《离散型随机变量及其分布列》同步练习（）

《离散型随机变量及其分布列》同步练习1．(2022陕西，12分)在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：作物产量(kg)300500概率作物市场价格(元/kg)610概率(1)设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X的分布列；(2)若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率．解：(1)设A表示事件“作物产量为300kg”，B表示事件“作物市场价格为6元/kg”，由题设知P(A)＝，P(B)＝，因为利润＝产量×市场价格－成本，所以X所有可能的取值为500×10－1000＝4000,500×6－1000＝2000，300×10－1000＝2000,300×6－1000＝800.P(X＝4000)＝P(eq\x\to(A))P(eq\x\to(B))＝(1－×(1－＝，P(X＝2000)＝P(eq\x\to(A))P(B)＋P(A)P(eq\x\to(B))＝(1－×＋×(1－＝，P(X＝800)＝P(A)P(B)＝×＝，所以X的分布列为X40002000800P(2)设Ci表示事件“第i季利润不少于2000元”(i＝1,2,3)，由题意知C1，C2，C3相互独立，由(1)知，P(Ci)＝P(X＝4000)＋P(X＝2000)＝＋＝(i＝1,2,3)，3季的利润均不少于2000元的概率为P(C1C2C3)＝P(C1)P(C2)P(C3)＝＝；3季中有2季的利润不少于2000元的概率为P(eq\x\to(C1)C2C3)＋P(C1eq\x\to(C2)C3)＋P(C1C2eq\x\to(C3))＝3××＝，所以，这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率为＋＝.2．（2022新课标全国Ⅰ，12分）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n.如果n＝3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n＝4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为eq\f(1,2)，且各件产品是否为优质品相互独立．(1)求这批产品通过检验的概率；(2)已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位：元)，求X的分布列及数学期望．解：本题主要考查独立重复试验和互斥事件的概率、条件概率、离散型随机变量的分布列和数学期望等，意在考查考生的阅读理解能力及运用所学概率知识解决实际问题的能力．(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2，第二次取出的4件产品都是优质品为事件B1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B2，这批产品通过检验为事件A，依题意有A＝(A1B1)∪(A2B2)，且A1B1与A2B2互斥，所以P(A)＝P(A1B1)＋P(A2B2)＝P(A1)P(B1|A1)＋P(A2)P(B2|A2)＝eq\f(4,16)×eq\f(1,16)＋eq\f(1,16)×eq\f(1,2)＝eq\f(3,64).(2)X可能的取值为400,500,800，并且P(X＝400)＝1－eq\f(4,16)－eq\f(1,16)＝eq\f(11,16)，P(X＝500)＝eq\f(1,16)，P(X＝800)＝eq\f(1,4).所以X的分布列为X400500800Peq\f(11,16)eq\f(1,16)eq\f(1,4)EX＝400×eq\f(11,16)＋500×eq\f(1,16)＋800×eq\f(1,4)＝.3．(2022山东，12分)甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是eq\f(1,2)外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是eq\f(2,3).假设各局比赛结果互相独立．(1)分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率；(2)若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分、对方得0分；若比赛结果为3∶2，则胜利方得2分、对方得1分．求乙队得分X的分布列及数学期望．解：本题考查相互独立事件的概率、二项分布、离散型随机变量的概率分布与数学期望等基础知识，考查分类与整合思想，考查运算求解能力，考查分析问题和解决问题的能力．(1)记“甲队以3∶0胜利”为事件A1，“甲队以3∶1胜利”为事件A2，“甲队以3∶2胜利”为事件A3，由题意知，各局比赛结果相互独立，故P(A1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))3＝eq\f(8,27)，P(A2)＝Ceq\o\al(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))×eq\f(2,3)＝eq\f(8,27)，P(A3)＝Ceq\o\al(2,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))2×eq\f(1,2)＝eq\f(4,27).所以，甲队以3∶0胜利、以3∶1胜利的概率都为eq\f(8,27)，以3∶2胜利的概率为eq\f(4,27).(2)设“乙队以3∶2胜利”为事件A4，由题意知，各局比赛结果相互独立，所以P(A4)＝Ceq\o\al(2,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＝eq\f(4,27).由题意知，随机变量X的所有可能的取值为0,1,2,3，根据事件的互斥性得P(X＝0)＝P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝eq\f(16,27)，又P(X＝1)＝P(A3)＝eq\f(4,27)，P(X＝2)＝P(A4)＝eq\f(4,27)，P(X＝3)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝2)＝eq\f(3,27)，故X的分布列为X0123Peq\f(16,27)eq\f(4,27)eq\f(4,27)eq\f(3,27)所以EX＝0×eq\f(16,27)＋1×eq\f(4,27)＋2×eq\f(4,27)＋3×eq\f(3,27)＝eq\f(7,9).4．（2022湖南，12分）某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y(单位：kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：X1234Y51484542这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．(1)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率；(2)从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望．解：本小题主要考查古典概型、离散型随机变量的分布列与数学期望的求解，考查考生的阅读理解能力、收集数据的能力、运算求解能力和创新意识．(1)所种作物总株数N＝1＋2＋3＋4＋5＝15，其中三角形地块内部的作物株数为3，边界上的作物株数为12.从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,12)＝36种，选取的两株作物恰好“相近”的不同结果有3＋3＋2＝8种．故从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，它们恰好“相近”的概率为eq\f(8,36)＝eq\f(2,9).(2)先求从所种作物中随机选取的一株作物的年收获量Y的分布列．因为P(Y＝51)＝P(X＝1)，P(Y＝48)＝P(X＝2)，P(Y＝45)＝P(X＝3)，P(Y＝42)＝P(X＝4)，所以只需求出P(X＝k)(k＝1,2,3,4)即可．记nk为其“相近”作物恰有k株的作物株数(k＝1,2,3,4)，则n1＝2，n2＝4，n3＝6，n4＝3.由P(X＝k)＝eq\f(nk,N)，得P(X＝1)＝eq\f(2,15)，P(X＝2)＝eq\f(4,15)，P(X＝3)＝eq\f(6,15)＝eq\f(2,5)，P(X＝4)＝eq\f(3,15)＝eq\f(1,5).故所求的分布列为Y51484542Peq\f(2,15)eq\f(4,15)eq\f(2,5)eq\f(1,5)所求的数学期望为E(Y)＝51×eq\f(2,15)＋48×eq\f(4,15)＋45×eq\f(2,5)＋42×eq\f(1,5)＝eq\f(34＋64＋90＋42,5)＝46.解析：∵P(X＝0)＝eq\f(1,12)＝(1－p)2×eq\f(1,3)，∴p＝eq\f(1,2)，随机变量X的可能值为0,1,2,3，因此P(X＝0)＝eq\f(1,12)，P(X＝1)＝eq\f(2,3)×(eq\f(1,2))2＋eq\f(2,3)×(eq\f(1,2))2＝eq\f(1,3)，P(X＝2)＝eq\f(2,3)×(eq\f(1,2))2×2＋eq\f(1,3)×(eq\f(1,2))2＝eq\f(5,12)，P(X＝3)＝eq\f(2,3)×(eq\f(1,2))2＝eq\f(1,6)，因此E(X)＝1×eq\f(1,3)＋2×eq\f(5,12)＋3×eq\f(1,6)＝eq\f(5,3).答案：eq\f(5,3)5．（2022山东，12分）现有甲、乙两个靶．某射手向甲靶射击一次，命中的概率为eq\f(3,4)，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为eq\f(2,3)，每命中一次得2分，没有命中得0分．该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．(1)求该射手恰好命中一次的概率；(2)求该射手的总得分X的分布列及数学期望EX.解：(1)记：“该射手恰好命中一次”为事件A，“该射手射击甲靶命中”为事件B，“该射手第一次射击乙靶命中”为事件C，“该射手第二次射击乙靶命中”为事件D，由题意知P(B)＝eq\f(3,4)，P(C)＝P(D)＝eq\f(2,3)，由于A＝Beq\x\to(C)eq\x\to(D)＋eq\x\to(B)Ceq\x\to(D)＋eq\x\to(B)eq\x\to(C)D，根据事件的独立性和互斥性得P(A)＝P(Beq\x\to(C)eq\x\to(D)＋eq\x\to(B)Ceq\x\to(D)＋eq\x\to(B)eq\x\to(C)D)＝P(Beq\x\to(C)eq\x\to(D))＋P(eq\x\to(B)Ceq\x\to(D))＋P(eq\x\to(B)eq\x\to(C)D)＝P(B)P(eq\x\to(C))P(eq\x\to(D))＋P(eq\x\to(B))P(C)P(eq\x\to(D))＋P(eq\x\to(B))P(eq\x\to(C))P(D)＝eq\f(3,4)×(1－eq\f(2,3))×(1－eq\f(2,3))＋(1－eq\f(3,4))×eq\f(2,3)×(1－eq\f(2,3))＋(1－eq\f(3,4))×(1－eq\f(2,3))×eq\f(2,3)＝eq\f(7,36).(2)根据题意，X的所有可能取值为0,1,2,3,4,5.根据事件的独立性和互斥性得P(X＝0)＝P(eq\x\to(B)eq\x\to(C)eq\x\to(D))＝[1－P(B)][1－P(C)][1－P(D)]＝(1－eq\f(3,4))×(1－eq\f(2,3))×(1－eq\f(2,3))＝eq\f(1,36).P(X＝1)＝P(Beq\x\to(C)eq\x\to(D))＝P(B)P(eq\x\to(C))P(eq\x\to(D))＝eq\f(3,4)×(1－eq\f(2,3))×(1－eq\f(2,3))＝eq\f(1,12).P(X＝2)＝P(eq\x\to(B)Ceq\x\to(D)＋eq\x\to(B)eq\x\to(C)D)＝P(eq\x\to(B)Ceq\x\to(D))＋P(eq\x\to(B)eq\x\to(C)D)＝(1－eq\f(3,4))×eq\f(2,3)×(1－eq\f(2,3))＋(1－eq\f(3,4))×(1－eq\f(2,3))×eq\f(2,3)＝eq\f(1,9)，P(X＝3)＝P(BCeq\x\to(D)＋Beq\x\to(C)D)＝P(BCeq\x\to(D))＋P(Beq\x\to(C)D)＝eq\f(3,4)×eq\f(2,3)×(1－eq\f(2,3))＋eq\f(3,4)×(1－eq\f(2,3))×eq\f(2,3)＝eq\f(1,3)，P(X＝4)＝P(eq\x\to(B)CD)＝(1－eq\f(3,4))×eq\f(2,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(1,9)，P(X＝5)＝P(BCD)＝eq\f(3,4)×eq\f(2,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(1,3).故X的分布列为X012345Peq\f(1,36)eq\f(1,12)eq\f(1,9)eq\f(1,3)eq\f(1,9)eq\f(1,3)所以EX＝0×eq\f(1,36)＋1×eq\f(1,12)＋2×eq\f(1,9)＋3×eq\f(1,3)＋4×eq\f(1,9)＋5×eq\f(1,3)＝eq\f(41,12).6．（2022江苏，10分）设ξ为随机变量．从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1.(1)求概率P(ξ＝0)；(2)求ξ的分布列，并求其数学期望E(ξ)．解：(1)若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的1个，过任意1个顶点恰有3条棱，所以共有8Ceq\o\al(2,3)对相交棱，因此P(ξ＝0)＝eq\f(8C\o\al(2,3),C\o\al(2,12))＝eq\f(8×3,66)＝eq\f(4,11).(2)若两条棱平行，则它们的距离为1或eq\r(2)，其中距离为eq\r(2)的共有6对，故P(ξ＝eq\r(2))＝eq\f(6,C\o\al(2,12))＝eq\f(1,11)，于是P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝eq\r(2))＝1－eq\f(4,11)－eq\f(1,11)＝eq\f(6,11)，所以随机变量ξ的分布列是ξ01eq\r(2)P(ξ)eq\f(4,11)eq\f(6,11)eq\f(1,11)因此E(ξ)＝1×eq\f(6,11)＋eq\r(2)×eq\f(1,11)＝eq\f(6＋\r(2),11).7．(2022新课标全国，12分)某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方(分别称为A配方和B配方)做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：A配方的频数分布表指标值分组[90,94)[94,98)[98,102)[102,106)[106,110]频数82042228B配方的频数分布表指标值分组[90,94)[94,98)[98,102)[102,106)[106,110]频数412423210(1)分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；(2)已知用B配方生产的一件产品的利润y(单位：元)与其质量指标值t的关系式为y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2，t<94，,2，94≤t<102，,4，t≥102.))从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X(单位：元)，求X的分布列及数学期望．(以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率)解：(1)由试验结果知，用A配方生产的产品中优质品的频率为eq\f(22＋8,100)＝，所以用A配方生产的产品的优质品率的估计值为.由试验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为eq\f(32＋10,100)＝，所以用B配方生产的产品的优质品率的估计值为.(2)用B配方生产的100件产品中，其质量指标值落入区间[90,94)，[94,102)，[102,110]的频率分别为,,，因此P(X＝－2)＝，P(X＝2)＝，P(X＝4)＝，即X的分布列为X－224PX的数学期望EX＝－2×＋2×＋4×＝.8．(2022山东，12分)某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有A、B、C、D四个问题，规则如下：(1)每位参加者计分器的初始分均为10分，答对问题A、B、C、D分别加1分、2分、3分、6分，答错任一题减2分；(2)每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束，淘汰出局；(3)每位参加者按问题A、B、C、D顺序作答，直至答题结束．假设甲同学对问题A、B、C、D回答正确的概率依次为eq\f(3,4)，eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，eq\f(1,4)，且各题回答正确与否相互之间没有影响．①求甲同学能进入下一轮的概率；②用ξ表示甲同学本轮答题结束时答题的个数，求ξ的分布列和数学期望Eξ.解：设A，B，C，D分别为第一、二、三、四个问题．用Mi(i＝1,2,3,4)表示甲同学第i个问题回答正确，用Ni(i＝1,2,3,4)表示甲同学第i个问题回答错误．则Mi与Ni是对立事件(i＝1,2,3,4)，由题意得P(M1)＝eq\f(3,4)，P(M2)＝eq\f(1,2)，P(M3)＝eq\f(1,3)，P(M4)＝eq\f(1,4)，所以P(N1)＝eq\f(1,4)，P(N2)＝eq\f(1,2)，P(N3)＝eq\f(2,3)，P(N4)＝eq\f(3,4).(1)记“甲同学能进入下一轮”为事