2022-2023学年新教材高中数学第二章一元二次函数方程和不等式2.2基本不等式第1课时基本不等式学案新人教A版必修第一册

PAGE6PAGE第1课时基本不等式课程标准(1)了解基本不等式的代数和几何背景．(2)能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小．(3)能利用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题．新知初探·课前预习——突出基础性教材要点要点一基本不等式如果a，b∈R＋，那么ab________a+b2，当且仅当❶________时，等号成立．其中a+b2叫做正数a，b的____________，ab叫做正数a，要点二基本不等式与最值❷已知x，y都是正数．(1)若x＋y＝S(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值________．(2)若xy＝P(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值________．助学批注批注❶“当且仅当”的含义：(1)当a＝b时，a+b2≥ab的等号成立，即a＝b⇒a+b(2)仅当a＝b时，a+b2≥ab的等号成立，即a+b2批注❷牢记三个关键词：一正、二定、三相等．(1)一正：各项必须为正．(2)二定：各项之和或各项之积为定值．(3)三相等：必须验证取等号时条件是否具备．基础自测1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)两个不等式a2＋b2≥2ab与a+b2(2)当a＞0，b＞0时，a＋b≥2ab.()(3)当a＞0，b＞0时，ab≤(a+b2)2(4)函数y＝x＋1x2．不等式a2＋1≥2a中等号成立的条件是()A．a＝±1B．a＝1C．a＝－1D．a＝03．已知x＞0，则x＋2xA．2B．2C．22D．44．下列条件中能使ba+①ab＞0②ab＜0③a＞0，b＞0④a＜0，b＜0题型探究·课堂解透——强化创新性题型1利用基本不等式判断命题真假例1(1)下列不等式一定成立的是()A．x2+14＞B．x＋1x≥2(x≠C．x2＋1≥2|x|(x∈R)D．1x2+1＞1(x(2)(多选)若ab＞0，则下列不等式中恒成立的有()A．a2＋b2≥2abB．a＋b≥2abC．(a＋1b)(b＋1a)≥4D．b方法归纳利用基本不等式判断命题真假的一般步骤巩固训练1[2022·湖南岳阳高一期末]若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式恒成立的是()A．a＋b≥2abB．1C．ba+ab≤2D．a2＋b题型2直接利用基本不等式求最值例2(1)已知a＞0，b＞0，ab＝36，求a＋b的最小值．(2)已知a＞0，b＞0，a＋b＝18，求ab的最大值．方法归纳利用基本不等式求最值的策略巩固训练2(1)已知正数a，b满足a＋b＝4，则ab的最大值为()A．2B．1C．2D．4(2)已知x<0，求函数y＝x＋1x题型3利用基本不等式证明不等式例3已知a、b、c为正数，求证b+c−aa+方法归纳利用基本不等式证明不等式的方法利用基本不等式证明不等式时，要先观察题中要证明的不等式的结构特征，若不能直接使用基本不等式证明，则考虑对代数式进行拆项、变形等，使之转化为能使用基本不等式的形式．巩固训练3已知a，b，c＞0，求证：a2b+b2c+第1课时基本不等式新知初探·课前预习[教材要点]要点一≤a＝b算术平均数几何平均数算术几何要点二(1)14S2(2)2[基础自测]1．答案：(1)×(2)√(3)√(4)×2．解析：当a2＋1＝2a，即(a－1)2＝0即a＝1时，“＝”成立．答案：B3．解析：因为x＞0，则x＋2x≥2x·2x＝22，当且仅当x＝2x，即x＝2时取“＝”，所以x＋答案：C4．解析：要使ba+ab≥2成立，只需ba＞0，ab＞0即可，此时ba+ab≥2ba·a答案：①③④题型探究·课堂解透例1解析：(1)选项A中，x2＋14≥x(当且仅当x＝12时，x2＋14＝x)，故选项A不正确；选项B中，x＋1x≥2(x>0)，x＋1x≤－2(x<0)，故选项B不正确；选项C中，x2－2|x|＋1＝(|x|－1)2≥0(x∈R)，故选项C正确；选项D中，x2＋1(2)A.因为a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，所以a2＋b2≥2ab恒成立，B．当a＜0，b＜0时，显然ab>0成立，但是a＋b≥2ab不成立，C．因为ab＞0，所以(a＋1b)(b＋1a)＝ab＋1ab＋2≥(当且仅当ab＝1ab时取等号，即abD．因为ab＞0，所以ba+ab≥2ba·ab＝2(当且仅当ba＝a答案：(1)C(2)ACD巩固训练1解析：由于ab＞0，可知a与b同号，显然当a＜0，b＜0时，选项A，B中的不等式不成立，所以选项A，B错误；由ab＞0，得ba＞0，ab＞0，所以ba+显然∀a，b∈R，a2＋b2≥2ab，选项D正确．答案：D例2解析：(1)∵a+b2∴a＋b≥2ab＝236＝12，(当且仅当a＝b＝6时取等号)故a＋b的最小值为12.(2)∵ab≤∴ab≤(a+b2)2＝(182)(当且仅当a＝b＝9时取等号)故ab的最大值为81.巩固训练2解析：(1)当a，b为正实数时，由ab≤a+b2，得ab≤(a+b2)2＝(42)2∴ab的最大值为4.(2)x<0，－x>0，－x＋1−x≥2，∴x＋1x当且仅当－x＝1−x，即x答案：(1)D(2)见解析例3证明：∵ba+ab≥2ba·a∴(ba+ab)＋(ca∴ba+ca－1＋cb即：b+c−aa+巩固训练3证明：∵a，b，c，a2∴