析】直线过定点，直线y=kx+1与圆x2+y2=1相交于P、Q两点，且∠POQ=120°（其中O为原点），可以发现∠QOx的大小，求得结果．【详解】如图，直线过定点（0，1），∵∠POQ=120°∴∠OPQ=30°，?∠1=120°，∠2=60°，∴由对称性可知k=±．故选C．【点睛】本题考查过定点的直线系问题，以及直线和圆的位置关系，是基础题．2.椭圆M：=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，P为椭圆M上任一点，且的最大值的取值范围是[2c2，3c2]，其中.则椭圆M的离心率e的取值范围是

（

）

A、 B、 C、 D、参考答案：A略3.在等差数列中，a8=15，则

(A)15(B)30(C)45(D)60参考答案：D略4.已知集合M={x∈Z|﹣x2+3x＞0}，N={x|x2﹣4＜0}，则M∩N=（）A．（0，2） B．（﹣2，0） C．{1，2} D．{1}参考答案：D【考点】交集及其运算．【分析】求出M中不等式的整数解确定出M，求出N中不等式的解集确定出N，找出M与N的交集即可．【解答】解：M={x∈Z|﹣x2+3x＞0}={1，2}，N={x|x2﹣4＜0}=（﹣2，2），则M∩N={1}故选：D【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．5.函数的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为（）

A．B．1C．2D．参考答案：A根据积分的应用可求面积为，选A.6.三棱锥P﹣ABC的四个顶点均在同一球面上，其中△ABC是正三角形，PA⊥平面ABC，PA=2AB=6，则该球的体积为（）A．16π B．32π C．48π D．64π参考答案：B【考点】球内接多面体．【分析】由题意把A、B、C、P扩展为三棱柱如图，求出上下底面中心连线的中点与A的距离为球的半径，然后求出球的体积．【解答】解：由题意画出几何体的图形如图，把A、B、C、P扩展为三棱柱，上下底面中心连线的中点与A的距离为球的半径，PA=2AB=6，OE=3，△ABC是正三角形，∴AB=3，∴AE==．AO==2．所求球的体积为：（2）3=32π．故选：B．7.执行如图所示的程序框图，输出S的值等于（）A. B.C. D.参考答案：A由题可知即得S=8.已知：“直线的倾斜角”；：“直线的斜率”，则是的(

)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：C考点：充要条件 9.已知，，，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A10.若不等式(a－2)x2+2(a－2)x－4<0对一切x∈R恒成立，则a的取值范围是

(

)A.(－∞,2

B.(－2,2

C.－2,2

D.(－∞,－2)参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若，则的值为__________。参考答案：12.100名学生某次数学测试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，则测试成绩落在中的学生人数是_________．参考答案：50

13.已知分别为双曲线的左右焦点，为双曲线左支上的一点，若，则双曲线的离心率的取值范围是．参考答案：14.设是定义在上的偶函数，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是 .参考答案： 15.某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为

，其表面积为

参考答案：8π+，8π+16+16

【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：此几何体是由上下两部分组成的，上面是一个横放的半圆柱，下面是一个四棱锥，【解答】解：由三视图可知：此几何体是由上下两部分组成的，上面是一个横放的半圆柱，下面是一个四棱锥，可得：该几何体的体积为=+=8π+，其表面积=π×2×4+×2+×2=8π+16+16．故答案为：8π+，8π+16+16．16.已知，且，则

．参考答案：-117.已知变量a，θ∈R，则的最小值为

．

参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在直角坐标系平面中，已知点，，，…，，其中是正整数，对于平面上任意一点，记为关于点的对称点，为关于点的对称点，…,为关于点的对称点.(Ⅰ)求向量的坐标；(Ⅱ)当点在曲线上移动时，点的轨迹是函数的图像，其中是以为周期的周期函数，且当时，，求以曲线为图像的函数在上的解析式；(Ⅲ)对任意偶数，用表示向量的坐标.参考答案：解：(Ⅰ)设点的坐标为，

关于的对称点的坐标为，

…………2分

关于的对称点的坐标为，

…………2分

∴.

…………5分（Ⅱ）解法1：∵

∴的图像由曲线向右平移个个单位，

再向上平移个单位得到.

∴曲线是函数的图像，

其中是以为周期的周期函数，且当时，，

于是时，，

…………10分解法2：设，于是，

若，则，

∴，

当时，，，

∴当时，.

…………10分

(Ⅲ)

∵

∴

=

=

=

…………14分

略19.平面直角坐标系中，点A（﹣2，0）、B（2，0），平面内任意一点P满足：直线PA的斜率k1，直线PB的斜率k2，k1k2=﹣，点P的轨迹为曲线C1．双曲线C2以曲线C1的上下两顶点M，N为顶点，Q是双曲线C2上不同于顶点的任意一点，直线QM的斜率k3，直线QN的斜率k4．（1）求曲线C1的方程；（2）如果k1k2+k3k4≥0，求双曲线C2的焦距的取值范围．参考答案：考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）设P（x，y），运用直线的斜率公式，化简整理，即可得到曲线C1的方程；（2）设双曲线方程为，Q（x0，y0）在双曲线上，再由直线的斜率公式，结合条件，得到b的范围，即可得到双曲线C2的焦距的取值范围．解答： 解：（1）设P（x，y），则，∴曲线C1的方程为；（2）设双曲线方程为，Q（x0，y0）在双曲线上，所以，∵，∴，∴0＜b≤2，由双曲线C2的焦距为2，故双曲线C2的焦距的取值范围∈（2，2]．点评：本题考查轨迹方程的求法，主要考查椭圆和双曲线的方程和性质，同时考查直线的斜率公式的运用，属于中档题．20.（本小题满分12分）

已知数列满足递推关系式

（Ⅰ）求

（Ⅱ）求数列的通项公式；

（Ⅲ）求数列的前n项和S-n.参考答案：解：（1）由知解得：同理得……4分（2）…………8分（3）…………12分21.（12分）

已知函数

（1）判断函数在其定义域内的单调性；

（2）若函数与1的大小。参考答案：解析：（1）由………3分

是增函数…………7分

（2）当

………………12分22.椭圆的离心率是，过点P（0，1）做斜率为k的直线l，椭圆E与直线l交于A，B两点，当直线l垂直于y轴时．（1）求椭圆E的方程；（2）当k变化时，在x轴上是否存在点M（m，0），使得△AMB是以AB为底的等腰三角形，若存在求出m的取值范围，若不存在说明理由．参考答案：(1)；(2)见解析．【分析】（1）由椭圆的离心率为得到，于是椭圆方程为．有根据题意得到椭圆过点，将坐标代入方程后求得，进而可得椭圆的方程．（2）假设存在点，使得是以为底的等腰三角形，则点为线段AB的垂直平分线与x轴的交点．由题意得设出直线的方程，借助二次方程的知识求得线段的中点的坐标，进而得到线段的垂直平分线的方程，在求出点的坐标后根据基本不等式可求出的取值范围．【详解】（1）因为椭圆的离心率为，所以，整理得．故椭圆的方程为．由已知得椭圆过点，所以，解得，所以椭圆的方程为．（2）由题意得直线的方程为．由消去整理得，其中．设，的中点则，所以∴，∴点C的坐标为．假设在轴存在点，使得是以为底的等腰三角形，则点为线段的垂直平分线与x轴的交点．①当时，则过点且与垂直的直线方程，令，则得．若，则，∴．若，则，∴．