广东省河源市黄塘中学2022高一数学文上学期期末试题含解析

广东省河源市黄塘中学2022高一数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将三角形ABC折起，得到的四面体A﹣BCD的体积的最大值为（）A.

B．

C．

D．5 参考答案：C矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将三角形ABC折起，当平面ABC⊥平面ACD时，得到的四面体A﹣BCD的体积取最大值，此时点B到平面ACD的距离d===，S△ADC==6，∴四面体A﹣BCD的体积的最大值为：V===．故选：C．2.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯：A.281盏 B.9盏 C.6盏 D.3盏参考答案：D【分析】设塔的顶层共有盏灯，得到数列的公比为2的等比数列，利用等比数列的前n项公式，即可求解．【详解】设塔的顶层共有盏灯，则数列的公比为2的等比数列，所以，解得，即塔的顶层共有3盏灯，故选D．【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式与求和公式的应用，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．3.函数f（x）=x﹣的图象关于（）A．y轴对称 B．原点对称 C．直线y=x对称 D．直线y=﹣x对称参考答案：B【考点】函数奇偶性的判断．【分析】利用奇偶函数的性质，可对函数f（x）的图象的对称情况作出判断．【解答】解：∵f（﹣x）=﹣x﹣=﹣（x﹣）=﹣f（x），x≠0，∴f（x）为奇函数，∴其图象关于原点对称，故选：B．3.

某质量监督局要对某厂6月份生产的三种型号的轿车进行抽检，已知6月份该厂共生产甲种轿车1400辆，乙种轿车6000辆，丙种轿车2000辆，现采用分层抽样的方法抽取47辆进行检验，则这三种型号的轿车依次应抽取A.14辆，21辆，12辆

B.7辆，30辆，10辆C.10辆，20辆，17辆

D.8辆，21辆，18辆参考答案：B略5.下列命题：①第一象限的角是锐角．②正切函数在定义域内是增函数．③．正确的个数是（）A．0B．1C．2D．3参考答案：A考点：命题的真假判断与应用．专题：探究型．分析：①根据第一象限角和锐角的定义判断．②利用正切函数的图象和性质判断．③利用反三角函数的定义判断．解答：解：①因为锐角的范围是0°＜θ＜90°．而第一象限角的范围是k360°＜θ＜k＜360°+90°，∈z，所以①错误．②正切函数的单调增区间为，但在整个定义域上，正切函数不单调，所以②错误．③根据反三角函数的定义可知，函数y=arcsinx的定义域为（﹣1，1）．因为，所以③错误．故正确的个数是0个．故选A．点评：本题主要考查命题的真假判断，比较基础．6.数列的通项公式是关于的不等式的解集中的整数个数，则数列的前n项和=（

）

A.n2

B.n(n+1)

C.

D.(n+1)(n+2)参考答案：C7.若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB=2，BC=1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】CF：几何概型．【分析】利用几何槪型的概率公式，求出对应的图形的面积，利用面积比即可得到结论．【解答】解：∵AB=2，BC=1，∴长方体的ABCD的面积S=1×2=2，圆的半径r=1，半圆的面积S=，则由几何槪型的概率公式可得质点落在以AB为直径的半圆内的概率是，故选：B．8.在区间[﹣2π，2π]范围内，函数y=tanx与函数y=sinx的图象交点的个数为（）A．3B．5C．7D．9参考答案：B【考点】H2：正弦函数的图象；HC：正切函数的图象．【分析】直接由tanx=sinx，解方程即可得到结论．【解答】解：tanx=sinx得，即sinx（）=0，即sinx=0或，∴sinx=0或cosx=1．∴在区间[﹣2π，2π]内x=﹣2π，﹣π，0，π，2π共5个值．故两个函数图象的交点个数为5个．故选：B．9.已知为偶函数，在上为增函数，若,则x的取值范围为（

）A．

B．

C.

D．参考答案：B略10.已知数列{an}的通项公式为，则15是数列{an}的（

）A.第3项 B.第4项 C.第5项 D.第6项参考答案：C【分析】根据已知可得，解方程即可求解.【详解】由题意：，，解得或，，.故选：C【点睛】本题考查了数列的通项公式的应用，属于基础题.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.给出下列命题：（1）存在实数α，使sinαcosα=1（2）存在实数α，使sinα+cosα=（3）函数y=sin（+x）是偶函数（4）若α、β是第一象限的角，且α＞β，则sinα＞sinβ．其中正确命题的序号是．参考答案：（3）【考点】命题的真假判断与应用．【专题】三角函数的图像与性质；简易逻辑．【分析】（1）由sinαcosα=1化为sin2α=2，由于sin2α≤1，可知：不存在实数α，使得sin2α=2；（2）由于sinα+cosα=＜，即可判断出；（3）函数y=sin（+x）=﹣cosx是偶函数；（4）若α、β是第一象限的角，且α＞β，取，，即可判断出．【解答】解：（1）由sinαcosα=1化为sin2α=2，∵sin2α≤1，∴不存在实数α，使得sin2α=2，因此不正确；（2）∵sinα+cosα=＜，因此不存在实数α，使sinα+cosα=，故不正确；（3）函数y=sin（+x）=﹣cosx是偶函数，正确；（4）若α、β是第一象限的角，且α＞β，取，，则sinα＞sinβ不成立，因此不正确．其中正确命题的序号是（3）．故答案为：（3）．【点评】本题综合考查了三角函数的性质、倍角公式、两角和差的正弦公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．12.若函数是偶函数，则的单调递减区间是____________．参考答案：若函数是偶函数，则，∴，对称轴是轴，开口向下，∴的单调递减区间是．13.已知函数则函数（e=2.71828…，是自然对数的底数）的所有零点之和为______.参考答案：14.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，且，则角C=

，的最大值是

．参考答案：60°，由可得a2+b2﹣c2=ab，根据余弦定理得，，又0＜C＜π，则；由余弦定理得，c2=a2+b2﹣2abcosC，则4=a2+b2﹣ab，即ab+3=a2+b2≥2ab解得ab≤4，因为，所以，当且仅当a=b=时取等号，故S△ABC的最大值是．

15.在△ABC中，AB=，AC=1，∠A=30°，则△ABC的面积为．参考答案：【考点】HP：正弦定理．【分析】直接利用三角形面积公式求得答案．【解答】解：S△ABC=?AB?AC?sinA=××1×=．故答案为：16.参考答案：217.若角α=﹣4，则角α的终边在第

象限．参考答案：二【考点】象限角、轴线角．【专题】计算题；函数思想；三角函数的求值．【分析】判断角的所在范围，推出所在象限即可．【解答】解：因为α=﹣4，﹣4∈（﹣，﹣π），所以α的终边在第二象限．故答案为：二．【点评】本题考查象限角的判断，是基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=1+2sinxcosx+2cos2x．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）在△ABC中，若f（A）=3，b+c=a，判断△ABC的形状．参考答案：【考点】三角形的形状判断；两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性．【分析】（1）首先将三角函数式整理化简为f（x）=Asin（ωx+φ）的形式，求增区间需令ωx+φ∈[﹣]，解出x的范围，（2）判断三角形形状一般转化为三边或三角的关系，本题中可以容易求得A角，因此可将边通过正弦定理转化为角，求出三角判断形状．【解答】解：（1）f（x）=1+2sinxcosx+2cos2x===，由，得，∴函数f（x）的递增区间是[]，k∈Z；（2）由题意得：由f（A）=3，得=3，∴，则A=或A=0（舍去），由b+c=a，得sinB+sinC=，∴sinB+sin（）=，则，∴sin（B+）=，∴B=或B=，∴C=或C=．故△ABC是直角三角形．19.【题文】如图所示，某市政府决定在以政府大楼为中心，正北方向和正东方向的马路为边界的扇形地域内建造一个图书馆.为了充分利用这块土地，并考虑与周边环境协调，设计要求该图书馆底面矩形的四个顶点都要在边界上，图书馆的正面要朝市政府大楼.设扇形的半径，，与之间的夹角为.（1）将图书馆底面矩形的面积表示成的函数.（2）若，求当为何值时，矩形的面积有最大值？其最大值是多少？(精确到0.01m2)

参考答案：（Ⅰ）由题意可知，点M为的中点，所以.设OM于BC的交点为F，则，..

所以

，.

（Ⅱ）因为，则.所以当，即时，S有最大值.

.故当时，矩形ABCD的面积S有最大值838.35m2.20.已知点G是△ABC的重心，.（1）用和表示；（2）用和表示.参考答案：（1）（2）.【分析】（1）设的中点为，可得出，利用重心性质得出，由此可得出关于、的表达式；（2）由，得出，再由，可得出关于、的表达式.【详解】（1）设的中点为，则，，为的重心，因此，；（2），，因此，.【点睛】本题考查利基底表示向量，应充分利用平面几何中一些性质，将问题中所涉及的向量利用基底表示，并结合平面向量的线性运算法则进行计算，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.21.已知函数的图象的一部分如图所示.（1）求f(x)的解析式；（2）当时，求函数f(x)的值域.参考答案：(1)

(2)【分析】（1）从图像可以看出，此函数的最大和最小值分别为2和-2，则，算出周期可以解出的值，最后代入最高点，依据的取值范围求出结果.（2）通过的取值范围，求出的取值范围，从图像中解出值域.【详解】（1）由图可知，，又可得，代入最高点，可知，又，故.（2）由可得，故正弦函数.【点睛】1、从图像求解三角函数解析式时首先可以由最大值剪最小值除以2求出A的值；2、求解时一般先由图像算出周期后得到；3、求解时要注意只能够代入最高或最低值所在的点，否则其它点代入得到的值并不唯一.22.已知函数．（1）求证：函数f（x）在实数集R上为增函数；（2）设g（x）=log2f（x），若关于x的方程g（x）=a有解，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】风险决策的必要性和重要性；奇偶性与单调性的综合．【分析】（1）先化简解析式，再利用函数单调性的定义：取值、作差、变形、定号、下结论，证明函数的单调性；（2）将方程有解转化为求出函数y=g（x）