上海市兰田中学2021-2022学年高一数学文期末试卷含解析

上海市兰田中学2021-2022学年高一数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在△ABC中，如果sinA＝2sinCcosB，那么这个三角形是（

）A．锐角三角形

B．直角三角形C．等腰三角形

D．等边三角形参考答案：C2.当0<θ<时，函数y=(–1)(–1)的最大值是（

）（A）–1

（B）2–

（C）2–3

（D）3–2参考答案：D3.若集合A＝｛x｜ax2＋2x＋a＝0｝，a∈R中有且只有一个元素，则a的取值集合是（）

A．｛1｝

B．｛－1｝

C．｛0，1｝

D．｛－1，0，1｝参考答案：D4.已知函数f（x）=2x+2，则f（1）的值为（）A．2 B．3 C．4 D．6参考答案：C【考点】有理数指数幂的运算性质．【分析】直接将x=1代入函数的表达式求出即可．【解答】解：∵函数f（x）=2x+2，∴f（1）=2+2=4，故选：C．5.函数的零点所在的一个区间(

)A.(0,1)

B.(1,2)

C.(2,3)

D.(3,4)参考答案：B略6.右边程序运行结果为(

)A．3

B．4

C．5

D．6参考答案：C略7.甲组数据为x1，x2，…，xn，乙组数据为y1，y2，…yn，其中yi=xi+2（i=1，2，…，n），若甲组数据平均值为10，方差为2，则乙组数据的平均值和方差分别为（）A．10+2，4 B．10，2 C．10+2，6 D．10，4参考答案：A【考点】BB：众数、中位数、平均数；BC：极差、方差与标准差．【分析】利用均值和方差的性质直接求解．【解答】解：甲组数据为x1，x2，…，xn，乙组数据为y1，y2，…yn，其中yi=xi+2（i=1，2，…，n），甲组数据平均值为10，方差为2，∴乙组数据的平均值为10+2，方差为（）2×2=4．故选：A．【点评】本题考查均值和方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意均值和方差的性质的合理运用．8.给出以下一个算法的程序框图(如图所示)，该程序框图的功能是A．求输出，b，c三数的最大数

B．求输出，b，c三数的最小数C．将，b，c按从小到大排列

D．将，b，c按从大到小排列参考答案：B9.设函，则函数g（x）=f（x）﹣x的零点的个数为（）A．3个 B．2个 C．1个 D．0个参考答案：A【考点】函数的零点．【专题】计算题；压轴题；分类讨论；转化思想．【分析】根据f（x）=x2﹣bx+c，f（﹣4）=f（0），f（﹣2）=﹣2以及二次函数图象的对称性可得，即可求得函数的解析式，要求函数g（x）=f（x）﹣x的零点的个数，即求方程f（x）=x根的个数，解方程即可求得结果．【解答】解：∵x≤0时，f（x）=x2﹣bx+c，f（﹣4）=f（0），f（﹣2）=﹣2∴，解得，f（x）=x2+4x+2，解方程x2+4x+2=x，得x=﹣1，或x=﹣2；当x＞0时，f（x）=2，解方程2=x，得x=2，综上函数g（x）=f（x）﹣x的零点的个数为3个，故选A．【点评】本题主要通过零点的概念来考查二次函数和分段函数及方程根的求法，解决分段函数问题，一般是分段求解，体现了分类讨论的思想，函数的零点与方程的根之间的关系，体现转化的思想，同时考查了运算能力，属中档题10.已知点P在正方形ABCD所在平面外，PA⊥平面ABCD，PA＝AB，则PB与AC所成的角是()

A．90°

B．60°

C．45°

D．30°参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知等差数列中，则

▲

.参考答案：25

略12.函数y=﹣x2的单调递增区间为

参考答案：（﹣∞，0]【解答】解：∵函数y=﹣x2∴其图象为开口向下的抛物线，并且其对称轴为y轴∴其单调增区间为（﹣∞，0]．【点评】本题考查了函数的单调性及单调区间，注意常见函数的单调性，是个基础题．13.函数y=+lg的定义域是．参考答案：{x|＜x≤2}【考点】函数的定义域及其求法．【分析】由根式内部的代数式大于等于0，对数式的真数大于0联立不等式组求解．【解答】解：由，解①得：x≤2；解②得＜x＜3．取交集得：＜x≤2．∴函数y=+lg的定义域是：{x|＜x≤2}．故答案为：{x|＜x≤2}．14.设定义在R上的奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（2）=0，则不等式f（x）＜0的解集为．参考答案：（﹣∞，﹣2）∪（0，2）考点：函数奇偶性的性质；函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：利用奇函数的对称性、单调性即可得出．解答：解：如图所示，不等式f（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣2）∪（0，2）．故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（0，2）．点评：本题考查了奇函数的对称性、单调性，属于基础题．15.在△ABC中，=||=2，则△ABC面积的最大值为．参考答案：【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】根据向量数量积的定义结合三角形的面积公式，以及余弦定理消去cosA，结合基本不等式的应用进行求解即可．【解答】解：设A、B、C所对边分别为a，b，c，由=||=2，得bccosA=a=2

①，=bc==，由余弦定理可得b2+c2﹣2bccosA=4②，由①②消掉cosA得b2+c2=8，所以b2+c2≥2bc，bc≤4，当且仅当b=c=2时取等号，所以S△ABC==，故△ABC的面积的最大值为，故答案为：．16.设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=x2，若对任意的x∈[t，t+2]，不等式f（x+t）≥2f（x）恒成立，则实数t的取值范围是．参考答案：【考点】函数恒成立问题；函数奇偶性的性质．【分析】由当x≥0时，f（x）=x2，函数是奇函数，可得当x＜0时，f（x）=﹣x2，从而f（x）在R上是单调递增函数，且满足2f（x）=f（x），再根据不等式f（x+t）≥2f（x）=f（x）在[t，t+2]恒成立，可得x+t≥x在[t，t+2]恒成立，即可得出答案．【解答】解：当x≥0时，f（x）=x2∵函数是奇函数∴当x＜0时，f（x）=﹣x2∴f（x）=，∴f（x）在R上是单调递增函数，且满足2f（x）=f（x），∵不等式f（x+t）≥2f（x）=f（x）在[t，t+2]恒成立，∴x+t≥x在[t，t+2]恒成立，即：x≤（1+）t在[t，t+2]恒成立，∴t+2≤（1+）t解得：t≥，故答案为：[，+∞）．【点评】本题考查了函数恒成立问题及函数的奇偶性，难度适中，关键是掌握函数的单调性与奇偶性．17.等比数列{an}的公比为q，其前n项的积为Tn，并且满足条件a1>1，a99a100－1>0，.给出下列结论：①0<q<1；②a99a101－1<0；③T100的值是Tn中最大的；④使Tn>1成立的最大自然数n等于198.其中正确的结论是__

_．(填写所有正确的序号)参考答案：①②④三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）在三角形ABC中，已知，解三角形ABC。参考答案：所求三角形的角A为90度，角C为30度，a=2。（过程略）

略19.如图，在三棱锥S-ABC中，侧面SAB与侧面SAC均为边长为2的等边三角形，，O为BC中点.(1)证明:;(2)求点C到平面SAB的距离.参考答案：（1）见解析；（2）【分析】（1）由题设AB=AC=SB=SC=SA，连结OA，推导出SO⊥BC，SO⊥AO，由此能证明SO⊥平面ABC;（2）设点B到平面SAC的距离为h，由VS﹣BAC=VB﹣SAC，能求出点B到平面SAC的距离．【详解】（1）由题设，连结，为等腰直角三角形，所以，且，又为等腰三角形，故，且，从而．所以为直角三角形，．又．所以平面．（2）设B到平面SAC的距离为，则由（Ⅰ）知：三棱锥即∵为等腰直角三角形,且腰长为2.∴∴∴△SAC的面积为=△ABC面积为,∴,∴B到平面SAC的距离为【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查点到平面距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、空间想象能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．20.（本小题满分14分）函数的定义域为R，数列满足（且）．（Ⅰ）若数列是等差数列，，且(k为非零常数，且)，求k的值；（Ⅱ）若，，，数列的前n项和为，对于给定的正整数，如果的值与n无关，求k的值．参考答案：（Ⅰ）当时，因为，，所以．

因为数列是等差数列，所以．

因为，

所以．

…6分（Ⅱ）因为，，且，

所以．所以数列是首项为2，公比为的等比数列，所以．

所以．因为，所以是首项为，公差为的等差数列．

所以．因为，

又因为的值是一个与n无关的量，所以，解得．

…14分21.（15分）已知定义在R上的函数满足：对任意实数，都有.设有且只有一个实数，使得，求函数的解析式.参考答案：解析：设，由题意知，，已知有且只有一个实数，使得，所以

5分

，

，

8分

或

10分

当时，，的解有两个，不合题意，舍去；12分

当时，，的解只有一个；14分所以