广东省河源市中学2022年度高三数学理上学期期末试题含解析

广东省河源市中学2022年度高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设则

（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B2.复数的虚部为

（

）A.

B.

C.

D.

参考答案：C略3.下列各式中，值为的是（）A．sin15°cos15° B．C． D．参考答案：C【考点】三角函数的化简求值．【分析】由条件利用二倍角公式、两角和的差三角公式，求出各个选项中式子的值，从而得出结论．【解答】解：由于sin15°cos15°=sin30°=，故排除A．由于﹣=cos=，故排除B．由于=tan60°=，满足条件．由于=cos15°=cos（45°﹣30°）=cos45°cos30°+sin45°sin30°=，故排除D，故选：C．4.已知是实数，是纯虚数，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B略5.等差数列的前n项和为=

(

)

A．18

B．20

C．21

D．22参考答案：B6.已知函数f（x）=，若a、b、c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c的取值范围是（）A．（1，2014） B．（1，2015） C．（2，2015） D．[2，2015]参考答案：C【考点】分段函数的应用．【分析】根据题意，在坐标系里作出函数f（x）的图象，根据f（a）=f（b）=f（c），确定a，b，c的大小，即可得出a+b+c的取值范围．【解答】解：作出函数的图象如图，直线y=m交函数图象于如图，不妨设a＜b＜c，由正弦曲线的对称性，可得（a，m）与（b，m）关于直线x=对称，因此a+b=1，当直线y=m=1时，由log2014x=1，解得x=2014，即x=2014，∴若满足f（a）=f（b）=f（c），（a、b、c互不相等），由a＜b＜c可得1＜c＜2014，因此可得2＜a+b+c＜2015，即a+b+c∈（2，2015）．故选：C．7.已知集合，则A中元素的个数为(

)A.1 B.2 C.3 D.4参考答案：D【分析】由得,取整数，将A中元素一一列举，可得A中元素个数.【详解】，选D．【点睛】本题考查集合的表示形式，考查三种形式列举法、描述法、文氏图相互转换，属于基本题.8.《九章算术》有这样一个问题：今有子女善织，日增等尺，七日织二十一尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺，问第十日所织尺数为（

）A．6

B．9C．12

D．15参考答案：D9.已知函数的最小正周期为，为了得到函数的图象，只要将的图象（

）

A.向左平移个单位长度

B.向右平移个单位长度

C.向左平移个单位长度

D.向右平移个单位长度参考答案：A10.设全集U＝R，，则（

）（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.某商人将彩电先按原价提高40%，然后“八折优惠”，结果是每台彩电比原价多赚144元，那么每台彩电原价是元．参考答案：1200【考点】一次函数的性质与图象．【分析】设每台彩电原价是x元，由题意可得（1+40%）x?0.8﹣x=144，解方程求得x的值，即为所求．【解答】解：设每台彩电原价是x元，由题意可得（1+40%）x?0.8﹣x=144，解得x=1200，故答案为1200．【点评】本题主要考查一次函数的性质应用，属于基础题．12.在直角坐标系中，以为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系。已知点，若极坐标方程为的曲线与直线（为参数）相交于、两点，则

。参考答案：2；13.设向量满足,,则

参考答案：【知识点】平面向量数量积的运算．1解：∵,,

∴分别平方得两式相减得，

即，故答案为：1．【思路点拨】将等式进行平方，相加即可得到结论．14.已知点和圆，过点P作圆C的切线有两条，则实数k的取值范围是______参考答案：【分析】由过点可作圆的两条切线知，点在圆的外部，根据点与圆的位置关系可得关于的不等式，结合为圆的一般方程，可知满足的不等式，联立即可求解.【详解】因为为圆，所以，解得,又过点作圆的切线有两条，所以点在圆的外部，故，解得,综上可知.故的取值范围是.【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系的应用，圆的一般方程，圆的切线的条数，属于中档题.

15.已知直线和直线分别与圆相交于和，则四边形的内切圆的面积为

．参考答案：试题分析：因为直线和直线互相垂直且交于点，而恰好是圆的圆心，所以，四边形是边长为的正方形，因此其内切圆半径是，面积是，故答案为.考点：1、圆的性质及数形结合思想；2、两直线垂直斜率之间的关系.【思路点睛】本题主要考查圆的性质及数形结合思想、两直线垂直斜率之间的关系，属于中档题.数形结合是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决选择题、填空题是发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.解答本题有两个关键点:一是首先要从两直线方程的表面特征，挖掘出两直线垂直这种位置关系；二是结合圆的几何性质判断出四边形是边长为的正方形，其内切圆半径为.16.在中，角所对的边分别为，若，则最小值为

.参考答案：17.计算(lg－lg25)÷100－＝________.参考答案：－20三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.。参考答案：证明：要证明成立19.（本小题满分13分）已知函数（其中为常数）。（I）当时，求函数的最值；（Ⅱ）讨论函数的单调性。参考答案：解：（I）的定义域为，当时

，………2分

由得，由得

在区间上单调递减，在区间上单调递增，

故当时，取最小值，无最大值。………4分（Ⅱ）

………5分

当时，恒成立，

在区间上单调递增；

………6分

当时，由得

解得，

………7分

当时，

由得

在区间上单调递减；在区间和上单调递增………9分当时，

由得

在区间上单调递减；在区间上单调递增

综上，当时，在区间上单调递增；当时，在区间上单调递减；在区间和上单调递增当时，在区间上单调递减；在区间上单调递增

………13分略20.定义在实数集上的函数f（x）=x2+x，g（x）=x3﹣2x+m．（1）求函数f（x）的图象在x=1处的切线方程；（2）若f（x）≥g（x）对任意的x∈[﹣4，4]恒成立，求实数m的取值范围．参考答案：解：（1）∵f（x）=x2+x∴f′（x）=2x+1，f（1）=2，∴f′（1）=3，∴所求切线方程为y﹣2=3（x﹣1），即3x﹣y﹣1=0；（2）令h（x）=g（x）﹣f（x）=x3﹣2x+m﹣x2﹣x=x3﹣3x+m﹣x2∴h′（x）=x2﹣2x﹣3，当﹣4＜x＜﹣1时，h′（x）＞0，当﹣1＜x＜3时，h′（x）＜0，当3＜x＜4时，h′（x）＞0，要使f（x）≥g（x）恒成立，即h（x）max≤0，由上知h（x）的最大值在x=﹣1或x=4取得，而h（﹣1）=，h（4）=m﹣，∵m+，∴，即m。考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题： 导数的综合应用．分析： （1）求切线方程，就是求k=f′（1），f（1），然后利用点斜式求直线方程，问题得以解决；（2）令h（x）=g（x）﹣f（x），要使f（x）≥g（x）恒成立，即h（x）max≤0，转化为求最值问题．解答： 解：（1）∵f（x）=x2+x∴f′（x）=2x+1，f（1）=2，∴f′（1）=3，∴所求切线方程为y﹣2=3（x﹣1），即3x﹣y﹣1=0；（2）令h（x）=g（x）﹣f（x）=x3﹣2x+m﹣x2﹣x=x3﹣3x+m﹣x2∴h′（x）=x2﹣2x﹣3，当﹣4＜x＜﹣1时，h′（x）＞0，当﹣1＜x＜3时，h′（x）＜0，当3＜x＜4时，h′（x）＞0，要使f（x）≥g（x）恒成立，即h（x）max≤0，由上知h（x）的最大值在x=﹣1或x=4取得，而h（﹣1）=，h（4）=m﹣，∵m+，∴，即m。点评： 导数再函数应用中，求切线方程就是求某点处的导数，再求参数的取值范围中，转化为求函数的最大值或最小值问题．21.（10分）（2015?泰州一模）如图，EA与圆O相切于点A，D是EA的中点，过点D引圆O的割线，与圆O相交于点B，C，连结EC．求证：∠DEB=∠DCE．参考答案：【考点】：与圆有关的比例线段．【专题】：立体几何．【分析】：由切割线定理：DA2=DB?DC，从则DE2=DB?DC，进而△EDB～△CDE，由此能证明∠DEB=∠DCE．证明：∵EA与⊙O相切于点A．∴由切割线定理：DA2=DB?DC．∵D是EA的中点，∴DA=DE．∴DE2=DB?DC．…（5分）∴．∵∠EDB=∠CDE，∴△EDB～△CDE，∴∠DEB=∠DCE…（10分）【点评】：本题考查两角相等的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意切割线定理的合理运用．22.已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且短轴长为2，O为坐标原点．（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线l：y=kx+与椭圆交于A、B两点，且?=，求k的值．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【专题】方程思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）短轴的长求得b，进而根据离心率求得a和c的关系，则a和b的关系可求得，最后根据b求得a，则椭圆的方程可得；（2）设出A，B的坐标，把直线与椭圆方程联立消去y，根据韦达定理表示出x1+x2和x1x2，由直线方程和韦达定理，可得y1y2，进而根据斜率的数量积的坐标表示和?=得k的关系式，解方程可得k的值．【解答】解：（1）短轴长2b=2，即b=1，e==，又a2=b2+c2，所以a=，b=1，所以椭圆的方程为+y2=1；（2）由直线l的方程为y=kx+，设A（x1，y1），