2022广西壮族自治区桂林市泗水中学高三数学理期末试卷含解析

2022广西壮族自治区桂林市泗水中学高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数f（x）=（m2﹣m﹣1）x是幂函数，对任意x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，满足＞0，若a，b∈R，且a+b＞0，ab＜0，则f（a）+f（b）的值(

)A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断参考答案：A【考点】幂函数的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据题意，求出幂函数f（x）的解析式，利用函数f（x）的奇偶性与单调性，求出f（a）+f（b）＞0．【解答】解：根据题意，得f（x）=（m2﹣m﹣1）x是幂函数，∴m2﹣m﹣1=1，解得m=2或m=﹣1；又f（x）在第一象限是增函数，且当m=2时，指数4×29﹣25﹣1=2015＞0，满足题意；当m=﹣1时，指数4×（﹣1）9﹣（﹣1）5﹣1=﹣4＜0，不满足题意；∴幂函数f（x）=x2015是定义域R上的奇函数，且是增函数；又∵a，b∈R，且a+b＞0，∴a＞﹣b，又ab＜0，不妨设b＜0，即a＞﹣b＞0，∴f（a）＞f（﹣b）＞0，f（﹣b）=﹣f（b），∴f（a）＞﹣f（b），∴f（a）+f（b）＞0．故选：A．【点评】本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，也考查了函数的奇偶性与单调性的应用问题，是基础题目．2.已知实数x,y满足如果目标函数z=x-y的最小值为—1，则实数m等于A.7

B.5

C.4 D.3参考答案：答案：B3.若，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．参考答案：A由于，即．由于，即．∴，故选A．4.设x∈R，则“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：由“|x﹣2|＜1”得1＜x＜3，由x2+x﹣2＞0得x＞1或x＜﹣2，即“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．5.在R上定义运算：xy＝x(1－y)

若不等式(x－a)(x＋a)<1对任意实数x成立.则(

)A.

B.

C.

D.参考答案：C略6.已知函数的图象的一个对称中心为,则函数的单调递减区间是(A)Z

(B)Z

(C)Z

(D)Z参考答案：D=0，得：，所以，，由，得的单调递减区间是Z7.设x∈R，函数f(x)单调递增，且对任意实数x，有，（其中e为自然对数），求f(ln2)=

（

）A．e+1

B．1

C．e+3

D．3参考答案：D8.若复数的实部与虚部相等，则实数b等于(

)A．3

B.1

C.

D.参考答案：A9.已知矩形ABCD的顶点都在半径为5的球O的球面上，且AB=6，BC=2，则棱锥O﹣ABCD的侧面积为(

)A．20+8 B．44 C．20 D．46参考答案：B【考点】球内接多面体；棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】由题意求出矩形的对角线的长，结合球的半径，球心到矩形的距离，满足勾股定理，求出棱锥的高，即可求出棱锥的体积．【解答】解：由题意可知四棱锥O﹣ABCD的侧棱长为：5．所以侧面中底面边长为6和2，它们的斜高为：4和2，所以棱锥O﹣ABCD的侧面积为：S=4×6+2=44．故选B．【点评】本题是基础题，考查球内几何体的体积的计算，考查计算能力，空间想象能力，常考题型．10.已知,则下列函数的图象错误的是（）参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列正确命题序号是_____．（1）若，，则（2）若，则（3）若，且，则；（4）若，，则参考答案：（3）（4）【分析】通过线面平行的关系，判断处（1）错误；通过线线垂直和线面垂直的关系，判断出（2）错误；通过线线垂直和线面垂直的关系，判断出（3）正确；通过面面平行的关系，判断出（4）正确.【详解】若，则与可能平行，相交或异面，故（1）错误；若则或，故（2）错误；若且，则，故（3）正确；若，由面面平行的性质可得，故（4）正确；故答案为：（3）（4）【点睛】本题考查线面平行，面面平行，线面垂直，面面垂直等性质，属于简单题.

12.若是幂函数，且满足=3，则=

；参考答案：13.体积为的球与正三棱柱的所有面均相切，则该棱柱的体积为．参考答案：6【考点】LR：球内接多面体．【分析】由球的体积可以求出半径，从而得棱柱的高；由球与正三棱柱的三个侧面相切，得球的半径和棱柱底面正△边长的关系，求出边长，即求出底面正△的面积，从而得出棱柱的体积．【解答】解：由球的体积公式，得πR3=，∴R=1．∴正三棱柱的高h=2R=2．设正三棱柱的底面边长为a，则其内切圆的半径为：a=1，∴a=2，∴该棱柱的体积为=6，故答案为6．14.若函数f（x）=aex﹣x有两个零点，则实数a的取值范围是．参考答案：（0，）【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．【分析】对f（x）求导，讨论f′（x）的正负以及对应f（x）的单调性，得出函数y=f（x）有两个零点的等价条件，从而求出a的取值范围；【解答】解：∵f（x）=aex﹣x，∴f′（x）=aex﹣1；下面分两种情况讨论：①a≤0时，f′（x）＜0在R上恒成立，∴f（x）在R上是减函数，不合题意；②a＞0时，由f′（x）=0，得x=﹣lna，当x变化时，f′（x）、f（x）的变化情况如下表：x（﹣∞，﹣lna）﹣lna（﹣lna，+∞）f′（x）﹣0+﹣f（x）递减极小值﹣lna﹣1递增∴f（x）的单调减区间是（﹣∞，﹣lna），增区间是（﹣lna，+∞）；∴函数y=f（x）有两个零点等价于如下条件同时成立：（i）f（﹣lna）＞0，（ii）存在s1∈（﹣∞，﹣lna），满足f（s1）＜0，（iii）存在s2∈（﹣lna，+∞），满足f（s2）＜0；由f（﹣lna）＞0，即﹣lna﹣1＞0，解得0＜a＜e﹣1；取s1=0，满足s1∈（﹣∞，﹣lna），且f（s1）=﹣a＜0，取s2=+ln，满足s2∈（﹣lna，+∞），且f（s2）=（﹣e）+（ln﹣e）＜0；∴a的取值范围是（0，e﹣1）．故答案为：（0，）．【点评】本题考查了导数的运算以及利用导数研究函数的单调性与零点问题，也考查了函数思想、化归思想和分析问题、解决问题的能力．15.已知点A、B、C、D在同一个球面上，AB丄平面BCD，BC丄CD，若AB=6，AC=,CD=，则B、C两点在此球面上的球面距离是_______参考答案：16.若关于的不等式存在实数解，则实数的取值范围是

．参考答案：17.(1+2x2)(x－)8的二项展开式中常数项是

．（用数字作答）参考答案：﹣42【考点】二项式定理的应用．【分析】利用的通项公式为Tr+1=，即可得出结论．【解答】解：的通项公式为Tr+1=，∴的二项展开式中常数项是1×﹣2=﹣42．故答案为﹣42．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知?=3?．（Ⅰ）求证tanB=3tanA；（Ⅱ）若a2+b2﹣c2=ab，求角A的大小．参考答案：考点： 余弦定理的应用；平面向量数量积的运算．专题： 计算题；解三角形．分析： （Ⅰ）记AB=c，AC=b，BC=a由已知?=3?，可得bccosA=3cacosB由正弦定理化简得tanB=3tanA；（Ⅱ）由余弦定理和已知得：cosC=，即可求出1+tan2C=5解得tanC=2（tanC=﹣2舍去）结合（Ⅰ）即可求得角A的大小．解答： 解（Ⅰ）记AB=c，AC=b，BC=a∵?=3?．∴bccosA=3cacosB∴bcosA=3acosB由正弦定理得：sinBcosA=3sinAcosB∴∴tanB=3tanA．（Ⅱ）∵由余弦定理得：cosC=∴1+tan2C=5∴tanC=2（tanC=﹣2舍去）tanC=tan[π﹣（A+B）]=﹣tan（A+B）==2解得：tanA=﹣（舍去），或tanA=1∴A=．点评： 本题主要考察了余弦定理的应用，平面向量数量积的运算，考察了计算能力，属于中档题．19.已知函数，为常数．

（1）若，且，求函数的单调区间；（2）若，且对任意，，都有，求的取值范围．参考答案：解：（1），-------------------------------------2分 ∵，令，得，或，------------------------------------3分 ∴函数的单调增区间为，．

-----------------------------4分

单调减区间为-----------------------------5分注：两个单调增区间，错一个扣1分，错两个扣2分 （2）∵，∴，∴，--------------------------------------------------7分设，依题意，在上是减函数．--------------------------8分当时，，，令，得：对恒成立，设，则，∵，∴，∴在上是增函数，则当时，有最大值为，∴．------------------------------------------------------------------------------------11分当时，，，令，得：， 设，则， ∴在上是增函数，∴， ∴------------------------------------------------------------------------------------13分综上所述，------------------------------------------------------------14分略20.设函数

(1)当时，求函数的最大值；(2)令（）其图象上任意一点处切线的斜率≤恒成立，求实数的取值范围；(3)当，，方程有唯一实数解，求正数的值．参考答案：略21.17．（本小题满分12分）已知等差数列的公差=1，前项和为.

(I)若；(II)若参考答案：22.某学校高二年级共有1000名学生，其中男生650人，女生350人，为了调查学生周末的休闲方式，用分层抽样的方法抽查了200名学生.（1）完成下面的列联表；

不喜欢运动喜欢运动合计女生50

男生

合计

100200（2）在喜欢运动的女生中调查她们的运动时间，发现她们的运动时间介于30分钟到90分钟之间，如图是测量结果的频率分布直方图，若从区间段和的所有女生中随机抽取两名女生，求她们的运动时间在同一区间段的概率.参考答案：（1）根据分层抽样的定义，知抽取男生130人，女生70人，

不喜欢运动喜欢运动合计女生502070男生5080130合计100100200（2）由直方图知在内的人数为4人，设为.在的人数为2人，设为.