信号讲义(吴)(7章)

第七章系统函数本章重点：1、连续系统的H(s)与系统特性及稳定性的关系；2、离散系统的H(z)与系统特性及稳定性的关系；3、模拟框图、信号流图及Mason公式。§7-1H(s)与系统特性

一、H(s)的零极点与时域响应：极点决定解的形式，零点影响解的幅度。1、单极点的情况：σjωS平面极点分布与时域波形对照图2、重极点的情况：对应的时间函数为t的幂函数与指数函数相乘的形式，t的幂次由极点阶次决定。例如：＋v1(t)-L=2100.1＋v2(t)-解：1、列写节点方程：-0.5σjω二、H（S）的零极点与频率响应频率响应特性：即系统的幅频特性和相频特性。可根据拉氏变换和傅氏变换的关系，由H(s)得到系统的频率响应特性。每个因子代表一个矢量。零点矢量：模为Ｎj，相角为ψj极点矢量：模为Ｍi，相角为θijωσjωσ极点均在左半开平面时：幅频特性：相频特性：例：二阶系统的频率特性曲线：│H(ω)│ωπ/20ω0Φ(ω)π/2LR=0时：例：若已知H(s)零极点分布如图(a)--(e)试粗略给出它们的。ω0ω0极点出现在的地方。*全通函数如果系统的幅频响应对所有的ω均为常数，则称该系统为全通系统。*最小相移函数对于具有相同幅频特性的系统函数而言，零点位于左开平面的系统函数，其相频特性φ（ω）最小，故称为最小相移函数。§7-2Ｈ（Ｚ）与系统特性一、H(z)与时域特性：Ｈ（Ｚ）的零极点：

极点决定单位样值响应的形式，零点只决定单位样值响应的幅度和相位。...….指数衰减等幅振荡衰减振荡二、H(z)与频率响应：

离散系统的频率响应。

EX.已知系统函数为：求：频率响应。1Z平面0π2πω稳定性定义：ＢＩＢＯ稳定：一个系统，如果对任意的有界输入，其零状态响应也是有界的，则该系统是稳定系统。§7-3系统的稳定性一、连续系统的稳定性：1、连续系统是稳定系统的充分和必要条件是：观察在时间t趋于无限大时，h(t)是增长、还是趋于有限值或者消失，这样可以确定系统的稳定性。

1)H(s)的极点全在左半平面，系统稳定。

2)H(s)的极点只要有一个极点在右半平面，或虚轴上有二阶极点，系统不稳定。

3)H(s)在虚轴上有一阶极点，其余极点全在左半平面，系统是临界稳定的。2、连续系统的极点

与稳定性的关系：3、Routh准则系统稳定的必要条件：多项式的系数全为正，不缺项。Routh阵列：Routh准则：第一列元素没有符号变化，则系统稳定。其改变符号的次数等于右半平面根的个数。Ex.1判定系统的稳定性：解：1、缺项。有根在右半平面，系统不稳定。2、系数不同号。有根在右半平面，系统不稳定。3、满足判断的必要条件。－228系统不稳定。首项变号两次，有两根在右半平面。Ex.2判断系统的稳定性。解：102/7617-49/176首项未变号，系统稳定。两点补充：1、首项出现零元素，以极小值ε取代，继续向下运算。

2、出现全零行时，得辅助多项式，以求导后的多项式系数为下一行的系数，继续运算。

Ex.3判断系统的稳定性。解：031-3/ε3系统不稳定。首项变号两次，有两根在右半平面。Ex.4判断系统的稳定性。解：24044系统临界稳定。Ex.5判断系统的稳定性。解：00140系统不稳定。8/308/310101ΣK－Routh准则的应用：Ex.6

单环反馈系统框图如图示，K为何值时，系统稳定？解：二、离散系统的稳定性：1、稳定系统的充分必要条件：单位样值响应h(n)绝对可和。（或H(z)的极点全部落在单位圆内则系统稳定。）2、离散系统稳定性准则

（朱里准则）依次类推，一直排到第(2n-3)行。朱里准则指出，A(z)＝0的所有根都在单位园内的充分和必要条件是：Ex.检验多项式的根是否都在单位园内？解：下面进行排表：

444－211－2444

151812－12

－12121815581414396根不全在单位园内。§７-4信号流图与系统的模拟

(Signal—FlowGraphAndSystemSimulation）一、信号流图：1、信号流图的常用术语：

1）节点与支路：(nodeandbranch)2）源点与汇点：(input-nodeandoutput-node)3）通路：（path）

4）回路：(loop)5）通路增益与回路增益：(path-transferfunctionandloop-transferfunction)注意：1）除源点外，一个节点相当于一个加法器，节点代表的变量为加法器的输出。2）信号通过支路，将乘以支路的增益。3）对同一系统，信号流图不唯一。Ex.1画出电路的信号流图。＋Vs-R1R2C1C2IsI2I1解：注意各电流电压的方程：I1I2VC1VC2V1IS根据方程得信号流图。Ex.2已知微分方程得信号流图。X(s)1-3-5-279Y(s)2、信号流图的化简（分析）1）串联；

abab2）并联；3）节点的消去；aba+babcacbcac4）自环的消去。XinXoutagfedcbhEx.3对图示流图化简，求H(s)。解：1、消去自环和一个节点。XinXoutagfedcdb/(1-h)2、消去自环。XinXoutagf/(1-ed)cdb/(1-h)3、进一步化简可得：3、Ｍason公式：其中：gk为从输入节点到输出节点第Ｋ条通路增益；Δk为去掉第Ｋ条通路后的子图的Δ值。已知信号流图，求传输函数：Ex.3已知信号流图，求H(s)。XYX1X2X3X4H1H2H3H411－G2－G1－G3－G4解：通路增益：单回路增益（环）：两两不相碰环：Ex.4已知信号流图，求H(s)。XinXoutagfedcbh解：通路增益：单回路增益：两两不相碰环：注意：Mason公式也适用于离散系统。连续系统的两种直接形式的信号流图：E(s)R(s)1b0b2b1bm-a0-an-1-an-2-am-a2-a1R(s)1b0b2b1bm-a0-an-1-an-2-am-a2-a1E(s)二、系统的模拟：

连续系统的三个主要部件：加法器、乘法器和积分器。积分器：1/p1/E1/s或1/Z或离散系统的三个主要部件：加法器、乘法器和延迟器。延迟器：基本单元：一阶节b1-a1b1-a1二阶节b0b2b11-a1-a0b2b0b11-a1-a2模拟结构的三种形式：1、直接形式：（又称积分器串联形式）2、级联形式：H1H2HN3、并联形式：H