第三章 交流电路

电工电子学主讲

张莹本章内容:1.正弦交流电量的定义及其表示方法；2.单一元件正弦交流电路参数的基本关系；3.典型正弦交流电路及复杂正弦交流电路的串、并联分析；4.电路中的谐振及功率因数的提高。第3章交流电路交流电与直流电的区别在于：直流电的方向、大小不随时间变化；而交流电的方向、大小都随时间作周期性的变化，并且在一周期内的平均值为零。3.1正弦电量的基本概念正弦电压和电流是按正弦规律周期性变化的，其波形如图示。

tu,iO–

+uiR–

+uiR正半周负半周电路图上所标的方向是指它们的参考方向，即代表正半周的方向。负半周时，由于的参考方向与实际方向相反，所以为负值。+实际方向表征正弦量的三要素有幅值

初相位频率

3.1.1频率与周期T周期T：正弦量变化一周所需要的时间；角频率

:正弦量每秒钟变化的弧度

t2［例

］我国和大多数国家的电力标准频率是50Hz，试求其周期和角频率。［解］

=2f=23.1450=314rad/sIm

t

iOＴT/2频率f：正弦量每秒内变化的次数；–Im工程中常用的一些频率范围：中国、香港、欧洲等220V、50HZ我国电力的标准频率为50Hz；国际上多采用此标准，但美、日等国采用标准为60Hz。下面是几个国家的电源情况：印度230V、50HZ澳洲240V、50HZ日本110V、60HZ台湾220V、60HZ美国、加拿大120V、60HZ3.1.2幅值与有效值

瞬时值是交流电任一时刻的值。用小写字母表示。如i、u、e分别表示电流、电压、电动势的瞬时值。

最大值是交流电的幅值。用大写字母加下标m表示。如Im、Um、Em。

有效值是从电流的热效应来规定的。用大写字母来表示。如I，U，E

t2Im

t

iOＴT/2–Im同理可得根据定义，有得当电流为正弦量时：

tiO3.1.3相位、初相位和相位差正弦量所取计时起点不同，其初始值(t=0)时的值及到达幅值或某一特定时刻的值就不同。i

tO例如：不等于零t=0时，t=0时的相位角称为初相位角或初相位。t和(t+)称为正弦量的相位角或相位。它表明正弦量的进程。若所取计时时刻不同，则正弦量初相位不同O

tiu同频率正弦量的相位角之差或是初相角之差，称为相位差，用

表示。iu21图中u超前i角或称i滞后

u

角

tiOi1i2i3i1与i3反相i1与i2同相在一个交流电路中，电压电流频率相同，而相位常不相同，如图示例3.1

已知某正弦电压在时为110V，初相角为，求其有效值。

解：此正弦电压表达式为则表示正弦量的方法：2、波形图：优点：能够直观的反应正弦量的实际情况缺点：不便于波形的合成引入向量来表示正弦量！1、瞬时值表达法：优点：能够完整具体的表示正弦量的三要素缺点：涉及到三角函数，计算较麻烦3.2正弦交流电的相量表示法3.2.1复数及其运算1．复数的实部、虚部和模

有向线段A可用下面的复数表示为A=a+jb由图可见，

表示复数的大小，称为复数的模。有向线段与实轴正方向间的夹角，称为复数的幅角，用表示。复数的指数形式：复数的极坐标形式：例写出下列复数的直角坐标形式。（1）

（2）

（3）

解：

（1）（2）（3)2．复数的表达方式

复数的直角坐标式：若两个复数相加减，可用直角坐标式进行。如：A1=a1+jb1A2=a2+jb2

则A1±A2=（a1+jb1）±（a2+jb2）=（a1±a2）+j（b1±b2）即几个复数相加或相减就是把它们的实部和虚部分别相加减。复数的加减复数的乘除两个复数进行乘除运算时，可将其化为指数式或极坐标式来进行。A1=a1+jb1=A2=a2+jb2=

如：正弦量具有幅值、频率和初相位三个要素，它们除用三角函数式和正弦波形表示外，还可以用相量来表示。正弦量的相量表示法就是用复数来表示正弦量。3．正弦量的相量表示法结论：一个正弦量的瞬时值总可以用一个旋转的有向线段在纵轴上的投影来表示。其中：有向线段的长度为这个正弦量的最大值有向线段旋转的速度为这个正弦量的角频率有向线段的起始位置为这个正弦量的初相位aO+1+jAbr模幅角代数式三角式指数式极坐标式A=a+jb=r(cos

+jsin

)=rej=r/设平面有一复数Ａ复数Ａ可有几种式子表示其中：3．正弦量的相量表示法由以上分析可知，一个复数由模和幅角两个特征量确定。而正弦量具有幅值、频率和初相位三个要素。但在分析线性电路时，电路中各部分电压和电流都是与电源同频率的正弦量，因此，频率是已知的，可不必考虑。故，一个正弦量可用幅值和初相角两个特征量来确定。而且，向量可以用来表示正弦量，但它并不是正弦量本身。比照复数和正弦量，正弦量可用复数来表示。复数的模即为正弦量的幅值或有效值，复数的幅角即为正弦量的初相角。为与复数相区别，把表示正弦量的复数称为相量。并在大写字母上打一“•”。于是表示正弦电压的相量为或：电压的幅值相量：电压的有效值相量例3.3

试写出表示，和的相量，并画出相量图。解：分别用有效值相量、和表示正弦电压、和，则相量图如图4.9所示。

按照正弦量的大小和相位关系画出的若干个相量的图形，称为相量图。例3.3若已知i1=I1msin(t+1)=100sin(t+45)A，

i2=I2

msin(t+2)=60

sin(t30)A，求i=i1

+

i2。[解]正弦电量(时间函数)所求正弦量变换相量(复数)相量结果反变换相量运算(复数运算)于是得正弦电量的运算可按下列步骤进行，首先把符号说明瞬时值

---小写u、i有效值

---大写U、I复数、相量

---大写

+“.”最大值

---大写+下标正误判断瞬时值复数瞬时值复数？？已知：？？有效值j45

则：已知：？？

则：已知：？最大值3.3单一参数正弦交流电路3.3.1

电阻元件本节从电阻、电感、电容两端电压与电流一般关系式入手，介绍在正弦交流电路中这些单一参数的电压、电流关系及能量转换问题。R–

+ui1.电压电流关系设在电阻元件的交流电路中，电压、电流参考方向如图示。（1）根据欧姆定律设则（2）或U•I•相量图+1+jOiu波形图

tO（4）电压与电流相量表达式（3）电压与电流相位相同。瞬时功率平均功率（有功功率）

2.功率u

tOipO

tP=UI转换成的热能R–

+ui（1）设

OfXL感抗1.电压电流关系由，有感抗与频率f和L成正比。因此，电感线圈对高频电流的阻碍作用很大，而对直流可视为短路。3.3.2

电感元件的交流电路设在电感元件的交流电路中，电压、电流取关联参考方向。–

+uiLXL与f的关系

（3）电压超前电流90；（4）电压与电流相量式U

•+1+jO相量图I•ui波形图

tO2.功率瞬时功率iu

tOp

tO++––p>0,电感吸收功率；p<0,电感提供功率。波形图–

+uiL平均功率（有功功率）无功功率电感与电源之间能量交换的规模称为无功功率。其值为瞬时功率的最大值，单位为(var)

乏。电感不消耗功率，它是储能元件。在电阻电路中：正误判断？？？瞬时值有效值在电感电路中：正误判断？？？？？OfXC容抗（1）设1.电压电流关系有由3.3.3

电容元件的交流电路C–

+uiXC与f的关系设在电容元件的交流电路中，电压、电流取关联参考方向。（2）容抗与频率f，电容C成反比。因此，电容元件对高频电流所呈现的容抗很小，而对直流所呈现的容抗趋于无穷大，故可视为开路。u波形图

tOi

（3）电流超前电压90U

•+1+jO相量图I•（4）电压与电流相量式2.功率瞬时功率ui

tOp

tO++––p>0,电容吸收功率；p<0,电容提供功率。波形图平均功率（有功功率）无功功率电容与电源之间能量交换的规模称为无功功率。其值为瞬时功率的最大值，单位为(var)

乏。电容不消耗功率，它是储能元件。C–

+ui单一参数正弦交流电路的分析计算小结电路参数电路图（正方向）阻抗电压、电流关系瞬时值有效值相量图相量式功率有功功率无功功率Riu设则u、i

同相0LiuCiu设则设则u领先i90°u落后i90°00基本关系例1解1解2例2解1解2（1）瞬时表达式1.电压电流关系4.4

电阻、电感与电容元件串联的交流电路–

+L–

+uCRiuLuCuR–

+–

+在R、L、C串联交流电路中，电流电压参考方向如图所示。–

+–

+–

+–

+–jXCRjXL电路的阻抗，用Z

表示。Z（2）相量式Z上式中称为阻抗模，是阻抗的幅角，称为阻抗角。阻抗的单位是欧姆，对电流起阻碍作用；阻抗三角形XL-

XCRZZ说明：14Z是一个复数，其上不能加“.”32结论：Z的模为电路总电压与总电流有效值之比，Z的幅角为电压超前于电流的角度。讨论1：Z与输出电压、电流之间的关系当XL>XC

，为正，电路中电压超前电流，电路呈电感性；当XL<XC

，为负，则电流超前电压，电路呈电容性；当XL=XC

，

=0，则电流与电压同相，电路呈电阻性。讨论2RLC假设R、L、C已定，电路性质能否确定？（阻性？感性？容性？）不能！

当ω不同时，可能出现：

XL

>

XC

，或XL

<

XC,或XL=XC

。为正时电路中电压电流相量图I

•U•UR•UL•UC•UL•UC•电压三角形UL-

UCURU2.功率瞬时功率整理可得有功功率为于是从R、L、C串联电路电压三角形可得出UL-

UCURU无功功率为视在功率：电压与电流的有效值之积单位是(V·A)无功功率的正负亦可以反应电路的性质电压三角形SQP功率三角形R阻抗三角形RLCRLC串联电路的三个三角形是相似三角形正误判断因为各个相量的相位不同。？在R-L-C串联电路中RLC？而复数阻抗只是一个运算符号。Z不能加“•”反映的是正弦电压或电流，？？？？？正误判断在R-L-C串联电路中，假设？？？在R-L-C串联电路中，假设？？？？[解]

[例

1]R、L、C串联交流电路如图所示。已知R=30、L=127mH、C=40F，。求：(1)电流i及各部分电压uR，uL，uC；(2)求功率P和Q。–

+L–

+uCRiuLuCuR–

+–

+(1)于是得注意：(2)电容性[例2]已知电压表V1的度数为10V，V2的度数为10V，求V的度数V1V2V交流解1V的度数为14.1V。解2V的度数为14.1V。RC3.5阻抗串联与并联3.5.1阻抗的串联–

+Z–

+++–

–

Z2Z1(a)(b)根据KVL

可写出图(a)电压的相量表示式图(b)相量表示式若图(b)是图(a)的等效电路，两电路电压、电流的关系式应完全相同，由此可得一般若Z1=R1+jX1

Z2=R2+jX2则Z=R1+jX1+

R2+jX2

=(R1+R2)+j(X1+

X2)3.5.2阻抗的并联–

+Z–

+Z1Z2(a)(b)根据KCL可写出图(a)电流的相量表示式图(b)相量表示式若图(b)是图(a)的等效电路，两电路电压、电流的关系式应完全相同，由此可得或因为一般即所以例1求图示电路的等效阻抗，＝105rad/s.解电感和电容的阻抗为：301000.1FR1R21mHLC例2图示电路对外呈现感性还是容性？解等效阻抗为：X<0，电路呈现容性.33－j65j4例3求:各支路电流。已知：解R2+_R1R2+_R1已知求+_RLC1C2AB+_RLC1C2AB例4解设功率因数低引起的问题有功功率

P=UNIN

cos功率因数1.

对电源：电源设备的容量将不能充分利用2.

对负载：增加输电线路和发电机绕组的功率损耗在P、U一定的情况下（负载在额定状态下运行），

cos

越低，I越大，损耗越大。下，cos越低，P越小，设备得不到充分利用。3.6功率因数的提高P=UIcos

电压与电流的相位差角(功率因数角)在电源设备UN、IN

一定的情况例40W白炽灯40W日光灯发电与供电设备的容量要求较大供电局一般要求用户的不低于，否则受处罚。纯电阻电路R-L-C串联电路纯电感电路或纯电容电路电动机空载满载

日光灯

（R-L-C串联电路）常用电路的功率因数提高功率因数