平方与立方数列求和公式

2010-10-2516:51求「2+2"2+3"2+・・・+n"2的值第一题：求「2+2八2+3八2+...+/2的值方法一：利用立方差公式n“3-(nT厂3=1*[n"2+(n-l厂2+n(nT)]二n"2+(nT厂2+n“2-n=2*n"2+(n-1厂2-n2八3-「3=2*2八2+「2-23八3-2八3=2*3八2+2八2-34八3-3八3=2*4八2+3八2-4n“3-(nT厂3=2*n"2+(nT厂2-n各等式全相加n3-13=2*(22+32+...+n2)+[12+22+...+(n—1)2]—(2+3+4+...+n)n3-1=2*(12+22+32+...+n2)-2+[12+22+...+(n-1)2+n2]-n2-(2+3+4+...+n)n3-1=3*(12+22+32+...+n2)-2-n2-(1+2+3+...+n)+1n3-1=3(12+22+...+n2)-1-n2-n(n+1)/23(12+22+...+n2)=n3+n2+n(n+1)/2=(n/2)(2n2+2n+n+1)=(n/2)(n+1)(2n+1)12+22+32+...+n2=n(n+1)(2n+1)/6方法二：另外一个很好玩的做法想像一个有圆圈构成的正三角形，第一行1个圈，圈内的数字为1第二行2个圈，圈内的数字都为2，以此类推第n行n个圈，圈内的数字都为n,我们要求的平方和，就转化为了求这个三角形所有圈内数字的和。设这个数为r下面将这个三角形顺时针旋转60度，得到第二个三角形再将第二个三角形顺时针旋转60度，得到第三个三角形然后，将这三个三角形对应的圆圈内的数字相加，我们神奇的发现所有圈内的数字都变成了2n+1而总共有几个圈呢，这是一个简单的等差数列求和1+2++n二n(n+l)/2于是3r=[n(n+1)/2]*(2n+1)r=n(n+1)(2n+1)/6拓展：12+32+52+...+(2n-1)2=(2-1)2+(4-1)2+(6-1)2+....+(2n-1)2=[22-2*1*2+12]+[42-2*1*4+12]+...+[(2n)2-2*1*2n+12]=[22+42+...+(2n)2]+n-2[2+4+...+2n]=4*[12+22+..n2]+n-2n(n+1)=2n(n+1)(2n+1)/3+n-2n(n+1)=n(4n2-1)/3第二题：证明13+23+33+...+n3=(1+2+3+...+n)2=[n(n+1)/2]2—(1+2+3+...+n)2(n+1厂4-n八4二[(n+1厂2+n八2][(n+1厂2-n八2]=(2n八2+2n+1)(2n+1)=4n八3+6n八2+4n+12八4-「4=4*「3+6*「2+4*1+13八4-2八4=4*2八3+6*2八2+4*2+144-3八4=4*3八3+6*3八2+4*3+1(n+1厂4-n'4=4*n八3+6*n八2+4*n+1各式相加有(n+1厂4-1=4*(「3+2八3+3八3...+n八3)+6*(「2+2八2+...+n八2)+4*(1+2+3+...+n)+n4*(「3+2八3+3八3+...+n八3)=(n+1厂4-1+6*[n(n+1)(2n+1)/6]+4*[(1+n)n/2]+n二[n(n+1)「2第三题：「4+2八4+3八4+44+……+n八4=n(n+1)(2n+1)(3n八2+3n-1)/30证明：(n+1)5-n5=5n4+10n3+10n2+5n+1n5-(n-1)5=5(n-1)4+10(n-1)3+10(n-1)2+5(n-1)+125-15=5*14+10*13+10*12+5*1+1全加起来(n+1厂5-「5=5*(「4+2八4+3八4+44+……+n八4)+10*(「3+2八3+3八3+43+……+n八3)+10*(「2+2八2+3八2+44++n八2)+5*(1+2+3+4++n)+n因为13+23+33+43++n3二[n(n+l)/2]212+22+32+44++n2=n(n+1)(2n+1)/61+2+3+4++n=n(n+1)/2所以「4+2八4+3八4+44++n八4={[(n+1)5-15]-10*[n(n+1)/2]2-10*n(n+1)(2n+1)/6-5*n(n+1)/2-n}/5=n(n+1)(2n+1)(3n2+3n-1)/30第四题：求五次方和公式：「5+2八5+3八5+4八5+-+n八5=?有没有六次、七次……甚至N次方和的公式？万分感谢求15+25+35+・・・+n5。首先写出和式的前6项即「5=12八5=323八5=2434八5=10245八5=31256八5=7776再求出相邻两数之差，得3121178121014651再次求出相邻两数之差，得18057013202550再次求，一直求到只剩一个数为止3907501230360480120最后，取每一组数的第一个数(包括原数组)，得：1，31，180，390，360，120则「5+2八5+3八5+……+n^5=1*C(1,n)+31*C(2,n)+180*C(3,n)+390*C(4,n)+360*C(5,n)+120*C(6,n)对于某一个p,有一种通法可以求「p+2"p+3"p+...+n"p。首先写出这个和式的前(p+1)项，即1p2p3p4p(p+1)p然后求出相邻两数之差，得到的差有p个再求出差的相邻两数之差，得到的差有(p-1)个一直求下去，求到只剩一个差为止。最后，包括原数组「p2"p3"p4"p(p+1厂p,—共有(p+1)组数。取每组数的第一个数a1、a2、a3、a4a(p+1)(注：这(p+1)个数的顺序为为求得差时的顺序。)则1p+2p+3p+...+np=a1*C(1,n)+a2*C(2,n)+a3*C(3,n)+