上海市宝山区长江第二中学2021年高二数学文下学期期末试题含解析

上海市宝山区长江第二中学2021年高二数学文下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设a∈R，则a＞1是＜1的（）A．必要但不充分条件 B．充分但不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：B【考点】不等关系与不等式；充要条件．【分析】根据由a＞1，一定能得到＜1．但当＜1时，不能推出a＞1（如a=﹣1时），从而得到结论．【解答】解：由a＞1，一定能得到＜1．但当＜1时，不能推出a＞1（如a=﹣1时），故a＞1是＜1的充分不必要条件，故选

B．2.在曲线y=x3上切线的斜率为3的点是(

) A．（0，0） B．（1，1） C．（﹣1，﹣1） D．（1，1）或（﹣1，﹣1）参考答案：D考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切点坐标即可．解答： 解：曲线y=x3，可得y′=3x2，曲线y=x3上切线的斜率为3，可得3x2=3，解得x=±1，切点坐标为：（1，1）或（﹣1，﹣1）．故选：D．点评：本题考查函数的导数的应用，导数的几何意义，考查计算能力．3.如果椭圆+=1的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是（）A．x﹣2y=0 B．x+2y﹣4=0 C．2x+3y﹣12=0 D．x+2y﹣8=0参考答案：D【考点】椭圆的应用；直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】设这条弦的两端点为A（x1，y1），B（x2，y2），则，两式相减再变形得，又由弦中点为（4，2），可得k=，由此可求出这条弦所在的直线方程．【解答】解：设这条弦的两端点为A（x1，y1），B（x2，y2），斜率为k，则，两式相减再变形得又弦中点为（4，2），故k=，故这条弦所在的直线方程y﹣2=（x﹣4），整理得x+2y﹣8=0；故选D．4.在中，则（

）A、

B.

C.

D.参考答案：A试题分析：,选A.考点：余弦定理【名师点睛】1．选用正弦定理或余弦定理的原则在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．2．(1)运用余弦定理时，要注意整体思想的运用．(2)在已知三角形两边及其中一边的对角，求该三角形的其它边角的问题时，首先必须判断是否有解，如果有解，是一解还是两解，注意“大边对大角”在判定中的应用．5.（5分）O为坐标原点，F为抛物线C：y2=4x的焦点，P为C上一点，若|PF|=4，则△POF的面积为（）A．2B．2C．2D．4参考答案：C【考点】：抛物线的简单性质．【专题】：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：根据抛物线方程，算出焦点F坐标为（）．设P（m，n），由抛物线的定义结合|PF|=4，算出m=3，从而得到n=，得到△POF的边OF上的高等于2，最后根据三角形面积公式即可算出△POF的面积．解：∵抛物线C的方程为y2=4x∴2p=4，可得=，得焦点F（）设P（m，n）根据抛物线的定义，得|PF|=m+=4，即m+=4，解得m=3∵点P在抛物线C上，得n2=4×3=24∴n==∵|OF|=∴△POF的面积为S=|OF|×|n|==2故选：C【点评】：本题给出抛物线C：y2=4x上与焦点F的距离为4的点P，求△POF的面积．着重考查了三角形的面积公式、抛物线的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．6.已知三次函数在上是增函数，则的取值范围为（）Ａ．或

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．以上皆不正确参考答案：D7.函数（其中，）的部分图象如图所示、将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，得到的图象，则下列说法正确的是（

）A.函数g(x)为奇函数B.函数g(x)的单调递增区间为C.函数g(x)为偶函数D.函数g(x)的图象的对称轴为直线参考答案：B【分析】本题首先可以根据题目所给出的图像得出函数f(x)的解析式，然后根据三角函数平移的相关性质以及函数f(x)的解析式得出函数g(x)的解析式，最后通过函数g(x)的解析式求出函数g(x)的单调递增区间，即可得出结果。【详解】由函数的图像可知函数的周期为、过点、最大值为3，所以,，，，，所以取时，函数的解析式为，将函数的图像向左平移个单位长度得，当时，即时，函数单调递增，故选B。【点睛】本题考查三角函数的相关性质，主要考查三角函数图像的相关性质以及三角函数图像的变换，函数向左平移个单位所得到的函数，考查推理论证能力，是中档题。

8.已知a为常数，函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），则a的取值范围是（）A．（0，） B．（0，1） C．（，1） D．（1，2）参考答案：A【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】利用导数研究函数的极值，求导，f′（x）=lnx+1﹣2ax．令g（x）=lnx+1﹣2ax，由于函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点?g（x）=0在区间（0，+∞）上有两个实数根．对a分类讨论，解得即可．【解答】解：f（x）=xlnx﹣ax2（x＞0），f′（x）=lnx+1﹣2ax，令g（x）=lnx+1﹣2ax，∵函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，则g（x）=0在区间（0，+∞）上有两个实数根，g′（x）=﹣2a=，当a≤0时，g′（x）＞0，则函数g（x）在区间（0，+∞）单调递增，因此g（x）=0在区间（0，+∞）上不可能有两个实数根，应舍去；当a＞0时，令g′（x）=0，解得x=，令g′（x）＞0，解得0＜x＜，此时函数g（x）单调递增；令g′（x）＜0，解得x＞，此时函数g（x）单调递减．∴当x=时，函数g（x）取得极大值．当x趋近于0与x趋近于+∞时，g（x）→﹣∞，要使g（x）=0在区间（0，+∞）上有两个实数根，则g（）=＞0，解得0＜a＜，∴实数a的取值范围是（0，），故选：A．9.某种生产设备购买时费用为10万元，每年的设备管理费用为9万元，这种生产设备的维护费用：第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，依每年2千元的增量逐年递增，则这套生产设备最多使用（

）年报废最划算。

Ａ．3Ｂ．5

Ｃ．7

Ｄ．10参考答案：D解析：设使用x年，年平均费用为y万元，则y=

=，当且仅当x=10时等号成立。10.若函数在区间[1,2]内是减函数，，则A. B. C. D.参考答案：C【分析】本题首先可以求出函数的导函数，然后根据“函数在区间内是减函数”即可推出“导函数在区间内小于等于0”，最后即可通过计算得出结果。【详解】，，因为函数在区间内是减函数，所以导函数在区间内小于等于0，即，故选C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知直线的一个方向向量为，则直线的斜率为

参考答案：略12.若a、b、c成等比数列，a、x、b成等差数列，b、y、c成等差数列，则

参考答案：213.A=15，A=﹣A+5，最后A的值为．参考答案：﹣10考点：赋值语句．专题：计算题．分析：根据赋值语句的功能，要先计算表达式的值，再将值赋给赋值号前面的变量，根据已知中A=15，A=﹣A+5，代入计算后即可得到结果．解答：解：∵A=15，∴﹣A+5=﹣10故执行A=﹣A+5后A的值为﹣10故答案为：﹣10点评：本题的考查的知识点是赋值语句，熟练掌握赋值语句的功能是解答本题的关键．14.设实数满足约束条件，则目标函数的最大值为

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．参考答案：615.对于直线l:y=k(x+1)与抛物线C:y2=4x,k=±1是直线l与抛物线C有唯一交点的

条件（填充要，充分不必要，必要不充分，既不充分又不必要）。参考答案：充分不必要16.若，则

．参考答案：6由题得，所以故填6.

17.抛物线C：y2=4x的交点为F，准线为l，p为抛物线C上一点，且P在第一象限，PM⊥l交C于点M，线段MF为抛物线C交于点N，若PF的斜率为，则=．参考答案：【考点】抛物线的简单性质．【分析】过N作l的垂线，垂足为Q，则|NF|=|NQ|，|PF|=|PM|，求出P的坐标，可得cos∠MNQ=，即可得到．【解答】解：抛物线C：y2=4x的焦点为F（1，0），过N作l的垂线，垂足为Q，则|NF|=|NQ|，∵PF的斜率为，∴可得P（4，4）．∴M（﹣1，4），∴cos∠MFO=∴cos∠MNQ=∴=故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题10分）已知定点F(0，1)和直线,过定点F与直线相切的动圆的圆心为点C。(I)求动点C的轨迹方程；(II)过点F的直线交轨迹于两点P、Q，交直线于点R，求最小值，并求此时的直线的方程．参考答案：19.已知抛物线

上横坐标为1的点到抛物线焦点的距离=2。(1)试求抛物线的标准方程；(2)若直线与抛物线相交所得的弦的中点为，试求直线的方程。参考答案：(1)因为，所以 (2)设直线与抛物线相交所得的弦为，，，则有

两式相减并整理得：

由直线的点斜式得：所以直线的方程为：

点满足，解得若，则由及解得，此时直线的方程为，过点若，则，直线的斜率，直线的斜率，得，所以直线过点，因此，直线必过轴上的点略20.先解答（1），再通过结构类比解答（2）：（1）请用tanx表示，并写出函数的最小正周期；（